1、4.1 拉普拉斯變換拉普拉斯變換n4.1.1 從傅里葉變換到拉普拉斯變換從傅里葉變換到拉普拉斯變換n4.1.2 拉普拉斯變換的收斂域拉普拉斯變換的收斂域n4.1.3 常用信號的單邊拉氏變換常用信號的單邊拉氏變換返回首頁4.1.1 從傅里葉變換到拉普拉斯變換從傅里葉變換到拉普拉斯變換n由第由第3章已知，當(dāng)函數(shù)章已知，當(dāng)函數(shù)f(t)滿足滿足狄里赫利條件狄里赫利條件時，便存在一對時，便存在一對傅里葉變換傅里葉變換式：式：deFtfdtetfFtjtj)(21)()()( - 返回本節(jié) 拉普拉斯變換的收斂域拉普拉斯變換的收斂域n連續(xù)時間信號連續(xù)時間信號f(t)的拉普拉斯變換（以下簡稱的拉普拉斯變換（以

2、下簡稱拉氏變換）式拉氏變換）式f(s)是否存在，取決于是否存在，取決于f(t)乘以乘以衰減因子衰減因子 以后是否絕對可積，即：以后是否絕對可積，即：tedtetfat)(0j0收斂軸收斂域收斂坐標(biāo)圖4-1 收斂域的劃分0ja0)(1tftA圖4-2 右邊指數(shù)衰減信號與其收斂域0ja0)(2tftA圖4-3 左邊指數(shù)增長信號與其收斂域j0bb0)(3tft1圖4-4 雙邊信號與其收斂域返回本節(jié) 常用信號的單邊拉氏變換常用信號的單邊拉氏變換n1單位階躍信號單位階躍信號n2單位沖激信號單位沖激信號n3指數(shù)信號指數(shù)信號n4正弦信號正弦信號n5t的正冪信號的正冪信號1單位階躍信號單位階躍信號ssedte

3、tusFstst1)()(00L即：stu1)(2單位沖激信號單位沖激信號1)()()()(00dttdtettsFstL即：即：1)(t3指數(shù)信號指數(shù)信號asdteetuesFstatat1)()(0L即：即：astueat1)(4正弦信號正弦信號220011212sin)(sin)(sjsjsjdtejeedtettutsFsttjtjstL即：即：22)(sinstut5t的正冪信號的正冪信號0)()(dtettutsFstnnL利用分部積分法，得：010100dtetsndtetsnestdtetstnstnstnstn所以：)()(1tutsntutnnLL表4-1 常用信號的拉氏變

4、換返回本節(jié)4.2 單邊拉氏變換的性質(zhì)單邊拉氏變換的性質(zhì)n4.2.1 線性線性n4.2.2 時移（延時）特性時移（延時）特性n4.2.3 尺度變換尺度變換n4.2.4 頻移特性頻移特性n4.2.5 時域微分定理時域微分定理n4.2.6 時域積分定理時域積分定理n4.2.7 頻域微分定理頻域微分定理n4.2.8 頻域積分定理頻域積分定理n4.2.9 初值定理初值定理n4.2.10 終值定理終值定理n4.2.11 卷積定理卷積定理返回首頁4.2.1 線性線性)()( ),()(2211sFtfsFtf若返回本節(jié))()()()( ,2211221121sFasFatfatfaaa有和則對于任意常數(shù)4.

5、2.2 時移（延時）特性時移（延時）特性)()(sFtf若0)()()( ,000stesFttuttft有則對于任意實(shí)常數(shù))(sin0tt t0t0tsint0)()(sin0tutt t0t0 （a） （b） （c）)(sin0ttutt00t)()(sin00ttuttt0t0（d） （e） 圖4-5 幾種時移情況4.2.3 尺度變換尺度變換)()(sFtf若0 )()( 1aFatfasa則4.2.4 頻移特性頻移特性返回本節(jié))()(sFtf若)()( asFetfat則4.2.5 時域微分定理時域微分定理)()(sFtf若)0()0( )0()()( )0()()( 121)(nnn

