1、第5節 多元函數的高階偏導數對于一元函數，一階導函數的導數稱為原來函數的二階導數；階導函數的導數稱為原來函數的階導數。對于多元函數，也可類似地定義高階偏導數設在區域內可偏導，其偏導數,仍是的二元函數，仍可以考慮求它們的偏導數稱為原來函數的二階偏導數分別記作，或，；，或，；，或，；，或，其中也稱為函數關于的二階混合偏導數（符號游戲）一般地，階偏導函數的（偏）導數稱為原來函數的階（偏）導數。二階及二階以上的偏導數統稱為高階偏導數思考題：1與是否相同？與是否相同？（完全不一樣！）【例5.1】 設，求的所有二階偏導數解，；（請注意：此題中）【例5.2】 設證明：,均二階可導,為常數解令，則有， ，從而

2、有【例5.3】 設，求，解時，有，時，有，不存在在例5.1中，在例5.3中，不存在，這說明，在某些情況下，二階混合偏導與求導次序無關，而在某些情況下，二階混合偏導與求導次序有關那么在什么情況下，二階混合偏導與求導次序無關呢？定理5.1如果函數的二階混合偏導函數，在處連續，則證令設，則有，或，由一元函數的中值定理及關于的偏導函數存在，得又關于的偏導數存在，則由中值定理得，同理，即有，因為,在是連續，故，所以，高階混合偏導數在偏導數連續的條件下也與求導次序無關該結論可以推廣到一般多元函數的高階混合偏導數定理5.n如果函數的相應混合偏導函數在處連續，則在處的混合偏導數與求導次序無關（如果求導次序無關

3、，我們就不用計較求導次序了。）【例5.4】 設，求的二階偏導數解 ,，,復合函數求高階偏導數：先求有關較低階偏導函數，再對較低階偏導函數求導得到較高階偏導數。遇到低階偏導函數求導時也要先畫出它的函數圖。幸好，各階偏導函數的復合結構與原來函數的復合結構是一樣的，因此，各階偏導函數的函數圖與原來函數的函數圖是一樣的。例如，在的函數圖中把換成就得到的函數圖。【例5.5】 設，有二階連續偏導數，求，解函數圖，注意此時仍是二元復合函數，仍然有函數圖，故有引用前面給出的記號，有（注意到，求導次序無關。）同理可得， (測)【例5.6】 設，有二階連續偏導數，求的二階偏導數解令，則。函數圖，的函數圖， ，思考

4、題：2設，則，此解法是否正確？（第二式不對。應該是，）習題9-5A類1求下列函數的二階偏導數(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) ；(6) 2設具有連續的二階偏導數，求下列函數的高階偏導數(1) ，求，； *(2) ，求，；(3) ，求，；(4) ，求，；(5) ，求，；*(6) ，求，解 （3）3設，求*4設函數，證明滿足拉普拉斯方程式5設變換可將方程化為，求實數6設，其中，有連續的二階偏導數試證：B類1設，求的二階偏導數*2證明：函數滿足熱傳導方程*3證明：若函數滿足拉普拉斯方程，則函數也滿足拉普拉斯方程4設，其中有二階連續偏導數，有一階連續偏導數試證：解 故。*5求方程滿足條件

5、，的解6設,有二階連續偏導數，,為常數，(1)求；*(2)當，且時，求7引入新的函數，選擇適當的,，化簡方程第6節隱函數的求導法則在中學我們知道，一個方程解出一個未知數，兩、三個方程分別解出兩、三個未知數。因此，一個方程解出一個隱函數，個方程解出個隱函數。這一節我們討論：(1)在什么條件下，方程或能確定一個或個連續、可導、可微的隱函數？(2)怎樣求或確定的隱函數的導數？第（1）個問題我們不太在意。我們的重點在第（2）個問題（考點）。對于方程組情形，課本使用了雅可比行列式。我們勿略困難、易錯的雅可比行列式，只學方法。設是確定的隱函數；是確定的隱函數，則，。恒等式當然可以兩邊求導。求隱函數一階導數

6、方法：（1）把看作隱函數，則是恒等式；（2）恒等式兩邊對求導（注意：中有）得恒等式；（3）從恒等式解出。（1）看作隱函數，則是個恒等式；（2）個恒等式兩邊對求導（注意：中都有）得恒等式；（3）把當作未知解方程組即得到要求的。求隱函數高階導數方法有：（1）恒等式兩邊對求導得含的恒等式，再把解出且代入；（2）由，再把代入即得。（1）恒等式兩邊對求導得含的恒等式，再把解出且代入；（2）由再對求導即得（代入）。更高階的導數類似。我們應當反復練熟這套方法。6.1 一個方程的情形定理6.1(一元隱函數存在定理) 設二元函數滿足條件：, ，且在點的某鄰域內有連續偏導數，則方程在的某一鄰域中唯一確定了一個具有

