1、分式的基本性質典型例題例 1下列分式的變形是否正確，為什么？（1） bab（ ） bbcaa22aca例 2寫出下列等式中的未知分子或未知分母。（1） a b ( )（ ） a22a 1 a 1ab2a 2b32a3 1( )例 3 不改變分式的值，將下列各分式中的分子和分母中的各項系數都化為整數 .（1） 0.2x 0.3y0.2x1 y（ ）y0.5x0.02y221xy4 3例 4 不改變分式的值，使下列各分式中的分子、分母的最高次項系數為正數 .（1） 1 a a2（2）x 31 a2a3x23x 2例 5已知不論 x 取什么數時，分式 ax3 （ bx 50 ）都是一個定值，求bx5

2、a 、 b 應滿足的關系式，并求出這個定值.例 6 已知一個圓臺的下底面是上底面的 4 倍，將圓臺放在桌面上，桌面承受壓強為 P 牛頓 / 米 2 ，若將圓臺倒放，則桌面受到的壓強為多少？例 7不改變分式的值，使下列分式的分子、分母前都不含“”號：1 x 1 y例 8 不改變分式的值，使分式 23 的分子、分母中的多項式的系數0.5x 0.4y都是整數例 9 判定下列分式的變形是不是約分變形，變形的結果是否正確，并說明理由：（1） ab 11 ；（2） a2b21 ；ababab（3） x32x2x 2x32x ；（ 4） a2b2a1x2bab例 10化簡下列各式：（1）3a3b；（2）a4

3、16；2 328b45a b2a b（3）x 23 xx 23 x2xx 2x 2x6參考答案例 1 分析 分式恒等變形的根據是分式的基本性質，應該嚴格地用基本性質去衡量， M 0 是基本性質的生果組成部分，應特別注意 .解 （1）已知分式 b/ a 中已隱含了 a0 ，用 a 分別乘以分式的分子、分母，分式的值不變，故（1）是正確的 .（ 2）因為已知分式 a / b 中，沒限制 c ， c 可以取任意數，當然也包 括了 c 0 ，當分式的分子、分母都乘以 c 0 時，分式沒 意義，故（ 2）是錯誤的 .例 2 分析 （ 1）式中等號兩邊的分母都是已知的，所以從觀察分母入手，顯然， a 2b

4、3 是由 ab 2 乘以 ab 得到的，由分式的基本性質，ab 也要乘以 ab ，所以括號內應填 (ab)ab（2）式中等號兩邊分子都已知， 所以先觀察分子， a 22a1(a1)2除以 a1 得到右邊分子 a1，按照分式的基本性質， (a3 1) (a1)a2a1，故括號內應填 a2a1.解：（ 1） a b(ab) abab2a2b3（ 2） a22a1a1a31(a2a 1)例 3 分析 要把分式的分子、分母中各項系數都化為整數，可根據分式的基本性質，將分子、分母都乘以一個恰當的不為零的數，怎樣確定這個數呢？（1）中分子、分母中的各項系數是小數，這個數應是各項系數的最小公倍數 .（2）中

5、分子、分母中各項系數( 0.21 )是分數，這個數應該是各項系數的5分母的最小公倍數，即5， 2， 4， 3 的最小公倍數 60.解：（1）法 1：原式(0.2x 0.3y) 50(0.5x0.02 y) 5010x15 y25xy法 2：原式(0.2x0.3y) 100(0.5x0.02 y) 10020x30 y 10 x15 y50x2 y25xy(1 x1 y)6012x30 y（2）原式521215x40 yy)60( x34說明在將分式的分子、分母都乘以（或除以）同一個不為零的數時，要遍乘分子分母的每一項，防止漏乘 .例 4分析 （ 1）式中分子要變號， 分母也要變號，所以應該同時

