1、第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版1第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版2 本章內容本章內容 3.1 靜電場分析靜電場分析 3.2 導電媒質中的恒定電場分析導電媒質中的恒定電場分析 3.3 恒定磁場分析恒定磁場分析 3.4 靜態場的邊值問題及解的惟一性定理靜態場的邊值問題及解的惟一性定理 3.5 鏡像法鏡像法 3.6 分離變量法分離變量法

2、靜態電磁場：靜態電磁場：場量不隨時間變化，包括：場量不隨時間變化，包括： 靜電場、恒定電場和恒定磁場靜電場、恒定電場和恒定磁場 時變情況下，電場和磁場相互關聯，構成統一的電磁場時變情況下，電場和磁場相互關聯，構成統一的電磁場 靜態情況下，電場和磁場由各自的源激發，且相互獨立靜態情況下，電場和磁場由各自的源激發，且相互獨立 第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版33.1 靜電場分析靜電場分析 學習內容學習內容 3.1.1 靜電場的基本方程和邊界條件靜電場的基本方程和邊界條

3、件 3.1.2 電位函數電位函數 3.1.3 導體系統的電容與部分電容導體系統的電容與部分電容 3.1.4 靜電場的能量靜電場的能量 3.1.5 靜電力靜電力第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版42. 邊界條件邊界條件0ED微分形式：微分形式：ED本構關系：本構關系：1. 基本方程基本方程0)()(21n21nEEDDeeS0ddlESDCSq積分形式：積分形式：0)(0)(2121EEeDDenn02t1tn2n1EEDDS或或2t1tn2n1EEDD或或3.1.1

4、 靜電場的基本方程和邊界條件靜電場的基本方程和邊界條件若分界面上不存在面電荷，即若分界面上不存在面電荷，即 ，則，則0S第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版5介質介質2 2介質介質1 121212E1Ene212n21n12n2t1n1t21/tantanDDEEEE 在靜電平衡的情況下，導體內部的電場為在靜電平衡的情況下，導體內部的電場為0，則導體表面的，則導體表面的邊界條件為邊界條件為 0nnEDeeS0tnEDS或或 場矢量的折射關系場矢量的折射關系 導體表面的

5、邊界條件導體表面的邊界條件第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版60E由由即即靜電場可以用一個標量函數的梯度來表示，靜電場可以用一個標量函數的梯度來表示，標量函數標量函數 稱為靜稱為靜電場的標量電位或簡稱電位。電場的標量電位或簡稱電位。1. 電位函數的定義電位函數的定義E3.1.2 電位函數電位函數第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版72. 電

6、位的表達式電位的表達式對于連續的體分布電荷，由對于連續的體分布電荷，由同理得，面電荷的電位：同理得，面電荷的電位： 1()( )d4VrrVCR故得故得點電荷的電位：點電荷的電位：( )4qrCR()1( )d4lCrrlCRd)1)(41d)1()(41d)(41)(3VRrVRrVRRrrEVVV3)1(RRR線電荷的電位：線電荷的電位：rrR( )1( )dS4SsrrCR第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版83. 電位差電位差兩端點乘兩端點乘 ，則有，則有ld

7、E將將d)ddd(ddyyyyxxllE上式兩邊從點上式兩邊從點P到點到點Q沿任意路徑進行積分，得沿任意路徑進行積分，得關于電位差的說明關于電位差的說明 P、Q 兩點間的電位差等于電場力將單位正電荷從兩點間的電位差等于電場力將單位正電荷從P點移至點移至Q 點點 所做的功，電場力使單位正電荷由高電位處移到低電位處。所做的功，電場力使單位正電荷由高電位處移到低電位處。 電位差也稱為電壓，可用電位差也稱為電壓，可用U 表示。表示。 電位差有確定值，只與首尾兩點位置有關，與積分路徑無關。電位差有確定值，只與首尾兩點位置有關，與積分路徑無關。)()(ddQPlEQPQPP、Q 兩點間的電位差兩點間的電位

8、差電場力做電場力做的功的功第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版9 靜電位不惟一，可以相差一個常數，即靜電位不惟一，可以相差一個常數，即)(CC選參考點選參考點令參考點電位為零令參考點電位為零電位確定值電位確定值( (電位差電位差) )兩點間電位差有定值兩點間電位差有定值 選擇電位參考點的原則選擇電位參考點的原則 應使電位表達式有意義。應使電位表達式有意義。 應使電位表達式最簡單。若電荷分布在有限區域，通常取無應使電位表達式最簡單。若電荷分布在有限區域，通常取無 限遠作

9、電位參考點。限遠作電位參考點。 同一個問題只能有一個參考點。同一個問題只能有一個參考點。4. 電位參考點電位參考點 為使空間各點電位具有確定值，可以選定空間某一點作為參考為使空間各點電位具有確定值，可以選定空間某一點作為參考點，且令參考點的電位為零，由于空間各點與參考點的電位差為確點，且令參考點的電位為零，由于空間各點與參考點的電位差為確定值，所以該點的電位也就具有確定值，即定值，所以該點的電位也就具有確定值，即第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版10 例例 3.1.

