1、因式分解、導入:有兩個人相約到山上去尋找精美的石頭，甲背了滿滿的一筐，乙的筐里只有一個他認為是最精美的石頭.甲就笑乙：“你為什么只挑一個啊？”乙說：“漂亮的石頭雖然多，但我只選一個最精美的就夠了 ”甲笑而不語，下山的路上，甲感到負擔越來越重，最后不得已不斷地從一筐的石頭中挑一個最差的扔下， 到下山的時候他的筐里結果只剩下一個石頭！啟示：人生中會有許多的東西，值得留戀，有的時候你應該學會去放棄二、知識點回顧：1運用公式法在整式的乘、除中，我們學過若干個乘法公式，現將其反向使用，即為因式分解中常用的公式，例如:2 2a -b=(a+b)(a -b);099(2) a 2ab+b =(a b);(3

2、) a 3+b3=(a+b)(a 2-ab+b2);(4) a 3-b3=(a -b)(a 2+ab+b2).下面再補充幾個常用的公式：(5) a 2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c) 2;3.3 32.22(6) a +b +c -3abc=(a+b+c)(a +b +c -ab-bc-ca);(7) a n-bn=(a-b)(a n-1+an-2b+an-3b2+abn-2+bn-1)其中 n 為正整數；(8) a n-bn=(a+b)(a n-1-an-2b+an-3b2-+abn-2-bn-1)，其中 n 為偶數；n nn-1n-2n-32n-2n-1r(9) a +

3、b =(a+b)(a -a b+a b-ab +b )，其中 n 為奇數.運用公式法分解因式時，要根據多項式的特點，根據字母、系數、指數、符號等正確恰當地選擇公式.三、專題講解例1分解因式：(1)-2x 5n-1y n+4x 3n-1y n+2-2x n-1yn+4 ；(2)x 3-8y 3-z3 -6xyz ;解(1)原式=-2xn-1yn(x 4n-2x2ny2+y4)=-2xn-1 yn(x 2n) 2-2x2ny2+(y2)2n-1 n 222=-2x y (x n-y )=-2xn-1yn(x n-y)2(xn+y)2. 原式=x3+(-2y) 3+(-z) 3-3x(-2y)( -

4、Z)2 2 2=(x -2y-z)(x +4y +z +2xy+xz-2yz).例 2 分解因式：a3+b3+c3-3abc.本題實際上就是用因式分解的方法證明前面給出的公式分析我們已經知道公式3 3223(a+b) =a +3a b+3ab +b的正確性，現將此公式變形為3.3 3a +b =(a+b) -3ab(a+b).這個-式也是一個常用的公式，本題就借助于它來推導.I ” ，33解原式=(a+b) -3ab(a+b)+c -3abc=:(a+b)3+c 3 -3ab(a+b+c)2 2=(a+b+c) (a+b) -c(a+b)+c -3ab(a+b+c)2 2 2=(a+b+c)(

5、a +b +c -ab-bc-ca).說明公式(6)是一個應用極廣的公式，用它可以推出很多有用的結論，例如：我們將公式(6)變形為3.3 3a +b +c -3abc=；a + b + c) (2a工TH=+ 1)(32 + 1)(51 + 1說明 在本題的分解過程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，這一技巧在等式變形中很常用.+2c; *2ab -2bc -2ea=-7 (a + b + c) (a -b) 1 + (b -c) .拆項、添項法因式分解是多項式乘法的逆運算.在多項式乘法運算時，整理、化簡常將幾個同類項合并為一項，或將兩個僅符號相反的同類項相互抵消為零.在對某些多

6、項式分解因式時，需要恢復那些被合并或相互抵 +c-ai) J.333333333顯然，當 a+b+c=0 時，貝U a +b +c =3abc ;當 a+b+c 0 時，貝U a +b +c -3abc 0,即卩 a +b +c 3 abc,而且，當且僅當a=b=c時，等號成立.如果令 x=a 0, y=b 0, z=c 0,則有等號成立的充要條件是x=y=z .這也是一個常用的結論.變式練習1 分解因式： X15+X14+X13+x2+x+1 .分析 這個多項式的特點是：有16項，從最高次項X15開始，x的次數順次遞減至0,由此想到應用公式an-bn來分解.解因為161514132八x -1