6、改變分子、分母的符號 .（2）式中分母需要變號，分子不需要變號，所以需要同時改變分母和分式本身的符號 .解：（1） 1aa2(1aa2 )a2a11 a2a3(1 a2a3 ) a3a21（2）x3x3x323x 2( x23x 2) x23x 2x例 5分析在研究某些有關特值的數學問題時，我們可以不考慮一般值，而是直接利用取符合條件特殊值代入研究解決，這就是所謂的特殊值法.解：當 x0 時， ax33bx55x1 時， ax3a3bx5b5不論 x 取什么實數， ax3 是一個定值 a33 ， 5abx5153a 15b553 b 5a3b a5把 a 3 b 代入原式，得5ax33 bx3

7、3 (bx5)355bx5bx5bx55 a 、 b 的關系為5a3b ；定值為35例6解：設圓臺的壓力為G 牛頓，下底面積為S1 米 2 ，上底面積為S2米2.則P G ,S1 4S2 S1 G PS1 4PS2當圓臺倒放時，桌面受到的壓強為：G 4S2P4P (牛頓/米2 )S2S2答：桌面受到的壓強為 4P 牛/ 米 2 .說明運用分式知識，有助于解決物理中問題（1） 5m ；（ 2） 4b ； （3）3x；（4）a b2na6xy2a 3b例 7 分析 根據 “分式的變號法則：分子、分母、分式的符號中，同時改變其中任意兩個，分式的值不變 ”解：（1）同時改變分子和分式的符號，得5m5m

8、 ；2n2n（2）同時改變分母和分式的符號，得4b4b ；aa（3）先確定是分母的符號，再變號，得3x3x3x；6 xy6xy6xy（4）先確定是分子的符號，然后變號，得2a3b2a3b2a3b ababab說明 1分式中的分數線實際上起到了括號的作用如果分式的分子或分母是多項式，要把它看成是一個整體，考慮這個整體的符號，如（3），（4）題，千萬不可誤解成3x3x或2a3b2a3b ；6xy6xyabab2對于（ 4）題，也可處理成2a3b3b2a 的形式abab例 8 分析 此分式分子中各系數的最小公倍數是 6，分母中各系數的最小公倍數是 10，而 10 和 6 的小公倍數是 30于是可利用

9、分式的基本性質：分子、分母同時乘以 30111130xyxy10 y 解： 232315x0.5x0.4 y1 x2 y3015x12 y25說明 1利用分式基本性質將分式的分子、分母化成整系數形式，體現了數學化繁為簡的策略，并為分式作進一步處理，提供了便利條件2操作過程中， 用數 30 的確定是問題的關鍵所在 因此不僅要考慮到分子、分母，還要考慮分式，使化成整系數一次到位例 9 分析 約分變形的前提是分子、分母有公因式解：（1）、（ 2）、（ 3）題的變形都不是約分，結果都是錯誤的（1）分式的分子和分母分別是一個整式，利用分式的基本性質， “除以一個整式 a ”是對分子、分母的整體進行的而只

10、對分子和分母中的某一項進行，就違背了分式基本性質的使用前提，所以是錯誤的（2）分式的分母是個平方和的形式，不能分解因此分子、分母沒有公因式，它是最簡分式故此題的變形是毫無根據的（3）當分子、分母都是乘積的形式， 才有約分的可能，而這里 x32x2 與 x2是和的形式，因此不能進行約分正確的結果解法是：x32x2x 2 x2 x 2x 2x 2x2 1x21x 2x2x2（4）此題是約分變形因此分母化成 ab ab 的形式，與分子約去公因式 ab 可得說明1對于代數式的恒等變形形式多樣，但每一種變形卻是運用定義、定理，并根據法則規范操作，而絕不能隨心所欲；2對（ 1）、（2）、（3）題的變形錯誤，實際上也可以舉反例說明如（1）題：當 a2 ， b3 時，211 （2）、（3）題同理233例 10 分析 化簡就是把分式的分子、分母中的公因式約去使其成為最簡公式因此對分子、分母是單項式時候，先分別化成與公因式的乘積形式；對于多項式仍然要先分解因式解：（1）3a3b3a2b aa；45a2 33a2b 15b215b2b（2） a4 16a24 a244a24 ；2a2b8b2b a22b（3） x23x x 23x 2x x 3 x 1 x 21x x2 x 2x 6x 1x x 2