10、1 求電偶極子的電位求電偶極子的電位. . 解解 在球坐標系中在球坐標系中211202104)11(4)(rrrrqrrqrcos)2/(cos)2/(222221rddrrrddrrcos22drr用二項式展開，由于，得用二項式展開，由于，得dr ,cos21drr302020444cos)(rrrrqdrrpep代入上式，得代入上式，得 表示電偶極矩，方向由負電荷指向正電荷。表示電偶極矩，方向由負電荷指向正電荷。dqp+q電偶極子電偶極子zodq1r2rr),(rP第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像

11、出版社高等教育電子音像出版社 出版出版11ErErrdd21sinCr 將將 和和 代入上式，代入上式，解得解得E線方程為線方程為ErE 由球坐標系中的梯度公式，可得到電偶極子的遠區電場強度由球坐標系中的梯度公式，可得到電偶極子的遠區電場強度)sincos2(430eerrq)sin11()(rerererErcos2Cr Crp204cos等位線等位線電場線電場線電偶極子的場圖電偶極子的場圖電場線微分方程電場線微分方程：等位線方程等位線方程：第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版

12、社 出版出版12 解解 選定均勻電場空間中的一點選定均勻電場空間中的一點O為坐標原點，而任意點為坐標原點，而任意點P 的的位置矢量為位置矢量為r ，則，則000( )( )ddPPoOPOElErEr rrrrrr若選擇點若選擇點O為電位參考點，即為電位參考點，即 ，則，則( )0O0( )PEr rr000( )coszPErer EE r rrr r 在球坐標系中，取極軸與在球坐標系中，取極軸與 的方向的方向一致，即一致，即 ，則有，則有00zEe E0Ezree z000( )()cosxzPEreE ee zE rrrrr 在圓柱坐標系中，取在圓柱坐標系中，取 與與x 軸方向一致，即軸

13、方向一致，即 ，而，而 ，故，故 00 xEe E0E0ExzOPr 例例3.1.2 求均勻電場的電位分布。求均勻電場的電位分布。第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版13xyzL-L( , , ) z zddlzRz 解解 采用圓柱坐標系，令線電荷與采用圓柱坐標系，令線電荷與 z 軸相重合，中點位于坐軸相重合，中點位于坐標原點。由于軸對稱性，電位與標原點。由于軸對稱性，電位與 無關。無關。在帶電線上位于在帶電線上位于 處的線元處的線元 ，它，它到點到點 的距離的距離

14、，則則22()Rzzddlz( , , )Pz 02201()d4()LlLrzzz2200ln() 4LlLzzzz 220220()()ln4()()lzLzLzLzL 例例3.1.3 求長度為求長度為2L、電荷線密度為、電荷線密度為 的均勻帶電線的電位。的均勻帶電線的電位。0l第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版142222000220002( )lnlnln422lllLLLLLrLL 在上式中若令在上式中若令 ，則可得到無限長直線電荷的電位。當，則可得到無限

15、長直線電荷的電位。當 時，上式可寫為時，上式可寫為 LRL 當當 時，上式變為無窮大，這是因為電荷不是分布在有限區時，上式變為無窮大，這是因為電荷不是分布在有限區域內，而將電位參考點選在無窮遠點之故。這時可在上式中加上域內，而將電位參考點選在無窮遠點之故。這時可在上式中加上一個任意常數，則有一個任意常數，則有L 002( )ln2lLrC并選擇有限遠處為電位參考點。例如，選擇并選擇有限遠處為電位參考點。例如，選擇= a 的點為電位參的點為電位參考點，則有考點，則有002ln2lLCa 00( )ln2lar第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教

16、育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版15在均勻介質中，有在均勻介質中，有5. 電位的微分方程電位的微分方程在無源區域，在無源區域，0EED202標量泊松方程標量泊松方程拉普拉斯方程拉普拉斯方程第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版166. 靜電位的邊界條件靜電位的邊界條件 設設P1和和P2是介質分界面兩側緊貼界面的相鄰兩點，其電位分是介質分界面兩側緊貼界面的相鄰兩點，其電位分別為別為1和和2。當兩點間距離當兩點間距離l0時時 導體

