1、數學中的化歸思想方法例談化歸法在解題中的運用 姓名：林軍玉摘要：所謂“化歸”從字面上可以理解為轉化和歸結。把所要解決的問題，經過某種變化，使之歸結為另一個問題*，再通過問題*的求解，把解得結果作用于原有問題，從而使原有問題得解，這種解決問題的方法，我們稱之為化歸法。“化歸”方法很多，有分割法，映射法，恒等變形法，換元變形法，參數法，數形結合法等等，但有一個原則是和原來的問題相比，“化歸”后所得出的問題，應是已經解決或是較為容易解決的問題。關鍵詞： 轉化 變形 還原 化歸法 實現化歸一化歸法概述 數學是探求、認識和刻劃自然規律的重要工具。在學習數學的各個環節中，解題的訓練占有十分重要的地位。它既

2、是掌握所學數學知識的必要手段，也是培養和提高數學能力的重要途徑。解題的實質就是把數學的一般原理運用于習題的條件或條件的推論而進行的一系列推理，直到求出習題解答為止的過程。這一過程是一種復雜的思維活動的過程。解決問題的過程，實際是轉化的過程，即對問題進行變形、轉化，直至把它化歸為某個(些)已經解決的問題，或容易解決的問題。如抽象轉化為具體，未知轉化為已知，立體轉化為平面，高次轉化為低次，多元轉化為一元，超越運算轉化為代數運算等等。 這就是在數學方法論中我們學習到的一種新的思維方法化歸，這種方法與我們常見的分析和綜合、抽象和概括、歸納和演繹、比較和類比等思想方法不同，“化歸”方法在中學數學教材中是

3、普遍存在，到處可見，與中學數學教學密切相關。如在引入“三角形內角和定理”時，可把三角形的三個角剪下來，可以拼成一個平角，這就是轉化，也可用下法引入，如下圖（1）中：ab，則12？（180°），圖（2）中12與180°的關系？（小于），少掉的那部分到哪兒去了？（3，即4）于是有124180°，充分運用了知識間內在聯系，使新舊知識得到順利轉化。 1a14a2b23 b 圖(1) 圖(2)所謂“化歸”從字面上可以理解為轉化和歸結。在數學方法中所論及的“化歸”方法是指數學家在解決問題的過程中，不是對問題進行直接攻擊，而是把待解決的問題進行變形，轉化，直到歸結到一類已經能解

4、決或者比較容易解決的問題中去，最終求獲原問題解答的一種手段和方法。張奠宙、過伯祥著的數學方法論稿中指出：“所謂化歸方法，是將一個問題A進行變形，使其歸結為另一個已能解決的問題B，既然B已可解決，那么A也就能解決了”。匈牙利著名數學家P·羅莎在她的名著無窮的玩藝一書中曾對“化歸法”作過生動的比擬。她寫道：“假設在你面前有煤氣灶、水龍頭、水壺和火柴，現在的任務是要燒水，你應當怎樣去做？”。正確的回答是：“在水壺中放上水，點燃煤氣，再把水壺放到煤氣灶上?！苯又_莎又提出第二個問題：“假設所有的條件都不變，只是水壺中已有了足夠的水，這時你應該怎樣去做？”。對此，人們往往回答說：“點燃煤氣，再

5、把壺放到煤氣灶上。”但羅莎認為這并不是最好的回答，因為“只有物理學家才這樣做，而數學家則會倒去壺中的水，并且聲稱我已經把后一問題化歸成先前的問題了?！绷_莎的比喻固然有點夸張，但卻道出了化歸的根本特征：在解決一個問題時人們的眼光并不落在問題的結論上，而是去尋覓、追溯一些熟知的結果，盡管向前走兩步，也許能達到目的，但我們也情愿退一步回到原來的問題上去。利用化歸法解決問題的過程可以簡單地用以下框圖表示：把所要解決的問題，經過某種變化，使之歸結為另一個問題*，再通過問題*的求解，把解得結果作用于原有問題，從而使原有問題得解，這種解決問題的方法，我們稱之為化歸法?；瘹w思想方法被古住今來許多科學家、實際工

6、作者所重視，十七世紀法國數學家笛卡爾經過長期思考，創造了解析幾何理論，他的理論基礎就是利用坐標系把帶有兩個未知數的代數方程看成平面上的一條曲線，從而利用代數方法研究幾何問題。實際上，笛卡爾正是運用化歸的思想方法才創立了解析幾何學。二化歸的基本方法“化歸”方法很多，有分割法，映射法，恒等變形法，換元變形法，參數法，數形結合法等等，但有一個原則是和原來的問題相比，“化歸”后所得出的問題，應是已經解決或是較為容易解決的問題。因此“化歸”的方向應是由未知到已知，由難到易，由繁到簡，由一般到特殊。而“化歸”的思想實質就在于不應以靜止的眼光，而應以運動、變化、發展以及事物間的相互聯系和制約的觀點去看待問題