7、=(x -1)(x +x +x + x +x+1),所以+k + 1)-1康貳:r(八 ih J 窗消的項，即把多項式中的某一項拆成兩項或多項，或者在多項式中添上兩個僅符合相反的項，前者稱為拆項，后者稱為添項拆項、添項的目的是使多項式能用分組分解法進行因式分解.例3分解因式：x3-9x+ 8.分析 本題解法很多，這里只介紹運用拆項、添項法分解的幾種解法，注意一下拆項、添項的目的與技巧.解法1將常數項8拆成-1+9.原式=x3-9x-1+93=(x -1)-9x+92=(x-1)(x +x+1)-9(x-1)2=(x-1)(x +x-8).解法2將一次項-9x拆成-x-8x .原式=x3-x-8

8、x+8/3=(x -x)+( -8x+8)=x(x+1)(x -1)-8(x-1)2=(x-1)(x +x-8).解法3將三次項x3拆成9x3-8x3.3 3原式=9x -8x -9x+83 3=(9x -9x)+( -8x +8)=9x(x+1)(x -1)-8(x-1)(x 2+x+1)2=(x-1)(x +x-8).解法4添加兩項-x2+x2.3原式=x -9x+8322=x -x +x -9x+82=x (x-1)+(x -8)(x -1)2=(x-1)(x +x-8).說明 由此題可以看出，用拆項、添項的方法分解因式時，要拆哪些項，添什么項并無一定之規，主要的是要依靠對題目特點的觀察

9、，靈活變換，因此拆項、添項法是因式分解諸方法中技巧性最強的一種.變式練習1分解因式：963(1) x +x+x-3;2 2(2) (m -1)(n -1)+4mn；4 224(x+1)+(x -1) +(x-1)；(4)a 3b-ab3+a2+b2+1.解(1)將-3拆成-1-1-1 .I.r、.963原式=x +x +x -1-1-1,963=(x -1)+(x -1)+(x -1)“ 363 八 “33“、z3=(x -1)(x +x +1)+(x -1)(x +1)+(x -1)z 3=(x -1)(x6+2x3+3)=(x-1)(x 2=(a -ab+1)(b +ab+1).說明(4)

10、是一道較難的題目，由于分解后的因式結構較復雜，所以不易想到添加+ab-ab,而且添加項后分成的三項組又無公因式，而是先將前兩組分解，再與第三組結合，找到公因式.這道題目使我們 體會到拆項、添項法的極強技巧所在，同學們需多做練習，積累經驗.+x+1)(x 原式=(y+1)(y+2) -12=y +3y-10+2x.換元法換元法指的是將一個較復雜的代數式中的某一部分看作一個整體，并用一個新的字母替代這個整體來 運算，從而使運算過程簡明清晰.+3).將4mn拆成2mn+2mn原式=(m2-1)(n 2-1)+2mn+2mn2 2 2 2=mn -m-n +1+2mn+2mn2 2 2 2=(m n

11、+2mn +1)-(m -2mn+n)2 2=(mn+1) -(m-n) =(mn+mn +1)( mn-m+n+1).(3) 將(x2-1)2拆成 2(x2-1)2-(x2-1)2.原式=(x+1) 例 4 分解因式：(x 2+x+1)(x 2+x+2) -12.分析 將原式展開，是關于 x的四次多項式，分解因式較困難.我們不妨將x2+x看作一個整體，并用字母y來替代，于是原題轉化為關于y的二次三項式的因式分解問題了. 解設x2+x=y，則2+2(x2-1)2-(x 2-1)2+(x -1)4=:(x+1) 4+2(x+1) 2(x -1)2+(x-1)4-(x2-1)22 2 2 2 2=

12、(x+1) +(x-1) -(x -1)2 2 2 2 2 2=(2x +2) -(x -1) =(3x +1)(x +3).(4) 添加兩項+ab-ab.十、3322原式=a b-ab +a +b +1+ab-ab=(a 3b-ab3)+(a 2-ab)+(ab+b 2+1)2=ab(a+b)(a -b)+a(a -b)+(ab+b +1)2=a(a -b) : b(a+b)+1+(ab+b+1)2=a(a -b)+1(ab+b +1)2 2=(y -2)(y+5)=(x+x-2)(x +x+5)2=(x-1)(x+2)(x+x+5).說明 本題也可將x=(x+2)(x+4)(x+5x+8)