17、表面上電位的邊界條件：導體表面上電位的邊界條件：0dlim21021PPlElSe)(21nDDD由由 和和12媒質媒質2媒質媒質121l2P1P 若介質分界面上無自由電荷，即若介質分界面上無自由電荷，即0Snn1122常數，常數，SnSnn112221第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版17 例例3.1.4 兩塊無限大接地導體平板分別置于兩塊無限大接地導體平板分別置于 x = 0 和和 x = a 處，處，在兩板之間的在兩板之間的 x = b 處有一面密度為處有一面

18、密度為 的均勻電荷分布，如圖所的均勻電荷分布，如圖所示。求兩導體平板之間的電位和電場。示。求兩導體平板之間的電位和電場。0S 解解 在兩塊無限大接地導體平板之間，除在兩塊無限大接地導體平板之間，除 x = b 處有均勻面電處有均勻面電荷分布外，其余空間均無電荷分布，故電位函數滿足一維拉普拉荷分布外，其余空間均無電荷分布，故電位函數滿足一維拉普拉斯方程斯方程212d( )0,(0)dxxbx222d( )0,()dxbxax111222( )( )xC xDxC xD方程的解為方程的解為obaxy兩塊無限大平行板兩塊無限大平行板0S1( )x2( ) x第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科

19、技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版180110(),0SbaCDa 002200,SSbbCDa 010020()( ),(0)( )(),()SSabxxxbabxaxbxaa 0110()( )( )SxabE xxea1221122021000SDC aDC bDC bDCC 利用邊界條件，有利用邊界條件，有xb12( )( ),bb0210( )( )Sx bxxxx 處，處，最后得最后得0 x 處，處，1(0)0 x a2( )0a 處，處，所以所以0220( )( )SxbE xxea由此解得由

20、此解得第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版19電容器廣泛應用于電子設備的電路中：電容器廣泛應用于電子設備的電路中： 在電子電路中，利用電容器來實現濾波、移相、隔直、旁在電子電路中，利用電容器來實現濾波、移相、隔直、旁 路、選頻等作用。路、選頻等作用。 通過電容、電感、電阻的排布，可組合成各種功能的復雜通過電容、電感、電阻的排布，可組合成各種功能的復雜 電路。電路。 在電力系統中，可利用電容器來改善系統的功率因數，以在電力系統中，可利用電容器來改善系統的功率因數，以 減

21、少電能的損失和提高電氣設備的利用率。減少電能的損失和提高電氣設備的利用率。 3.1.3 導體系統的電容與部分電容導體系統的電容與部分電容第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版20 電容是導體系統的一種基本屬性，是描述導體系統電容是導體系統的一種基本屬性，是描述導體系統 儲存電荷儲存電荷能力的物理量。能力的物理量。 孤立導體的電容定義為所帶電量孤立導體的電容定義為所帶電量q與其電位與其電位 的比值，即的比值，即qC 1. 電容電容 孤立導體的電容孤立導體的電容 兩個帶等量

22、異號電荷（兩個帶等量異號電荷（ q）的導體組成的電容器，其電容為的導體組成的電容器，其電容為12qqCU 電容的大小只與導體系統的幾何尺寸、形狀和及周圍電介質電容的大小只與導體系統的幾何尺寸、形狀和及周圍電介質 的特性參數有關，而與導體的帶電量和電位無關。的特性參數有關，而與導體的帶電量和電位無關。第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版21 (1) 假定兩導體上分別帶電荷假定兩導體上分別帶電荷+q 和和q ； (2) 計算兩導體間的電場強度計算兩導體間的電場強度E； 計

23、算電容的步驟：計算電容的步驟：UqC (4) 求比值求比值 ，即得出所求電容。，即得出所求電容。21dlEU (3) 由由 ，求出兩導體間的電位差；，求出兩導體間的電位差；第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版22 解解：設內導體的設內導體的電荷為電荷為q ，則由高斯定理可求得內外導體間，則由高斯定理可求得內外導體間的電場的電場44rr22qqDe,Eerr0011d()44baqqbaUE rabab同心導體間的電壓同心導體間的電壓04abqCUba球形電容器的電容球

