1、極限計算方法總結（簡潔版）一、極限定義、運算法則和一些結果1定義：（各種類型的極限的嚴格定義參見高等數學函授教材，這里不一一敘述）。說明：（1）一些最簡單的數列或函數的極限（極限值可以觀察得到）都可以用上面的極限嚴格定義證明，例如：；等等 （2）在后面求極限時，（1）中提到的簡單極限作為已知結果直接運用，而不需再用極限嚴格定義證明。2極限運算法則定理1 已知 ，都存在，極限值分別為A，B，則下面極限都存在，且有 （1）（2）（3） 說明：極限號下面的極限過程是一致的；同時注意法則成立的條件，當條件不滿足時，不能用。3兩個重要極限（1） （2） ； 說明：不僅要能夠運用這兩個重要極限本身，還應能

2、夠熟練運用它們的變形形式， 作者簡介：靳一東，男，（1964），副教授。例如：，；等等。 4等價無窮小 定理2 無窮小與有界函數的乘積仍然是無窮小（即極限是0）。定理3 當時，下列函數都是無窮小（即極限是0），且相互等價，即有： 。說明：當上面每個函數中的自變量x換成時（），仍有上面的等價關系成立，例如：當時， ； 。 定理4 如果函數都是時的無窮小，且，則當存在時，也存在且等于，即=。5洛比達法則 定理5 假設當自變量x趨近于某一定值（或無窮大）時，函數和滿足：（1）和的極限都是0或都是無窮大； （2）和都可導，且的導數不為0； （3）存在（或是無窮大）； 則極限也一定存在，且等于，即= 。

3、說明：定理5稱為洛比達法則，用該法則求極限時，應注意條件是否滿足，只要有一條不滿足，洛比達法則就不能應用。特別要注意條件（1）是否滿足，即驗證所求極限是否為“”型或“”型；條件（2）一般都滿足，而條件（3）則在求導完畢后可以知道是否滿足。另外，洛比達法則可以連續使用，但每次使用之前都需要注意條件。6連續性 定理6 一切連續函數在其定義去間內的點處都連續，即如果是函數的定義去間內的一點，則有 。7極限存在準則 定理7（準則1） 單調有界數列必有極限。 定理8（準則2） 已知為三個數列，且滿足：（1） （2） ， 則極限一定存在，且極限值也是a ，即。二、求極限方法舉例1 用初等方法變形后，再利用

4、極限運算法則求極限例1 解：原式= 。注：本題也可以用洛比達法則。例2 解：原式= 。例3 解：原式 。2 利用函數的連續性（定理6）求極限例4 解：因為是函數的一個連續點， 所以 原式= 。3 利用兩個重要極限求極限例5 解：原式= 。注：本題也可以用洛比達法則。例6 解：原式= 。例7 解：原式= 。4 利用定理2求極限例8 解：原式=0 （定理2的結果）。5 利用等價無窮小代換（定理4）求極限 例9 解：，原式= 。例10 解：原式= 。注：下面的解法是錯誤的： 原式= 。 正如下面例題解法錯誤一樣： 。例11 解：， 所以， 原式= 。（最后一步用到定理2）6 利用洛比達法則求極限說明

5、：當所求極限中的函數比較復雜時，也可能用到前面的重要極限、等價無窮小代換等方法。同時，洛比達法則還可以連續使用。例12 （例4）解：原式= 。（最后一步用到了重要極限）例13 解：原式= 。例14 解：原式= 。（連續用洛比達法則，最后用重要極限）例15 解：例18 解：錯誤解法：原式= 。 正確解法：應該注意，洛比達法則并不是總可以用，如下例。例19 解：易見：該極限是“”型，但用洛比達法則后得到：，此極限不存在，而原來極限卻是存在的。正確做法如下：原式= （分子、分母同時除以x）= （利用定理1和定理2）7 利用極限存在準則求極限例20 已知，求解：易證：數列單調遞增，且有界（0<<2），由準則1極限存在，設 。對已知的遞推公式 兩邊求極限，得： ，解得：或（不合題意，舍去）。所以 。例21 解： 易見：因為 ，所以由準則2得： 。上面對求極限的常用方法進行了比較全面的總結，由此可以看出，求極限方法靈活