6、nnffsfssFstffssFtfdtd則0tAT)(tftTA)()1 (tf0)(TtAt)(tTA)()2(tf0)()1 (TtA)(TtTATT （a）三角脈沖 （b）三角脈沖的一階導(dǎo)數(shù) （c）三角脈沖的二階導(dǎo)數(shù) 圖4-7 三角脈沖及其導(dǎo)數(shù)返回本節(jié)4.2.6 時域積分定理時域積分定理)()(sFtf若sfssFdft)0()()( )1(0則4.2.7 頻頻域微分定理域微分定理返回本節(jié))()(sFtf若)()( sFdsdttf則4.2.8 頻頻域積分定理域積分定理返回本節(jié))()(sFtf若sdFttf)()( 則4.2.9 初值定理初值定理連續(xù)可導(dǎo)，則：且若)(),()(tfsF

7、tf )(lim)(lim)0( 0ssFtffst例：4.2.10 終值定理終值定理連續(xù)可導(dǎo)，則：且若)(),()(tfsFtf )(lim)(lim)( 0ssFtffst例：4.2.11 卷積定理卷積定理n1時域卷積定理時域卷積定理 n2復(fù)頻域卷積定理復(fù)頻域卷積定理 1時域卷積定理時域卷積定理 ，則：若)()(),()(2211sFtfsFtf )()()()( 2121sFsFtftf2復(fù)頻域卷積定理復(fù)頻域卷積定理 ，則：若)()(),()(2211sFtfsFtf )()(21)()( 2121sFsFjtftf返回本節(jié)4.3 單邊拉氏反變換單邊拉氏反變換 n 4.3.1 查表法查表

8、法n4.3.2 部分分式展開法部分分式展開法返回首頁 4.3.1 查表法查表法變換形式，即：表示為常用信號的拉氏將解：求其拉氏反變換。例：已知)( ,841892)(22sFsssssF)(22t)(2cos2)2(2222tutesst返回本節(jié)222) 2(22)(sssF)(2cos)(2)()(21tutetsFLtft查表得：所以：4.3.2 部分分式展開法部分分式展開法4.3.2 部分分式展開法部分分式展開法返回本節(jié)4.4 連續(xù)系統(tǒng)的復(fù)頻域分析連續(xù)系統(tǒng)的復(fù)頻域分析n4.4.1 用拉氏變換法分析系統(tǒng)用拉氏變換法分析系統(tǒng)n4.4.2 用拉氏變換法分析電路用拉氏變換法分析電路返回首頁 用拉

9、氏變換法分析系統(tǒng)用拉氏變換法分析系統(tǒng)n首先對描述系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系的微分方程進(jìn)首先對描述系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系的微分方程進(jìn)行拉氏變換，得到一個代數(shù)方程行拉氏變換，得到一個代數(shù)方程n求出的響應(yīng)象函數(shù)包含了零輸入響應(yīng)和零狀求出的響應(yīng)象函數(shù)包含了零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)態(tài)響應(yīng)n再經(jīng)過拉氏反變換可以很方便地得到零輸入再經(jīng)過拉氏反變換可以很方便地得到零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)的時域解。響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)的時域解。例例4-18 描述描述LTI系統(tǒng)的微分方程為：系統(tǒng)的微分方程為： 用拉氏變換法分析電路用拉氏變換法分析電路n1電阻元件的電阻元件的s域電路模型域電路模型n2電容元件的電容元件的s域電路模型域電路

10、模型n3電感元件的電感元件的s域電路模型域電路模型n4用拉氏變換法分析電路用拉氏變換法分析電路1電阻元件的電阻元件的s域電路模型域電路模型n電阻元件的時域伏安關(guān)系為：電阻元件的時域伏安關(guān)系為： )()(tiRtv對上式取拉氏變換，得：對上式取拉氏變換，得： )()(sRIsV)(tv)(tiRR)(sV)(sI （a）時域電路模型 （b）s域電路模型 圖4-8 電阻元件時域與s域電路模型2電容元件的電容元件的s域電路模型域電路模型n電容元件的時域伏安關(guān)系為：電容元件的時域伏安關(guān)系為： dttdvctiditvcctccc)()( )()( 01或：)0()()( )0()()0()1()(1)

