1、泄洪設施修建計劃摘要針對本題提出的如何修建泄洪河道使總費用最省以及維護人員在各村留宿的概率的問題，分別建立了非線性規劃模型、馬氏鏈模型，并運用matlab和lingo數學軟件，對模型進行求解，得出修建河道的最省方案和維護人員在各村留宿的概率。最后還對原來建立的模型進行了評價，并加以推廣。在考慮修建的泄洪道路徑和泄洪量的情況下，得到修建泄洪道的最省花費的0-1規劃模型。并通過lingo求解得到最優泄洪道網絡連接圖（見圖 1）和修建新泄洪河道最省總花費資金：547.0804萬元。維護人員是在問題一中解得的新泄洪河道上移動的，從一個村移動到與之相連的一個村，符合馬氏鏈，所以建立了馬氏鏈模型。通過分析

2、得出，該馬氏鏈是正則鏈。根據正則鏈的性質可知，正則鏈存在唯一的極限狀態概率，所以維護人員在各村留宿的概率分布是穩定的。并運用matlab軟件編程求解出維護人員在各村留宿的穩態概率（見表3）。由于前面的模型僅是從修建泄洪道花費最省來建立的。而沒有考慮建設后的維護成本。且由于上游地勢高的村莊的水流要匯入下游地勢低的村莊，從而會使得下游泄洪道的泄洪壓力增大。有可能洪澇來臨時對下游村莊帶來危險。所以從安全和維護等因素來看，綜合該鄉地勢由西向東逐漸降低的地勢特點。可以考慮在該鄉中間人口相對較少地區修建一由西向東的逐漸加寬的主渠道。再由各村莊各自修建泄洪渠道與主渠道相連，最終將洪水排出。關鍵詞： 0-1變

3、量 線性規劃模型 馬氏鏈模型 matlab lingo 一、問題重述位于我國南方的某個偏遠貧困鄉，地處山區，一旦遇到暴雨，經常發生洪澇災害，以往下雨時，完全是依靠天然河流進行泄洪。2010年入夏以來，由于史無前例的連日大雨侵襲，加上這些天然河流泄洪不暢，造成大面積水災，不僅夏糧無收，而且嚴重危重到當地群眾的生命財產安全。為此，鄉政府打算立即著手解決防汛水利設施建設問題。從長遠考慮，可以通過修建新泄洪河道的辦法把洪水引出到主干河流。經測算，修建新泄洪河道的費用為（萬元）其中Q表示新泄洪河道的可泄洪量（萬立方米/小時），L表示新泄洪河道的長度（公里）。該鄉共有10個村，分別標記為-，下圖給出了它們

4、大致的相對地理位置，海拔高度總體上呈自西向東逐漸降低的態勢。 其中村距離主干河流最近，且海拔高度最低。鄉政府打算擬定一個修建在各村之間互通的新泄洪河道網絡計劃，將洪水先通過新泄洪河道引入村后，再經村引出到主干河流。要求完成之后，每個村通過新泄洪渠道能夠達到可泄洪量100萬立方米/小時以上的泄洪能力。表1 各村之間修建新泄洪河道的距離（單位：公里） 2 3 4 5 6 7 8 9 10123456789 7 4 8 11 13 12 16 17 22 9 14 16 8 11 18 14 23 7 9 11 7 12 12 17 4 17 10 7 15 18 8 10 6 15 15 9 16

5、 8 15 8 6 11 13 11 12請通過數學建模的方法，解決以下問題：問題1：根據表1數據，為該鄉提供一個各村之間修建新泄洪河道網絡的合理方案，使得總費用盡量最省。（提示：從村Aà村B的新泄洪河道，一般要求能夠承載村A及上游新泄洪河道的泄洪量）。問題2：新泄洪河道網絡鋪設完成后，打算安排一位維護人員，每天可以從一個村到與之直接有新泄洪河道連接的相鄰村進行設施維護工作，并在到達的村留宿，次日再隨機地選擇一個與該村直接有新泄洪河道連接的相鄰村進行維護工作。試分析長此以往，他在各村留宿的概率分布是否穩定？問題3：是否能夠為該鄉提出一個更加合理的修建新泄洪河道的辦法？二、問題分析針對

