1、最優控制設計摘要計算機已經成為現代社會發展的不可取代的有利助手，而計算機控制更是遍及各個領域。用盡可能少的指令去控制部件，用盡可能短的指令集合去控制部件將大大的簡化控制過程，大大的方便控制。 因而對計算機指令控制部件并達到最優的研究具有深遠的意義。針對問題一我們建立了整數線性規劃模型。得到了所有部件得到控制的最少指令的集合為13的結果針對問題二我們建立了整數線性規劃模型。得到了所有部件得到控制的總長度最小長度為360的結果。針對問題三由于此題模型01線性規劃問題，我們采用單純形法對所建立的模型進行了求解。針對問題四提出的算法復雜度，我們根據現代計算機軟件相關理論，從時間復雜度和空間復雜度兩個方

2、面逐一論述了單純形法在兩個方面的復雜度。具體來說時間復雜度為1575，空間復雜度由于數據量大，導致其空間復雜度相對較復雜。一·問題重述在計算機控制過程中，一條計算機指令往往可以控制幾個計算機部件，反過來，一個部件一般由幾條指令控制。一個基本的問題是，在指令集合里尋找最少的指令，使得所有的部件得到控制；另一個問題是，當給定每條指令的長度時，在指令集合里，尋求總長度最小的若干指令，使得他們可以控制全部部件。對于上面兩個問題，建立如下兩個數學模型：1·建立使得所有部件得到控制的最少指令集合；2·建立使得所有部件得到控制的總長度最小的指令集合。再給出指令控制的部件和指令的

3、長度后如表1所示，用所建立的數學模型對表1所列的數據求出結果。3·設計模型的求解算法，用表1-1中所列的數據給出求解結果；4·分析所設計算法的復雜性和計算所得到的結果。二·問題分析由于一條計算機指令往往可以控制幾個計算機部件，反過來，一個部件一般有幾條指令控制，這兩都是線性規劃問題且約束條件相同，只是兩個題的目標函數不同。針對問題一：建立使得所有的部件得到控制的指令集合里的最少的指令模型。我們利用整數線性規劃模型，列出所求優化問題目標函數和約束條件，并確保一個部件至少有1條指令控制，同時求出所有部件得到控制的最少指令的集合。針對問題二：仍然建立整數規劃模型，依然要

4、保證一個部件至少有1條指令控制，再求出所有部件得到控制的總長度的最小長度。針對問題三：因為本題中兩個問題均是線性規劃問題且約束條件相同，只是目標函數略有不同，對此，我們選取單純形法求解。單純形法是線性規劃問題的一般解法，其基本思想是尋找一個基的可行解（極點），便可以通過有限步的迭代找到問題的最優解。針對問題四：從時間的復雜性和空間的復雜性兩個方面進行分析。三·模型假設1·一條計算機指令往往可以控制幾個計算機部件，反過來，一個部件一般有幾條指令控制。2·計算機部件都完好，不會出現因部件不佳而造成指令的無法控制。3·不考慮計算機指令之間的相互沖突。4

5、3;不考慮計算機發送指令所用的時間。 四·符號使用及說明： 第條指令控制第各部件；： 是否使用第條指令；： 第條指令的長度；： 指令的總條數；： 部件的總個數；： 所用指令的總條數；： 所用指令的總長度；五·模型的建立與求解問題一的模型：問題一的目的是為了在指令集合中尋找條數最少的指令，使得所有的部件得到控制，表示是否使用第條指令， ，所使用指令的總條數可以表示為，因此目標函數為：。約束條件：我們可以用表示第條指令和第個部件的關系， ，易知表示第個部件是否得到指令集合中一條或多條指令控制，當時，表示第個部件得到指令集合中至少一條指令的控制。目標函數：約束條件：解得

6、：最小指令集合為：, ;總共為13條指令。問題二的模型：首先我們引入一組變量其中表示第條指令的長度。問題二的目的是為了在指令集合中尋求總長度最小的若干指令，使得所有的部件得到控制，根據對問題一的分析可知，問題二仍未整數線性規劃問題，整數規劃模型為：目標函數：約束條件：解得：表2所有部件得到控制的總長度最小的指令集合指令XjX1X3 X4X5 X6 X7 X10長度1530127193236所控部件6,11 327,24,27,351,12,18,285,7,27,327,10,13,224,6,8,20,28,3410,15,31指令XjX14X17X19X21X22X23X24長度53462