24、形電容器的電容04Ca當當 時，時，b 例例3.1.4 同心球形電容器的內導體半徑為同心球形電容器的內導體半徑為a 、外導體半徑為、外導體半徑為b，其間填充介電常數為其間填充介電常數為的均勻介質。的均勻介質。求此球形電容器的電容。求此球形電容器的電容。孤立導體球的電容孤立導體球的電容abo第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版23 例例 3.1.5 如圖所示的平行雙線傳輸線，導線半徑為如圖所示的平行雙線傳輸線，導線半徑為a ，兩導線，兩導線的軸線距離為的軸線距離為D ，

25、且，且D a ，求傳輸線單位長度的電容。，求傳輸線單位長度的電容。l 解解 設兩導線單位長度帶電量分別為設兩導線單位長度帶電量分別為 和和 。由于。由于 ，故可近似地認為電荷分別均勻分布在兩故可近似地認為電荷分別均勻分布在兩導線的表面上。應用高斯定理和疊加原導線的表面上。應用高斯定理和疊加原理，可得到兩導線之間的平面上任一點理，可得到兩導線之間的平面上任一點P 的電場強度為的電場強度為lDa011( )()2lxE xexDx兩導線間的電位差兩導線間的電位差210011d()dln2DallaDaUElxxDxa故單位長度的電容為故單位長度的電容為001(F/m)ln()ln()lCUDaaD

26、 axyzxDa第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版24 例例3.1.6 同軸線內導體半徑為同軸線內導體半徑為a ，外導體半徑為，外導體半徑為b ，內外導體，內外導體間填充的介電常數為間填充的介電常數為 的均勻介質，的均勻介質，求同軸線單位長度的電容。求同軸線單位長度的電容。( )2lEe內外導體間的電位差內外導體間的電位差1( )dd2bblaaUEell 解解 設同軸線的內、外導體單位長度帶電量分別為設同軸線的內、外導體單位長度帶電量分別為 和和 ，應用高斯定理可

27、得到內外導體間任一點的電場強度為應用高斯定理可得到內外導體間任一點的電場強度為故得同軸線單位長度的電容為故得同軸線單位長度的電容為12(F/m)ln( / )lCUb aab同軸線同軸線ln( / )2lb a第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版25 如果充電過程進行得足夠緩慢，就不會有能量輻射，充電過如果充電過程進行得足夠緩慢，就不會有能量輻射，充電過程中外加電源所做的總功將全部轉換成電場能量，或者說電場能程中外加電源所做的總功將全部轉換成電場能量，或者說電場能量就

28、等于外加電源在此電場建立過程中所做的總功。量就等于外加電源在此電場建立過程中所做的總功。靜電場能量來源于建立電荷系統的過程中外源提供的能量。靜電場能量來源于建立電荷系統的過程中外源提供的能量。靜電場最基本的特征是對電荷有作用力，這表明靜電場具有靜電場最基本的特征是對電荷有作用力，這表明靜電場具有 能量。能量。 任何形式的帶電系統，都要經過從沒有電荷分布到某個最終任何形式的帶電系統，都要經過從沒有電荷分布到某個最終電荷分布的建立電荷分布的建立(或充電或充電)過程。在此過程中，外加電源必須克服過程。在此過程中，外加電源必須克服電荷之間的相互作用力而做功。電荷之間的相互作用力而做功。3.1.4 靜電

29、場的能量靜電場的能量 第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版261. 靜電場的能量靜電場的能量 設系統從零開始充電，最終帶電量為設系統從零開始充電，最終帶電量為 q 、電位為、電位為 。 充電過程中某一時刻的電荷量為充電過程中某一時刻的電荷量為q 、電位為、電位為 。(01) 當當增加為增加為(+ d)時，外電源做功為時，外電源做功為: (q d)。 對對從從0 到到 1 積分，即得到外電源所做的總功為積分，即得到外電源所做的總功為101d2qq 根據能量守恒定律，此功

30、也就是電量為根據能量守恒定律，此功也就是電量為 q 的帶電體具有的電的帶電體具有的電場能量場能量We ，即，即 對于電荷體密度為對于電荷體密度為的體分布電荷，體積元的體分布電荷，體積元dV中的電荷中的電荷dV具具有的電場能量為有的電場能量為qW21eVWd21de第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版27故體分布電荷的電場能量為故體分布電荷的電場能量為對于面分布電荷，對于面分布電荷，電場能量為電場能量為對于多導體組成的帶電系統，則有對于多導體組成的帶電系統，則有iq 第