7、連續導數的函數，它滿足及，且 (6.1)定理的結論只是在滿足條件的點的某鄰域內成立例如：方程（黑板解釋）【例6.1】驗證方程在點的某鄰域內能唯一地確定一個連續可導函數，并求解，故在的鄰域內滿足定理6.1條件，所以在的鄰域內能唯一地確定一個有連續導數的隱函數滿足條件。把當作的隱函數，是恒等式。兩邊對求導（中有！）得恒等式。解出，【例6.2】求由方程所確定的隱函數的導數解1公式法令,因, ，則有解2復合函數求導法注意是的函數，方程兩邊關于求導，由復合函數地求導法則，得，故解3利用全微分形式不變性方程兩邊微分，有，即，于是有上述隱函數存在定理可以推廣到三元及三元以上方程的情形：定理6.2(多元隱函數

8、存在定理) 設三元函數滿足條件：，且在點的某鄰域內，存在且連續，則方程在點的某鄰域內唯一確定一個連續且有連續偏導數的二元隱函數，滿足，且，其偏導數為， (6.2)【例6.3】求由方程所確定的隱函數的偏導數解1公式法設，則有，解2復合函數求導法注意到是,的函數，方程兩邊關于求偏導數，解得；方程兩邊關于求偏導數，得，解得解3利用全微分形式不變性對方程兩邊微分，有，即，所以，思考題：求隱函數的導數或偏導數的方法有哪些？【例6.4】求方程所確定的隱函數的二階導數，解1公式法設，有，得， ，解2復合函數求導法注意到是,的函數，方程兩邊對求偏導數，得， (6.3) (6.3)式兩邊再對求偏導數，得 (6.

9、5)(6.3)式兩邊對求偏導數，得 (6.6)由(6.3)式得，；方程兩邊對求偏導數，得 (6.4)由(6.4)式得，分別代入(6.5)，(6.6)，得，（測）注利用公式法和利用復合函數求導法時，必須注意求導過程中變量間的關系利用公式時，在求的計算過程中，視為相互獨立的變量；而在利用復合函數的求導法則計算時，是,的函數6.2 方程組的情形定理6.3(方程組情形下的隱函數存在定理) 設函數，滿足條件：(1)在點的某一鄰域內，具有一階連續偏導數， (2)，(3)由偏導數組成的行列式（稱為雅可比行列式）則方程組,在點的某鄰域內唯一確定了兩個具有連續偏導數的二元隱函數,，它滿足條件，且，下面僅就上述公

10、式作如下推導：設(6.7)能唯一地確定一組有連續偏導數的隱函數組,，對方程組(6.7)中的各方程兩邊關于求偏導數，得，即有， (6.8)方程組(6.8)是關于的線性方程組，如果其系數行列式，由解線性方程組的克萊姆法則，有，；同理，將方程組(6.7)中的各方程兩邊分別關于求偏導數，可得，定理6.3的結論還可推廣到個元方程組成的方程組的情形此結論雖然給出了方程組所確定的隱函數的求導公式，但一般來說，此求導公式用起來并不太方便且容易出錯，建議直接從方程組出發，將復合函數的求導法則及解方程組的方法結合起來，求出方程組所確定的隱函數組的偏導數【例6.5】設有方程組，求解方程組中的各方程兩邊分別關于求偏導

11、數，有，即，當時，解出，；類似地，用同樣方法可得，【例6.6】設方程組為,，驗證方程組在點的某鄰域內能唯一地確定有連續導數的函數組，并求解設，因為，且，故在點的某鄰域內確定了一組有連續導數的函數組在方程兩邊分別對求偏導數，注意到均為的函數，有，解出，也可以通過求微分得到相應的結果【例6.7】設,，求解方程兩邊分別求微分，得，因，當時，解出，故，【例6.8】設函數，在點的某一鄰域內有連續的偏導數，且證明：方程組,在點的某一鄰域內能唯一地確定一組單值連續且有連續偏導數的反函數，并求反函數對,的偏導數證(1) 將方程組改寫為，則有，因為在的某鄰域內有，故由隱函數存在定理6.3知，方程組在的某鄰域內能

12、唯一地確定連續且有連續偏導數的函數組(2) ，各方程兩邊分別關于,求偏導數，得 , ,解上述方程組解得，（此例告訴我們：反函數可當作隱函數！）習題9-6A類1求下列方程所確定的隱函數的導數或偏導數*(1) ，求；(2) ，求；(3) ，求；(4) ，求，2求由下列方程組所確定的隱函數的導數或偏導數*(1) ，求，在處的導數值；(2) ，求，；*(3) ，求，；(4) ，求，；*3設為可微函數證明：由方程所確定的隱函數滿足方程4求解下列各題(1)設，求，；*(2)設，求，；(3)設，求，；(4)設，求，5設由方程確定，其中有一階連續偏導數證明：6設由方程所確定，其中有一階連續偏導數，求7設有連續的一階偏導數，函數，分別由下列兩式確定：；求解 把當作的函數。方程組兩