7、626191722所控部件7,3413,24,292,21,24,265,8,112,12,14,346,19,22,317,16,26所以最小長度為：L=15+30+12+7+19+32+36+53+46+26+26+19+17+22=360 問題三的求解因為本題中兩個問題均是線性規劃問題且約束條件相同，只是目標函數略有不同，對此，我們選取單純形法求解。單純形法是線性規劃問題的一般解法，其基本思想是尋找一個基的可行解（極點），便可以通過有限步的迭代找到問題的最優解。1. 求解問題一用單純形的二階段法第一階段：第一步：將數學模型的線性規劃轉化為單純形法的標準形式。（由于原始問題全部“”約束條件

8、構成，因此還需添加人工變量和剩余變量）本問題約束矩陣M=（A,-l,K）,其中A=為階矩陣，l,K為階單位矩陣，Z表示人工變量的和。輔助目標函數：將輔助目標函數化為求最大值的問題：目標函數也化為求最大值的問題：約束條件為:第二步：檢驗各非基變量的檢驗系數，若則基可行解已是最優解，計算結束；否則轉為下一步。第三步：以輔助目標函數為判斷依據進行迭代，選取輔助目標函數中具有非負系數的非基變量(假設是)，作為進入下一個基本可行解的進基變量，然后轉入下面介紹的第四步。如果此時，所有的系數均為非負，就得到輔助目標函數的最優解。假如此時的目標函數值為零，并且所有人工變量均不在基內，這就得到了原始問題的一個基

9、本可行解，然后就轉入第二階段計算；如果此時輔助目標函數值不為零，則人工變量至少還有一個留在基內取非零的正值，那么，原始問題就沒有可行解，則停止運算，轉至第六步。第四步：根據|>0=,確定為進基變量，為出基變量，轉入下一步。第五步：以為主元素進行迭代（即高斯消去法），把所對應的列向量 （1為第個數）；目標函數（輔助目標函數）中也應消去，將基變量中轉化為重復第一至第五步，直到終止。第六步：若無可行解，則依題意定義第二階段：去掉輔助目標函數所在的行和列，然后以原目標函數代替第一階段的輔助目標函數作為判斷依據，進行單純形法迭代。運算步驟同第一階段中，第一至第五步相類似（注意將第二步中的范圍定為）

10、，知道得到原線性規劃問題的最優解。求解問題二的算法：根據模型的相似性，只需將求解問題一中的目標函數改為：即可，算法與求解問題一中的相同。問題四的求解復雜性分析1對于時間復雜度，題目要求是使每個部件都受一條或多條指令的控制，所以對于每一個部件都要從135遍歷每一個的指令，若果遍歷過程中發現某一條指令控制此部件，則對 加一，表示第i個部件總共接收到的指令條數。則時間復雜度為45*35=1575，而第二問同第一問時間復雜度為45*35=1575。2 對于空間復雜度，求解約束方程較少、數據量較小時，運行較為容易，且數據存儲所占內存空間較多，運行循環過程過于復雜。總體來說，空間復雜度所占較大。六

11、3;結果分析問題一：據題中要求提出相應的線性規劃模型，解得：最小指令集合為：, ;總共為13條指令。而且從運行結果來看所建立模型是符合實際情況的，問題二中模型跟題一類似；解得最小長度為：L=15+30+12+7+19+32+36+53+46+26+26+19+17+22=360；問題三：我們建立的單純形法對與求解這類模型是可行的，從計算過程來看，迭代次數不高，求解相對而言具有效率。對于問題四：復雜性分析1對于時間復雜度，題目要求是使每個部件都受一條或多條指令的控制，所以對于每一個部件都要從135遍歷每一個的指令，若果遍歷過程中發現某一條指令控制此部件，則對 加一，表示第i個部件總共接收到的指令

12、條數。則時間復雜度為45*35=1575，而第二問同第一問時間復雜度為45*35=1575。2 對于空間復雜度，求解約束方程較少、數據量較小時，運行較為容易，且數據存儲所占內存空間較多，運行循環過程過于復雜。總體來說，空間復雜度所占較大。七·模型的評價與推廣本模型對計算機指令優化控制問題做了細致的分析，提出了模型的算法，并進行了計算求解，最后用數學軟解檢驗了結果的正確性。本模型也適用于其他類似問題，且規劃明確簡單，易于操作，可是由于算法的局限，當此類問題有多組最優解時，其模型只能求出其中一組，但所得結果還是令人滿意的。優點：模型一為整數線性規劃模型，本身較為嚴密，思路清晰，分步驟逐個