31、第i 個導體所帶的電荷個導體所帶的電荷i 第第i 個導體的電位個導體的電位式中：式中： iiiiSSiiSiSqSSWiiii21d21d21eVVWd21eSSSWd21e第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版282. 電場能量密度電場能量密度 從場的觀點來看，靜電場的能量分布于電場所在的整個空間。從場的觀點來看，靜電場的能量分布于電場所在的整個空間。EDw21e電場能量密度：電場能量密度：e1d2VWD E V電場的總能量：電場的總能量：積分區域為電場積分區域為電場

32、所在的整個空間所在的整個空間2e111ddd222VVVWD E VE E VEV 對于線性、各向同性介質，則有對于線性、各向同性介質，則有2e111222wD EE EE 第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版29由于體積由于體積V外的電荷密度外的電荷密度0，若將上，若將上式中的積分區域擴大到整個場空間，結式中的積分區域擴大到整個場空間，結果仍然成立。只要電荷分布在有限區域果仍然成立。只要電荷分布在有限區域內，當閉合面內，當閉合面S 無限擴大時，則有無限擴大時，則有2

33、11 O( O()DRR)、2111d O(.d ) O()0SSDSSRRR故故11dd22SVDSE D V 推證推證：()DDD ()ddVSD VDSE D R0Se11dd22VVWVDV1()d2VDDV第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版30 例例3.1.7 半徑為半徑為a 的球形空間內均勻分布有電荷體密度為的球形空間內均勻分布有電荷體密度為的電的電荷，試求靜電場能量。荷，試求靜電場能量。5202420622020220154)d49d49(21arrr

34、arrraa10()3rrEera 解解： 方法一方法一，利用利用 計算計算 VVEDWd21e 根據高斯定理求得電場強度根據高斯定理求得電場強度 3220()3raEerar故故VEVEVEDWVVVd21d21d2121220210e第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版31)()3(2d3d3dd2202030211arrarrarrrErEaraara 方法二方法二：利用利用 計算計算 VVWd21e 先求出電位分布先求出電位分布 故故5202022021e15

35、4d4)3(221d21arrraVWaV第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版323.2 導電媒質中的恒定電場分析導電媒質中的恒定電場分析 3.2.1 恒定電場的基本方程和邊界條件恒定電場的基本方程和邊界條件 3.2.2 恒定電場與靜電場的比擬恒定電場與靜電場的比擬 3.2.3 漏電導漏電導第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版33 由由J J

36、 E E 可知，導體中若存在恒定電流，則必有維持該電流可知，導體中若存在恒定電流，則必有維持該電流的電場，雖然導體中產生電場的電荷作定向運動，但導體中的電的電場，雖然導體中產生電場的電荷作定向運動，但導體中的電荷分布是一種不隨時間變化的恒定分布，這種恒定分布電荷產生荷分布是一種不隨時間變化的恒定分布，這種恒定分布電荷產生的電場稱為恒定電場。的電場稱為恒定電場。 恒定電場與靜電場的重要區別：恒定電場與靜電場的重要區別： （1 1）恒定電場可以存在于導體內部。）恒定電場可以存在于導體內部。 （2 2）恒定電場中有電場能量的損耗）恒定電場中有電場能量的損耗, ,要維持導體中的恒定電要維持導體中的恒定

37、電流，就必須有外加電源來不斷補充被損耗的電場能量。流，就必須有外加電源來不斷補充被損耗的電場能量。 恒定電場和靜電場都是有源無旋場，具有相同的性質。恒定電場和靜電場都是有源無旋場，具有相同的性質。 3.2.1 恒定電場的基本方程和邊界條件恒定電場的基本方程和邊界條件第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版34EJ0d0dlESJCS00EJ1. 1. 基本方程基本方程 恒定電場的基本方程為恒定電場的基本方程為微分形式：微分形式：積分形式：積分形式：)(rJ 恒定電場的基本

38、場矢量是電流密度恒定電場的基本場矢量是電流密度 和電場強度和電場強度)(rE 線性各向同性導電媒質的本構關系線性各向同性導電媒質的本構關系0)(EEJ 恒定電場的電位函數恒定電場的電位函數0E0 EE0 J由由0)(02若媒質是均勻的，則若媒質是均勻的，則 均勻導電媒質中均勻導電媒質中沒有體分布電荷沒有體分布電荷第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版352. 恒定電場的邊界條件恒定電場的邊界條件0dlEC0dSJS媒質媒質2 2媒質媒質1 121212E1Ene0)(2