6、問題一，要求使得總費用盡量最省，而修建新泄洪河道的費用（萬元），由此可知費用與新泄洪河道的可泄洪量Q和泄洪河道的長度L有關，要使費用P最小，即泄洪量盡量的小，且泄洪河道的長度盡量的短。對于此，可以運用0-1變量建立規劃模型，進而運用lingo軟件編程求出最優方案。針對問題二，維護人員是在問題一中解得的新泄洪河道網絡上移動的，從一個村移動到與之相連的一個村，符合馬氏鏈，所以建立了馬氏鏈模型。通過分析得出，該馬氏鏈是正則鏈。根據正則鏈的性質可知，正則鏈存在唯一的極限狀態概率，所以維護人員在各村留宿的概率分布是穩定的。再用matlab軟件編程求解出維護人員在各村留宿的穩態概率。針對問題三，由于上游地

7、勢高的村莊的洪水要匯入下游地勢低的村莊，從而會使得下游泄洪道的泄洪壓力增大。有可能洪澇來臨時對下游村莊帶來危險。且由于渠道較多后期維護較難。所以從安全和維護等因素來看，綜合該鄉地勢由西向東逐漸降低的地勢特點。可以考慮修建一由西向東的逐漸加寬的主渠道。最終將洪水排出。三、問題假設1、村子1-10的海拔高度自西向東遞減。2、A-B的泄洪河道，其中B村的泄洪河道能夠承載村A泄洪量及上游所有流入A的泄洪量。3、若泄洪河道相交，假設互不影響各自泄洪量。4、假設維修人員選擇第一個村莊是隨機的，且概率是相同的。四、符號說明：第i村莊到第j村莊泄洪河道的流量。：i村到j村的距離：修建河道總費用：維護員從村子到

8、相鄰村子的概率（）；：在i村留宿的概率（）：表示維護人員所處的狀態（可以取10個離散值）：狀態概率，維護人員處在村的概率（）：轉移概率，維護人員從村轉移到村的概率（）：轉移概率矩陣：各段主泄洪道的泄洪量（100-900）。：各段主泄洪道的長度。：各村的泄洪量。 ：各村到主泄洪道的泄洪道長度。五、模型的建立與求解5.1：根據表1數據，為該鄉提供一個各村之間修建新泄洪河道網絡的合理方案，使得總費用盡量最省。根據表1數據，為該鄉提供一個各村之間修建新泄洪河道網絡的合理方案，使得總費用盡量最省。其中為了表述的方便將村莊做如下編號即： 3 2 5 7 1 6 10 4 9 8于是，表一數據整理為：表2

9、2 3 4 5 6 7 8 9 10123456789 8 13 8 11 9 17 15 8 16 7 14 9 11 14 23 16 18 17 4 12 8 22 11 16 12 6 15 12 15 13 7 7 17 9 12 10 11 10 8 18 4 7 15 11 6 為使費用最小，依據題意引入0-1變量，其中0表述不修河道，1表示要修建河道。故建立如下優化模型：由lingo軟件可以得到（程序見附錄 1 ）：則：由此可繪出下圖： 3 2 5 7 1 6 10 4 9 8圖1. 各村之間互通的新泄洪河道網絡可得出最小費用為：維護人員的轉移路線就是問題一中建立的新泄洪河道網

10、絡。為求維護人員在各村留宿的概率分布以及是否穩定，建立馬氏鏈模型。由問題一得出的新泄洪河道修建方案可知轉移概率矩陣為：由馬氏鏈的性質可知：的取值只取決于的取值及轉移概率，而與 的取值無關。由狀態轉移的無后效性和全概率公式可以寫出馬氏鏈的基本方程為 并且則狀態概率向量（行向量）和轉移概率矩陣則基本方程（1）可以表示為由該遞推關系式還可以得到5.23判斷該馬氏鏈是否是正則鏈正則鏈的定義為：一個有個狀態的馬氏鏈如果存在正整數，使從任意狀態經次轉移，都以大于零的概率到達狀態，則這樣的馬氏鏈稱為正則鏈。因為修建的新泄洪河道網絡連接著這十個村，當維護人員沿著新泄洪河道網絡轉移時，每個村都有可能到達。即假設