7、。即應當善于對所要解決的問題進行變形和轉化，這實際上也是在數學教學中辨證唯物主義觀點的生動體現。數學中用以實現化歸的方法很多，以下我介紹幾種主要的方法：1分割法什么是分割法？法國著名數學家笛卡爾說：“把你所考慮的每一個問題按照可能的需要分成若干部分，使它們更易于求解?！边@種把要解決的問題分成若干個小問題，然后逐一求解的方法，叫做分割法。一般地說，用分割法解決問題的過程可以歸結為如下框圖：分割法又分以下幾種方法：例1： 在掌握了扇形和三角形這些基本圖形的面積計算以后，可以用形體分割法求出比較復雜的圖形的面積如求弓形的面積S弓形=S扇形-S三角形例2： 如圖：三棱錐P-ABC中，已知：PABC，P

8、A=BC=，PA、BC的公垂線ED=h，求證：三棱錐P-ABC的體積此例可通過對未知成分進行分割來實現化歸當連結AD、PD后，就把三棱錐PABC分成兩個三棱錐BPAD和CPAD于是2映射法映射法是用以實現化歸的一種重要方法，所謂映射，是指在兩類數學對象或兩個數學集合的元素之間建立某種“對應關系”。利用映射法解決問題的過程為：首先通過映射將原來的問題轉化為問題*，然后，在求得問題*的解答*以后，再通過逆映射求得原問題的解。學習了集合與映射后，就用映射來定義函數，而把反函數的概念建立在一一映射的基礎上，而確定反函數y=f 1(x)的映射是一個從原函數值域集合到定義域集合上的一個一一映射。例3：求函

9、數的值域解：原函數定義域為X(-, -)(-, +)求出y=的反函數 f 1(x)= 反函數定義域為 (-, )(, +)原函數值域(-, )(, +) 映射法是實現化歸的一種重要方法，如由于建立了直角坐標系，使平面上的點與有序實數對，曲線與方程建立了對應關系，使幾何問題轉化為代數問題。此外復數與復平面上的點、向量也建立起一一對應關系，把向量引進了代數，使復數的代表運算可用向量的幾何運算來進行。3恒等變形法在數學解題中，恒等變形占有十分重要的位置，特別是在求解方程或證明一些整除性問題時，利用恒等變形以實現由未知向已知的化歸，使我們比較容易地求得問題的解。例4： 解下列方程：(1)2x33x2-

10、2x=0；分析：解上面兩個方程，先利用恒等變形把它化為容易求解的方程。 (1)可變為x(2x-1)(x2)=0例5：求證：f(n)n36n211n12 (nN)能被6整除。分析：把原式進行恒等變形，得到f(n)n36n211n12=(n1)(n2)(n3)6從而，只需證明三個連續自然數之積能被6整除即可，而這個問題是大家熟知的。4換元變形法換元變形法用處很多，化簡代數式如使用換元法可以簡化計算過程，分解因式時使用換元法可以減少項數，便于發現關系，解方程時有些分式方程，指數方程和對數方程通過換元可以變成整式方程。有些高次方程通過換元可以達到降次的目的，有些無理方程通過換元可以去掉或減少根號。證明

11、條件等式時，使用換元容易發現已知條件和待證等式之間的聯系?？傊畵Q元變形法用處十分廣泛，學生應該熟練掌握在解題實踐中靈活地、創造性地去運用。例6：已知a、b、c、d、x,都是正數，且x2=a2+b2,y2=c2+d2,求證：xyac+bd證明：由題設，可令a=xcos,b=xsin,c=ycos,d=ysin,(,為銳角)代入待證式右端，利用兩角差三角公式得：ac+bd=xycoscos+xysinsin=xycos(-)xy，即xyac+bd當然以上幾例遠不能概括出化歸方法的全貌。轉化與化歸思想方法是數學中最基本的思想方法。數學中一切問題的解決都離不開轉化與化歸，數形結合思想方法體現了數與形的

12、相互轉化；函數與方程思想體現了函數方程、不等式間的相互轉化；分類討論思想體現了局部與整體的相互轉化等等。轉化與化歸是數學思想方法的靈魂。目標簡單化、和諧統一性、目標具體化、標準形式化和低層次化都是化歸的原則；各映射法、分割法和變形法都是轉化的策略；一般化與特殊化的轉化、正與反的轉化、實際問題數學化、常量與變量的轉化等都是化歸的基本策略。正如前面所給出的，實現化歸的方法是多種多樣的。因此，與前面所舉的具體方法相比，更重要的就是應掌握化歸的中心思想。這就是說，我們不應以靜止的眼光而應以可變的觀點去看待問題，即應善于對所要解決的問題進行變形。從所舉例子可以看出，化歸的中心思想是善于對所要解決的問題進行變形，而所說的變形并不是一種無目的的活動。因此，我們應始終“盯住目標”。即應始終考慮怎樣才能達到解