39、1nJJe0)(21nEEe 場矢量的邊界條件場矢量的邊界條件2nn1JJ即即2t1tEE即即 導電媒質分界面上的電荷面密度導電媒質分界面上的電荷面密度n2211222111n21n)()()(JeeSJJDD場矢量的折射關系場矢量的折射關系212n21n12n2t1n1t21/tantanJJEEEE第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版36 電位的邊界條件電位的邊界條件nn221121, 恒定電場同時存在于導體內部和外部，在導體表面上的電場恒定電場同時存在于導體內部

40、和外部，在導體表面上的電場 既有法向分量又有切向分量，電場并不垂直于導體表面，既有法向分量又有切向分量，電場并不垂直于導體表面，因因 而導體表面不是等位面；而導體表面不是等位面；ab11、 說明：說明：第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版37媒質媒質2 2媒質媒質1 12122E1E)(12媒質媒質2 2媒質媒質1 12012Ene1E)0(1 如如2 1、且、且 290，則則 10， 即電場線近似垂直于與良導體表面。即電場線近似垂直于與良導體表面。 此時，良導體表面

41、可近似地看作為此時，良導體表面可近似地看作為 等位面；等位面； 若媒質若媒質1為理想介質為理想介質，即即 10，則則 J1=0，故故J2n= 0 且且 E2n= 0，即導體，即導體 中的電流和電場與分界面平行中的電流和電場與分界面平行。第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版383.2.2 恒定電場與靜電場的比擬恒定電場與靜電場的比擬 如果兩種場，在一定條件下，場方程有相同的形式，邊界如果兩種場，在一定條件下，場方程有相同的形式，邊界形狀相同，邊界條件等效，則其解也必有相

42、同的形式，求解這形狀相同，邊界條件等效，則其解也必有相同的形式，求解這兩種場分布必然是同一個數學問題。只需求出一種場的解，就兩種場分布必然是同一個數學問題。只需求出一種場的解，就可以用對應的物理量作替換而得到另一種場的解。這種求解場可以用對應的物理量作替換而得到另一種場的解。這種求解場的方法稱為比擬法。的方法稱為比擬法。第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版39恒定電場與靜電場的比擬恒定電場與靜電場的比擬基本方程基本方程ED,EEJ0202n2n1t2t1 DDEEn2

43、n1t2t1 JJEE靜電場（靜電場（ 區域）區域） 00d, 0dlESJCS0, 0EJ,E0,0DEnn221121 ,nn221121 ,本構關系本構關系位函數位函數邊界條件邊界條件恒定電場（電源外）恒定電場（電源外）對應物理量對應物理量靜電場靜電場EEDJqI恒定電場恒定電場GC0d, 0dlESDCS第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版40 例例3.2.1一個有兩層介質的平行板電容器，其參數分別為一個有兩層介質的平行板電容器，其參數分別為 1、 1 和和

44、2、 2 ，外加電壓，外加電壓U。求介質面上的自由電荷密度。求介質面上的自由電荷密度。 解解：極板是理想導體，：極板是理想導體，為等位面，電流沿為等位面，電流沿z 方向。方向。1n2nJJ 由由1n2nSDD由由U1d2d11, 22, zo12121 12212()ddUUUEdE dJ12121122,JJJJEE12JJJ1212()ddJU121212,SSDJDJ上下21122 121212112()SDDJUdd 介第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版41

45、 例例3.2.2 填充有兩層介質的同軸電纜，內導體半徑為填充有兩層介質的同軸電纜，內導體半徑為a，外導，外導體半徑為體半徑為c，介質的分界面半徑為，介質的分界面半徑為b。兩層介質的介電常數為。兩層介質的介電常數為 1 和和 2 、電導率為、電導率為 1 和和 2 。設內導體的電壓為。設內導體的電壓為U0 ，外導體接地。求：，外導體接地。求：（1）兩導體之間的電流密度和電場強度分布；（）兩導體之間的電流密度和電場強度分布；（2）介質分界面）介質分界面上的自由電荷面密度。上的自由電荷面密度。J1212I外導體外導體內導體內導體介質介質2 2介質介質1abc11、22、0U第3章 電磁場與電磁波電磁

46、場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版42 （1）設同軸電纜中單位長度的徑向電流為）設同軸電纜中單位長度的徑向電流為I ,則由則由 可得電流密度可得電流密度Sd,JSI()2IJeac111()2JIEeab 介質中的電場介質中的電場222()2JIEebc 解解 電流由內導體流向外導體，在分界面上只有法向分量，電流由內導體流向外導體，在分界面上只有法向分量，所以電流密度成軸對稱分布。可先假設電流為所以電流密度成軸對稱分布。可先假設電流為I，由求出電流密度由求出電流密度 的表達式，然后求出的表達