13、擊破，對題目一條計算機指令往往可以控制幾個計算機部件，反過來，一個部件一般有幾條指令控制考慮周全，并且可以運用于實踐問題，達到數學建模的根本目的，采用MATLAB和LINGO軟件解決復雜程序，將問題簡單化。缺點：當然我們對缺點也不避諱，因為知識面的局限及時間有限我們沒有采用大量的文獻資料來證明，且模型還有一些漏洞，以后我們會改進。八·參考文獻【1】 薛毅 數學建模基礎 北京：北京工業大學出版社 2004【2】 劉煥彬等 數學模型與實驗 武漢：科學出版社 2008【3】 孫祥等 MATLAB7.0基礎教程 北京：清華大學出版社 2005【4】 王秋萍 整數規劃問題舉例 課件九·

14、;附錄表1指令控制的部件和指令的長度指令指令所控制的部件指令的長度指令指令所控制的部件指令的長度14，8，20，31，44151913,23,26,392628，19,22,29,3780207,12,40,412232,16,34,33,32302112,16,19,28,352647,11,35,3012226,23,27,451955,13,18,2172333,37,40,411761,7,9,23,2519243,17,19,362273,5,6,14,24322516,33,44,451087,20,21,32,35122613,19,24,253099,15,20,4545272

15、,3,5，882106,10,39,42,4336284,7,9,12,4373111,11,21,34,38572916,17,20,3266122,4,18,22,37783028,33,34,3655136,17,25,36653110,23,25,27241422,33,34,3853321,5,44,4546152,10,20,37343311,15,18,4337169,24,29,3948347,14,22,36771715,18,29,3146353,15,25,399184,42,44,4532問題一的LINGO程序：model!定義集;sets:zhiling/1.35/:

16、x;bujian/1.45/:b;shuju(bujian,zhiling):s;endsets!目標函數;min=sum(zhiling:x);for(bujian(j):sum(zhiling(i):x(i)*s(j,i)>=1);for(zhiling:BIN(x);!導入數據;data:s= 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

17、0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0

18、0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

19、0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

20、0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1

21、1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

22、0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

23、0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1

24、0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

25、0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1

26、0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0

27、0 0 ; enddataend 運行結果：Global optimal solution found. Objective value: 13.00000 Objective bound: 13.00000 Infeasibilities: 0.000000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 63 Variable Value Reduced Cost X( 1) 0.000000 1.000000 X( 2) 1.000000 1.000000 X( 3) 0.000000 1.000000 X( 4) 1.000000 1

28、.000000 X( 5) 0.000000 1.000000 X( 6) 0.000000 1.000000 X( 7) 1.000000 1.000000 X( 8) 0.000000 1.000000 X( 9) 0.000000 1.000000 X( 10) 0.000000 1.000000 X( 11) 1.000000 1.000000 X( 12) 1.000000 1.000000 X( 13) 0.000000 1.000000 X( 14) 0.000000 1.000000 X( 15) 0.000000 1.000000 X( 16) 0.000000 1.0000

29、00 X( 17) 1.000000 1.000000 X( 18) 1.000000 1.000000 X( 19) 1.000000 1.000000 X( 20) 1.000000 1.000000 X( 21) 0.000000 1.000000 X( 22) 0.000000 1.000000 X( 23) 0.000000 1.000000 X( 24) 0.000000 1.000000 X( 25) 0.000000 1.000000 X( 26) 0.000000 1.000000 X( 27) 0.000000 1.000000 X( 28) 1.000000 1.0000

30、00 X( 29) 1.000000 1.000000 X( 30) 1.000000 1.000000 X( 31) 1.000000 1.000000 X( 32) 0.000000 1.000000 X( 33) 0.000000 1.000000 X( 34) 0.000000 1.000000 X( 35) 0.000000 1.000000問題二的LINGO程序：model:!定義集;sets:zhiling/1.35/:x,l;bujian/1.45/:b;shuju(bujian,zhiling):s;endsets!目標函數;min=sum(zhiling:x*l);for(

31、bujian(j):sum(zhiling(i):x(i)*s(j,i)>=1);for(zhiling:BIN(x);for(zhiling:GIN(l);!導入數據;data:s= 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0

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40、 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0