1、求不定積分的幾種方法劉燈（吉首大學數學與計算機科學學院，湖南 吉首-416000）摘 要 ：本文比較全面的總結了幾種求不定積分的方法，并給出了相應的例子.關鍵詞：直接積分；第一換元積分；第二換元積分；分部積分；有理函數積分Several methods of seeking indefinite integral Liu deng(Jishou University, School of Mathematics and Computer Science, Hunan Jishou -416000) Abstract: This article compares a comprehensive

2、summary of several seeking indefinite integral method, and gives examples of the corresponding Key words: direct integral; first substitution integral; second substitution integral; branch points; rational function integral 1引言 定義1.1設函數與在區間上都有定義，若，則稱為在區間上的一個原函數。定義1.2函數在區間上的全體原函數稱為在的不定積分，記作，其中稱為積分號，為

3、被積函數，為被積表達式，為積分變量。定義1.3若是的一個原函數，則稱 的不定積分是一個函數族，其中是任意常數，為方便起見，寫作 .這時又稱C為積分常數，它可取任一實數值。定義1.4 設在上有定義，在上可導，且，并記.(i)若在上存在原函數，則在上也存在原函數,，即 . (1)(ii)又若 ，則上述命題(i)可逆，即當在上存在原函數時，在上也存在原函數，且=，即 =. (2)以上(i)和(ii)分別稱為第一換元積分法和第二換元積分法，公式（1）和（2）分別稱為第一換元公式第二換元公式。定義1.5若與可導，不定積分存在，則也存在，并有 （3）公式（3）稱為分部積分公式，常簡寫作.定義1.6有理函數

4、是指由兩個多項式函數的商所表示的函數，其一般形式為， （1）其中為非負整數，與都是常數，且若，則稱它為真分式；若，則稱它為假分式。定義1.7基本積分公式如下：（1）. （2）.(3) . （4）.（5）. (6).（7）.（8）.(9.(10).(11).(12).(13).(14)2主要方法的列舉及運用2.1根據基本積分公式求不定積分例2.1 求的不定積分。解 .2.2用第一換元積分法來求不定積分。利用該方法求不定積分的步驟是：（1）將湊成形式；（2）作變量代換，令；（3）換回原來的變量，即代替，從而求出函數的積分。例2.2 求.解 由可令，則得2.3利用第二換元積分法求不定積分，該方法的步

5、驟為：（1）變量代換；（2）換回原來的積分。例2.3 求解 令，于是=+C=+C.2.4利用分部積分法求不定積分，運用此方法的關鍵在于與的選取，而與的選取又必須注意以下兩點：（1）要容易求；（2）比要容易求。例2.4 求.解 令，則有由分部積分公式求得.2.5用有理函數的不定積分法。看到一個不定積分函數，如果用換元積分法和分部積分法都無法解答出來，則必須用有理函數積分法。有理函數的積分可歸結為多項式和最簡真分式的積分，該方法適合于求有理函數的不定積分。例2.5 求.解 在本題中，由于被積函數的分母只有單一因式，因此，部分分式分解能被簡化為現分別計算部分分式的不定積分如下：=由遞推公式，求得其中=于是得到2.6用三角函數有理式的不定積分法。通常情況下，當被積函數是時，通過變換，可把它化為有理函數的不定積分。特別地，當被積函數是及的有理式時，采用變換往往較為方便。例2.6 求解 令，則有=2.7某些無理根式的不定積分可化為有理函數的不定積分，然后再根據有理函數的不定積分法來求。（1）當無理根式為型時，只需令，就可化為有理函數的不定積分；（2）當無理根式為型時，時，時，可將其轉化為以下三種類型之一：當分別令后，它們