47、式，然后求出 和和 ，再由，再由 確確定出電流定出電流 I。J012ddbcabUEE1E2E第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版4312021()ln()ln()UJeacb ac b 20121()ln()ln()UEeabb ac b 10221()ln()ln()UEebcb ac b 故兩種介質中的電流密度和電場強度分別為故兩種介質中的電流密度和電場強度分別為120212ln()ln()UIb ac b 01212ddln( )ln( )22bcabIbIc

48、UEEab由于由于于是得到于是得到第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版4412011121ln()ln()SaUeEab ac b 21022221ln()ln()ScUeEcb ac b 1211221221021()()ln()ln()SbeEeEUbb ac b nSeD （2）由）由 可得，介質可得，介質1內表面的電荷面密度為內表面的電荷面密度為介質介質2外表面的電荷面密度為外表面的電荷面密度為兩種介質分界面上的電荷面密度為兩種介質分界面上的電荷面密度為J21

49、12I第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版45 工程上，常在電容器兩極板之間、同軸電纜的芯線與外殼之工程上，常在電容器兩極板之間、同軸電纜的芯線與外殼之間，填充不導電的材料作電絕緣。這些絕緣材料的電導率遠遠小間，填充不導電的材料作電絕緣。這些絕緣材料的電導率遠遠小于金屬材料的電導率，但畢竟不為零，因而當在電極間加上電壓于金屬材料的電導率，但畢竟不為零，因而當在電極間加上電壓U 時，必定會有微小的漏電流時，必定會有微小的漏電流 J 存在。存在。 漏電流與電壓之比為漏電導

50、，即漏電流與電壓之比為漏電導，即UIG 其倒數稱為絕緣電阻，即其倒數稱為絕緣電阻，即IUGR13.2.3 漏電導漏電導第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版46(1) 假定兩電極間的電流為假定兩電極間的電流為I ； 計算兩電極間的電流密度計算兩電極間的電流密度 矢量矢量J ； 由由J = E 得到得到 E ; 由由 ，求出兩導，求出兩導 體間的電位差；體間的電位差； (5) 求比值求比值 ，即得，即得出出(2) 所求電導。所求電導。21dlEUUIG/ 計算電導的方法一

51、計算電導的方法一： 計算電導的方法二計算電導的方法二： (1) 假定兩電極間的電位差為假定兩電極間的電位差為U； (2) 計算兩電極間的電位分布計算兩電極間的電位分布 ； (3) 由由 得到得到E ; (4) 由由 J = E 得到得到J ; (5) 由由 ，求出兩導體間，求出兩導體間 電流；電流； (6) 求比值求比值 ，即得出所，即得出所 求電導。求電導。ESISJdUIG/ 計算電導的方法三計算電導的方法三：靜電比擬法：靜電比擬法：CG第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社

52、 出版出版47 例例3.2.3 求同軸電纜的絕緣電阻。設內外的半徑分別為求同軸電纜的絕緣電阻。設內外的半徑分別為a 、b，長度為長度為l ，其間媒質的電導率為，其間媒質的電導率為、介電常數為、介電常數為。解解：直接用恒定電場的計算方法直接用恒定電場的計算方法電導電導)/ln(2ablUIG絕緣電阻絕緣電阻ablGRln211baablIlIUln2d2dlElba則則IlIJ2lIJE2設由內導體流向外導體的電流為設由內導體流向外導體的電流為I 。第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像

53、出版社 出版出版48012222000, 0U 方程通解為方程通解為21CC 例例3.2.4 在一塊厚度為在一塊厚度為h 的導電板上，的導電板上， 由兩個半徑為由兩個半徑為r1 和和 r2 的圓弧和夾角為的圓弧和夾角為 0 的兩半徑割出的一段環形導電媒質，如圖所的兩半徑割出的一段環形導電媒質，如圖所示。計算沿示。計算沿 方向的兩電極之間的電阻。設導電媒質的電導率為方向的兩電極之間的電阻。設導電媒質的電導率為。 解：解： 設在沿設在沿 方向的兩電極之間外加電壓方向的兩電極之間外加電壓U0，則電流沿則電流沿 方向流動，而且電流密度是隨方向流動，而且電流密度是隨 變化的。但容易變化的。但容易判定電位