11、(ccvscscVscIscvscscIscisscIcscV或：C)(tvc)(tic0)0(cv)(sIc)(sVcsC1svc)0(sC1)0(cvC)(sIc)(sVc （a）時域電路模型 （b）s域串聯(lián)電路模型 （c）s域并聯(lián)電路模型 圖4-9 電容元件時域與s域電路模型3電感元件的電感元件的s域電路模型域電路模型sLsiL)0()(sIL)(sVL)0(LLisL)(sIL)(sVL)(tvL)(tiLL0)0(Li（a）時域電路模型 （b）s域串聯(lián)電路模型 （c）s域并聯(lián)電路模型 圖4-10 電感元件時域與s域電路模型4用拉氏變換法分析電路用拉氏變換法分析電路n得到一般電路的得到

12、一般電路的s域模型域模型;n應(yīng)用電路的基本分析方法（節(jié)點(diǎn)法、網(wǎng)孔法應(yīng)用電路的基本分析方法（節(jié)點(diǎn)法、網(wǎng)孔法等）和定理（如疊加定理、戴維南定理等），等）和定理（如疊加定理、戴維南定理等），列出復(fù)頻域的方程列出復(fù)頻域的方程;n求解得到響應(yīng)的象函數(shù)求解得到響應(yīng)的象函數(shù);n對象函數(shù)進(jìn)行拉氏反變換，即得出響應(yīng)的時對象函數(shù)進(jìn)行拉氏反變換，即得出響應(yīng)的時域解。域解。)(tv1RCL2R)0(cv)0(Li)(1ti)(2ti1)(sV51s1s21)(1sI)(2sIs5421)(1sI)(2sI（a）時域電路模型 （b）s域電路模型 圖4-11 例4-20圖)(te2R1LH11R13R1CF1)(tvcS

13、0t)(te2te2圖4-12 例4-21圖)(sE1s11s1)(sVcs111201s11s1)(sVczis11120)(sE1s11s1)(sVczs120 （a）s域全響應(yīng)電路模型 （b）s域零輸入響應(yīng)電路模型 （c）s域零狀態(tài)電路模型 圖4-13 s域電路模型返回本節(jié)4.5 系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù)H(s)n4.5.1 系統(tǒng)函數(shù)的定義系統(tǒng)函數(shù)的定義n4.5.2 系統(tǒng)函數(shù)的求解方法系統(tǒng)函數(shù)的求解方法返回首頁 系統(tǒng)函數(shù)的系統(tǒng)函數(shù)的定義定義 系統(tǒng)函數(shù)的求解方法系統(tǒng)函數(shù)的求解方法)(tx1R2C)(ty2R1C)(sX1R21sC)(sY2R11sC（a）時域電路模型 （b）s域電路模型 圖4-1

14、6 例4-23圖返回本節(jié)4.6 系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)分布與時域系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)分布與時域響應(yīng)特性的關(guān)系響應(yīng)特性的關(guān)系n4.6.1 系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)與零、極點(diǎn)圖系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)與零、極點(diǎn)圖n4.6.2 系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)分布與時域響應(yīng)系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)分布與時域響應(yīng)特性的關(guān)系特性的關(guān)系返回首頁 系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)與零、極點(diǎn)圖系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)與零、極點(diǎn)圖nLTI連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)h(s)通常是復(fù)變量的通常是復(fù)變量的有理分式，即：有理分式，即： )()()()()()()()()(212101110111nimjmnnnmmmmpspspspszszszszsbasasasb

15、sbsbsbsNsMsH n例如某系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為：例如某系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為：)2)(2)(1()3()54)(1()3()(222jsjssssssssssH 系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)與零、極點(diǎn)圖系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)與零、極點(diǎn)圖jj12j3)2(0圖4-17 h(s) 的零、極點(diǎn)分布圖返回本節(jié) 系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)分布與時域響應(yīng)系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)分布與時域響應(yīng)特性的關(guān)系特性的關(guān)系n1左半平面極點(diǎn)左半平面極點(diǎn)n2虛軸上極點(diǎn)虛軸上極點(diǎn)n3右半平面極點(diǎn)右半平面極點(diǎn)j0圖4-18 h(s) 零、極點(diǎn)分布與時域響應(yīng)特性的關(guān)系返回本節(jié) 4.7 系統(tǒng)的穩(wěn)定性系統(tǒng)的穩(wěn)定性n4.7.1 穩(wěn)定系統(tǒng)的定義穩(wěn)定系統(tǒng)的定義n4.

