1、2007年高中數學競賽模擬試題（一）一、 選擇題：1.設集合，映射使得對任意的，都有是奇數，則這樣的映射的個數是 （ A ）（A）45 （B）27 （C）15 （D）11提示：當時，為奇數，則可取1、3、5，有3種取法；當時，為奇數，則可取1、3、5，有3種取法；當時，為奇數，則可取1、2、3、4、5，有5種取法。由乘法原理知共有個映射。2.設平面上有四個互異的點A、B、C、D，已知，則ABC的形狀是 （ A ）（A）等腰三角形 （B）直角三角形 （C）等腰直角三角形 （D）等邊三角形提示：.3.設函數，它們的圖象在軸上的公共點處有公切線，則當時，與的大小關系是 （ B ）（A）（B）（C）（

2、D）與的大小不確定提示：與的圖象在軸上有公共點，.,由題意,令,則在其定義域內單調遞減.由,當時,即.4.設AB是橢圓（）的長軸，若把AB100等分，過每個分點作AB的垂線，交橢圓的上半部分于P1、P2、 、P99 ，F1為橢圓的左焦點，則+的值是 （ D ）（A） （B） （C） （D）提示：（方法一）由橢圓的定義知()，由題意知關于軸成對稱分布，又，故所求的值為.（方法二）+（A,B關于軸成對稱分布）5.已知正方體ABCDA1B1C1D1，過頂點A1在空間作直線，使直線與直線AC和BC1所成的角都等于600，這樣的直線可以作 （ B ）（A）4條（B）3條（C）2條（D）1條提示：易知異面

3、直線AC與BC1所成的角為600，因此，本題等價于：已知直線與所成的角為600，則過空間一點P且與、所成的角都是600的直線有且僅有多少條？這不難可判斷有3條。6.的小數表示中，小數點后至少連續有 （ A ）（A）個零（B）個零（C）個零（D）個零提示：由二項式定理知易證，因此與的小數部分完全相同。，即的小數表示中小數點后面至少接連有個零，因此，的小數表示中，小數點后至少連續有個零。二、 填空題：7.已知，則的值是_.【答案】.提示：弦切變換,構造齊次式解題. .8.乒乓球比賽采用7局4勝制，若甲、乙兩人實力相當，獲勝的概率各占一半，則打完5局后仍不能結束比賽的概率等于_.【答案】. 提示：（

4、方法一）打完5局后仍不能結束比賽的情況是甲、乙兩人中任意某個人任意勝3局，另一個人勝2局，其概率為.（方法二）打完5局后能結束比賽的情況是：甲、乙兩人中任意某個人任意勝4局或5局全勝，其概率等于，所以，打完5局后仍不能結束比賽的概率等于.9.不等式的解集為_.【答案】.提示：原不等式等價于設，則，從而原不等式可化為.10.把半徑為1的4個小球裝入一個大球內，則此大球的半徑的最小值為_.【答案】.提示：4個小球在大球內兩兩相切，4個小球的球心連線構成1個正四面體，正四面體的中心與大球的球心重合，大球的半徑等于正四面體的外接球半徑加上小球的半徑，所以大球半徑為.(其中,表示正四面體的高,表示正四面

5、體的棱長.)11.設均為正實數，且，則的最小值為_.【答案】. 提示：令，則，且，其中12.關于的三次函數的兩個極值點為P、Q，其中P為原點，Q在曲線上，則曲線的切線斜率的最大值的最小值為_.【答案】. 提示：設，依題意知：，故，由及點Q在其上，可設Q點的坐標為. 由Q為的一個極值點得，顯然，存在最大值，數形結合可求得，其最小值為.三、 解答題：13.已知橢圓（），過橢圓中心O作互相垂直的兩條弦AC、BD，設點A、B的離心角分別為和，求的取值范圍。解：當AC、BD與坐標軸重合時，；當AC、BD與坐標軸不重合時，令，則，.由題意知,則,.當且僅當，即BD的傾斜角為或時，上式取等號。.14.若、，且滿足，求的最大值。解:由均值不等式得,等號成立當且僅當,故的最大值為100 .15.某電器商經過多年的經驗發現本店每個月售出的電冰箱的臺數是一個隨機變量，它的分布列如下：12312P設每售出一臺電冰箱，電器商獲利300元。如銷售不出而囤積于倉庫，則每臺每月需花保養費100元。問電器商每月初購進多少臺電冰箱才能使自己月平均收益最大？解：設為電器商每月初購進的冰箱