54、判定電位 只是只是變量變量 的函數，因此電位函數的函數，因此電位函數 滿足一維滿足一維拉普拉斯方程拉普拉斯方程代入邊界條件代入邊界條件可以得到可以得到10020/,CUCU環形導電媒質塊環形導電媒質塊r1hr2 0J第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版49電流密度電流密度00UJEe兩電極之間的兩電極之間的電流電流21002001ddlnrSrUU hrIJSee hr故故沿沿 方向的兩電極之間的電阻方向的兩電極之間的電阻為為0021( )ln(/ )URIhrr00

55、0UU所以所以00UEee 第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版503.3.1 恒定磁場的基本方程和邊界條件恒定磁場的基本方程和邊界條件3.3.2 恒定磁場的矢量磁位和標量磁位恒定磁場的矢量磁位和標量磁位3.3.3 電感電感3.3.4 恒定磁場的能量恒定磁場的能量3.3.5 磁場力磁場力 3.3 恒定磁場分析恒定磁場分析第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出

56、版社 出版出版510HJB微分形式微分形式: :0dddSSCSBSJlH1. 基本方程基本方程BH2. 邊界條件邊界條件本構關系：本構關系：SJHHeBBe)(0)(21n21nSJHHBBt2t12n1n0或或若分界面上不存在面電流，即若分界面上不存在面電流，即JS0，則，則積分形式積分形式: :0)(0)(21n21nHHeBBe或或002tt1n2n1HHBB3.3.1 恒定磁場的基本方程和邊界條件恒定磁場的基本方程和邊界條件第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出

57、版52 矢量磁位的定義矢量磁位的定義 磁矢位的任意性磁矢位的任意性 與電位一樣，磁矢位也不是惟一確定的，它加上任意一個標與電位一樣，磁矢位也不是惟一確定的，它加上任意一個標量量 的梯度以后，仍然表示同一個磁場，即的梯度以后，仍然表示同一個磁場，即由由AA 0BBA 即恒定磁場可以用一個矢量函數的旋度來表示。即恒定磁場可以用一個矢量函數的旋度來表示。 磁矢位的任意性是因為只規定了它的旋度，沒有規定其散度磁矢位的任意性是因為只規定了它的旋度，沒有規定其散度造成的。為了得到確定的造成的。為了得到確定的A，可以對，可以對A的散度加以限制，在恒定磁的散度加以限制，在恒定磁場中通常規定，并稱為庫侖規范。場

58、中通常規定，并稱為庫侖規范。0A()AAA 1. 恒定磁場的矢量磁位恒定磁場的矢量磁位矢量磁位或稱磁矢位矢量磁位或稱磁矢位 3.3.2 恒定磁場的矢量磁位和標量磁位恒定磁場的矢量磁位和標量磁位第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版53 磁矢位的微分方程磁矢位的微分方程在無源區：在無源區：ABHJ0A 0J JA202 A矢量泊松方程矢量泊松方程矢量拉普拉斯方程矢量拉普拉斯方程AJ2()AAJ 磁矢位的表達式磁矢位的表達式3( )1( )d( )()d44VVJ rRB

59、rVJ rVRR 1( )()d4VJ rVR ()111()()()()()()J rJ rJ rJ rRRRR 31()RRR 第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版54 磁矢位的邊界條件磁矢位的邊界條件（可以證明滿足（可以證明滿足 ） 0A對于面電流和細導線電流回路，磁矢位分別為對于面電流和細導線電流回路，磁矢位分別為 利用磁矢位計算磁通量：利用磁矢位計算磁通量：0A 12AA12()nSeHHJ/HA121211()nSeAAJ細線電流細線電流：CRlIrAd4

60、)(面電流面電流：SSSRrJrAd)(4)(由此可得出由此可得出VVRrJrAd)(4)(SCSBlAddCSSlASASBddd0dSSA2t1tAA 2n1nAA第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版55 例例 3.3.1 求小圓環電流回路的遠區矢量磁位與磁場。小圓形回求小圓環電流回路的遠區矢量磁位與磁場。小圓形回路的半徑為路的半徑為a ，回路中的電流為，回路中的電流為I 。 解解 如圖所示，由于具有軸對稱性，如圖所示，由于具有軸對稱性，矢量磁位和磁場均矢量磁位和磁場均與與 無關，計算無關，計算 xO z 平平面上的矢量磁位與磁場面上的矢量磁位與磁場將不失一般性。將不失一般性。(sincos )rxzre rr ee(cossin)rxzre aa eedd(sincos) dxyle aeea 222221 2( sincos)sincos)rrraar221 22sincosraar小圓環電流小圓環電流aIxzyrRdlrIPO第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等