16、7.2 系統(tǒng)穩(wěn)定的條件系統(tǒng)穩(wěn)定的條件返回首頁4.7.1 穩(wěn)定系統(tǒng)的定義穩(wěn)定系統(tǒng)的定義n一個連續(xù)系統(tǒng)，如果對于任意有界輸入產(chǎn)生的零一個連續(xù)系統(tǒng)，如果對于任意有界輸入產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)也是有界的，則稱該系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)。狀態(tài)響應(yīng)也是有界的，則稱該系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)。即對于一個穩(wěn)定系統(tǒng)，若輸入信號：即對于一個穩(wěn)定系統(tǒng)，若輸入信號：則輸出響應(yīng)：則輸出響應(yīng)：xMtx)(返回本節(jié)yMty)(4.7.2 系統(tǒng)穩(wěn)定的條件系統(tǒng)穩(wěn)定的條件n1時域的穩(wěn)定條件時域的穩(wěn)定條件 n2頻域的穩(wěn)定條件頻域的穩(wěn)定條件 1時域的穩(wěn)定條件時域的穩(wěn)定條件 n設(shè) 連 續(xù) 時 間 系 統(tǒng) 的 輸 入 信 號設(shè) 連 續(xù) 時 間 系 統(tǒng) 的 輸 入

17、 信 號x(t) 滿 足滿 足|x(t)|Mx，則系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)：則系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)：dtxhtxthty)()()()()(或?qū)懗桑夯驅(qū)懗桑篸txhdtxhty)()()()()(2頻域的穩(wěn)定條件頻域的穩(wěn)定條件 n（1）穩(wěn)定系統(tǒng)）穩(wěn)定系統(tǒng) n（2）不穩(wěn)定系統(tǒng)）不穩(wěn)定系統(tǒng) n（3）臨界穩(wěn)定系統(tǒng)）臨界穩(wěn)定系統(tǒng) 22)(tvi)(tvos4s222)(sVi)(sVo12F21F41（a）時域電路模型 （b）域電路模型 圖4-19 例4-24圖)(sX)(sY)(sG)(sF圖4-20 例4-25圖返回本節(jié)4.8 系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)頻率特性系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)頻率特性n4.8.1 頻率特性頻率特性n4.8

18、.2 頻率特性的矢量作圖法頻率特性的矢量作圖法返回首頁4.8.1 頻率特性頻率特性n系統(tǒng)在正弦信號激勵的作用下，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)隨系統(tǒng)在正弦信號激勵的作用下，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)隨著激勵信號頻率的變化特性，稱為系統(tǒng)的頻率著激勵信號頻率的變化特性，稱為系統(tǒng)的頻率特性。特性。n包括幅度隨頻率變化而變化的幅頻特性和相包括幅度隨頻率變化而變化的幅頻特性和相位隨頻率變化而變化的相頻特性。位隨頻率變化而變化的相頻特性。 4.8.1 頻率特性頻率特性n下面從系統(tǒng)函數(shù)的觀點(diǎn)來考察系統(tǒng)的正弦穩(wěn)下面從系統(tǒng)函數(shù)的觀點(diǎn)來考察系統(tǒng)的正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)及頻率特性。態(tài)響應(yīng)及頻率特性。n設(shè)系統(tǒng)函數(shù)為設(shè)系統(tǒng)函數(shù)為h(s)，正弦激勵信號正弦激勵信號為為 ，其拉氏變換為：，其拉氏變換為：)(cos)(0tutEt