13、.說明 由本題可知，用換元法分解因式時，不必將原式中的元都用新元代換，根據題目需要，引入必要的新元，原式中的變元和新變元可以一起變形，換元法的本質是簡化多項式.1.雙十字相乘法2 2分解二次三項式時，我們常用十字相乘法.對于某些二元二次六項式(ax +bxy+cy +dx+ey+f)，我們也可以用十字相乘法分解因式.例如，分解因式2x2-7xy-22y 2-5x+35y-3 .我們將上式按x降幕排列，并把y當作常數，于是上式可變 形為2 22x -(5+7y)x-(22y-35y+3),可以看作是關于x的二次三項式.對于常數項而言，它是關于y的二次三項式，也可以用十字相乘法，分解為+x+1看作

14、一個整體，比如今x2+x+仁U, 樣可以得到同樣的結果，有興趣的同學不妨試一試.例5分解因式：2 2(x +3x+2)(4x +8x+3)-90.分析 先將兩個括號內的多項式分解因式，然后再重新組合.解 原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90=(x+1)(2x+3)(x+2)(2x+1)-902 2=(2x +5x+3)(2x +5x+2)-90.2令 y=2x +5x+2，則原式=y(y+1) -90=y2+y-90=(y+i0)(y -9)2 2=(2x2+5x+12)(2x 2+5x-7)2=(2x +5x+12)(2x+7)(x -1).說明對多項式適當的恒等變形是我

15、們找到新元(y)的基礎.變式練習1.分解因式：2 2 2(x +4x+8)2+3x(x +4x+8)+2x .解設 x2+4x+8=y，則一 、 2 - - 2 -原式=y +3xy+2x =(y+2x)(y+x)2 2=(x +6x+8)(x +5x+8)-32即：-22y +35y-3=(2y-3)(-11y+1).再利用十字相乘法對關于x的二次三項式分解（躋3 ）所以，原式=:x+(2y-3) 2x+(-11y+1):=(x+2y-3)(2x-11y+1)上述因式分解的過程，實施了兩次十字相乘法如果把這兩個步驟中的十字相乘圖合并在一起，可得 到下圖：它表示的是下面三個關系式：2 2(x+

16、2y)(2x-11y)=2x-7xy-22y ;(x-3)(2x+1)=2x 2 2(4) 6x - 7xy-3y -xz+7yz-2z .解(1)原式=(x-5y+2)(x+2y-1).(2)-5x-3;2(2y-3)(-11y+1)=-22y+35y-3 .這就是所謂的雙十字相乘法.用雙十字相乘法對多項式ax2+bxy+cy 2+dx+ey+f進行因式分解的步驟是：(1) 用十字相乘法分解 ax2+bxy+cy2,得到一個十字相乘圖(有兩列)；(2) 把常數項f分解成兩個因式填在第三列上，要求第二、第三列構成的十字交叉之積的和等于原式中的ey，第一、第三列構成的十字交叉之積的和等于原式中的

17、dx.例1分解因式：2 2(1) x -3xy-10y +x+9y-2 ;2 2(2) x -y +5x+3y+4;2(3) xy+y +x-y-2 ;原式=(x+y+1)(x-y+4).(3) 原式中缺x2項，可把這一項的系數看成0來分解.原式=(y+l)(x+y-2).(4)原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z).說明(4)中有三個字母，解法仍與前面的類似.2求根法我們把形如anxn+an-ixn-1 +aix+ao(n為非負整數)的代數式稱為關于x的一元多項式，并用f(x),g(x)，等記號表示，女口f(x)=x 2-3x+2 , g(x)=x 5+x2+6,，當x=a時，多項式f(