11、維護人員在村，一定可以經過正整數次轉移到任意村即都以大于零的概率到達狀態。由正則鏈的定義可以知道，本問題中建立的馬氏鏈模型是正則鏈。5.2.4求解極限狀態概率 由定理可知，正則鏈存在唯一的極限狀態頻率，使得當時狀態概率，與初始狀態概率無關。滿足 所以，長此以往，維護人員在各村留宿的概率就是極限狀態頻率，則由正則鏈的性質可知，維護人員在各村留宿的概率是穩定的。由式可得： 聯立可解得極限狀態概率為（matlab程序見附錄 2 ）：0.1111    0.0556    0.1111   &

12、#160;0.0556    0.1667    0.0556    0.1667    0.1667     0.0556    0.0556表3 即可得維護人員隨機在各村留宿的穩態概率5.3：由于該鄉地勢由西向東逐漸降低。且各村莊由西向東分布。故可以在其中間人口分布密度較少區建一由西向東的主泄洪道。泄洪道泄洪量依次遞增。從100-900。最終經村莊8注入

13、主干河流。各村再各自修建泄洪道與主泄洪道相連。 各村最大泄洪量用Q表示。L為主泄洪道的長度。由幾段構成。泄洪量100-900。 目標函數： 六、模型的評價和優化模型的優點：1、 用0-1變量刻畫村莊之間的河道修理與否，結合線性規劃模型簡單易懂用lingo軟件求解也較方便。2、 問題二建立的馬氏鏈模型，即符合題意也具有理論依據用matlab求解其程序也比較簡便。3、 該模型可運用性強，不僅僅運用于河道的修理也可以用于電纜的鋪設、道路的修建等等類似的模型。模型的缺點：1、 該模型模型考慮的因素還不多，如有些地方可能因為地貌不能挖泄洪河道、有的地方河道沒法加寬、以及修建排洪溝這樣會使建立的模型對實際

14、產生較大的誤差。七、參考文獻1 孫祥 徐流美 吳清，matlab7.0基礎教程，清華大學出版社，2005年.2 劉衛國，MATLAB程序設計與應用（第二版），北京：高等教育出版社，2006年。3 姜啟源 謝金星 葉俊，數學模型（第三版），北京：高等教育出版社，2006年。4 戴明強 李衛軍 楊鵬飛，數學模型及其應用，北京：科學出版社，2007年.5 謝金星、薛毅編著，優化建模與lingo/lindo軟件，北京：清華大學出版社，2005.7.附件：附錄1model: sets: cun/1.10/; link(cun,cun) |&2#gt#&1:q,x,d; endsets d

15、ata: d = 8 13 8 11 9 17 15 8 16 7 14 9 11 14 23 16 18 17 4 12 8 22 11 16 12 6 15 12 15 13 7 7 17 9 12 10 11 10 8 18 4 7 15 11 6; enddatamin=sum(link(k,i)|k#lt#i:x(k,i)*(2/3)*sqrt(q(k,i)*d(k,i); for(link(i,j)|i#lt#j:bin(x(i,j); for(link(i,j)|i#lt#j:q(i,j)>=100); for(cun(i)|i#ne#10 #and# i #ne# 1:sum(cun(j)|i #lt# j:q(i,j)*x(i,j)-sum(cun(j)|j #lt# i:q(j,i)*x(j,i)=100;); for(cun(i)|i #ne# 10:sum(cun(j)|i #lt# j:x(i,j)=1); !for(cun(i)|i #eq# 10:sum(cun(j)|j #lt# i:x(j,i)=1); End 附錄2function main()clcp=0 1/2 1/2 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1