18、x)的值用f(a)表示.如對上面的多項式f(x)2f(1)=1-3 X 1+2=0;f(-2)=(-2)2-3 X (-2)+2=12 .若f(a)=0，則稱a為多項式f(x)的一個根.定理1(因式定理)若a是一元多項式f(x)的根，即f(a)=0成立，則多項式f(x)有一個因式x-a . 根據因式定理，找出一元多項式f(x)的一次因式的關鍵是求多項式f(x)的根.對于任意多項式f(x)要求出它的根是沒有一般方法的，然而當多項式 f(x)的系數都是整數時，即整系數多項式時，經常用 下面的定理來判定它是否有有理根.若旣約分數旦是整系數多項式P定理 2?， +-；-的根，則必有p是a0的約數，q是

19、an的約數.特別地，當a=1時，整系數多項式f(x)的整數根均為an的約數.我們根據上述定理，用求多項式的根來確定多項式的一次因式，從而對多項式進行因式分解.例2分解因式：x3-4x2+6x-4 .分析 這是一個整系數一元多項式，原式若有整數根，必是-4的約數，逐個檢驗-4的約數：土 1 , 2, 4,只有f(2)=2 3-4 X 22+6X 2-4=0 ,即x=2是原式的一個根，所以根據定理1,原式必有因式 x-2 .解法1用分組分解法，使每組都有因式(x-2).3 22原式=(x -2x )-(2x -4x)+(2x-4)2=x (x-2)-2x(x-2)+2(x-2)=(x-2)(x 2

20、-2x+2).解法2用多項式除法，將原式除以(x-2),品-蘭* * - 2 / +-2x2+ Ex2x- 42z- 4所以原式=(x-2)(x 2-2x+2).說明在上述解法中，特別要注意的是多項式的有理根一定是-4的約數，反之不成立，即-4的約數不一定是多項式的根.因此，必須對-4的約數逐個代入多項式進行驗證.變式練習1.分解因式：9x4-3x 3+7x2-3x-2 .分析 因為9的約數有土 1，土 3, 9; -2的約數有土 1,所臥原式藥有理根只可能是12, 士斗 士* 士孑 經栓驗，貝有冷和彳是扁式的根，所以舷有因怒+ 拖嶺.又因為:1 2 1 a * 可y) D 2)=-3x-2)

21、r所以，原式有因式 9x2-3x-2 .4 32解 9x -3x +7x -3x-2=9x4-3x 3-2x 2+9x2-3x-2=x2(9x3-3x-2)+9x 2-3x-22 2=(9x -3x-2)(x+1)2=(3x+1)(3x-2)(x+1)說明 若整系數多項式有分數根，可將所得出的含有分數的因式化為整系數因式，如上題中的因式，這樣可以簡化分解過程.總之，對一元高次多項式f(x)，如果能找到一個一次因式(x-a)，那么f(x)就可以分解為(x-a)g(x)而g(x)是比f(x)低一次的一元多項式，這樣，我們就可以繼續對g(x)進行分解了.3 .待定系數法待定系數法是數學中的一種重要的

22、解題方法，應用很廣泛，這里介紹它在因式分解中的應用.在因式分解時，一些多項式經過分析，可以斷定它能分解成某幾個因式，但這幾個因式中的某些系數尚未確定，這時可以用一些字母來表示待定的系數由于該多項式等于這幾個因式的乘積，根據多項 式恒等的性質，兩邊對應項系數應該相等，或取多項式中原有字母的幾個特殊值，列出關于待定系數 的方程(或方程組)，解出待定字母系數的值，這種因式分解的方法叫作待定系數法.2 2例 3 分解因式：x+3xy+2y+4x+5y+3 .分析由于2 2(x +3xy+2y )=(x+2y)(x+y),若原式可以分解因式，那么它的兩個一次項一定是x+2y+m和x + y + n的形式，應用待定系數法即可求出m和n,使問題得到解決.解設2 2x +3xy+2y +4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)2 2=x +3xy+2y +(m+n)x+(m+2n)y+mn ,比較兩邊對應項的系數，則有rni 十 n =4, m + 2n = 5,tnn = 3*I解之得m=3 n=1.所以原式=(x+2y+3)(x+y+1).說明 本題也可用雙十字相乘法，請同學們自己解一下.變式練習4321.分解因式：x -2x -27x -44x+7