1、立體幾何中的最值問題、內接外切、球面距離1. 一條長為2的線段，它的三個視圖分別是長為的三條線段，則ab的最大值為ABCD3【答案】C【解析】構造一個長方體，讓長為2的線段為體對角線，由題意知，即，又，所以，當且僅當時取等號，所以選C. 2. 四棱錐的三視圖如右圖所示，四棱錐的五個頂點都在一個球面上，E、F分別是棱AB、CD的中點，直線EF被球面所截得的線段長為，則該球表面積為A.B.24C.D. 【答案】A 【解析】將三視圖還原為直觀圖如右圖，可得四棱錐P-ABCD的五個頂點位于同一個正方體的頂點處，且與該正方體內接于同一個球且該正方體的棱長為.設外接球的球心為O，則O也是正方體的中心，設E

2、F中點為G，連接OG，OA，AG.根據題意，直線EF被球面所截得的線段長為，即正方體面對角線長也是,可得,所以正方體棱長,在直角三角形中，,即外接球半徑，得外接球表面積為,選A. 3. 若三棱錐的所有頂點都在球的球面上，平面，則球的表面積為 （ ）ABCD【答案】B【解析】因為，所以，所以。所以，即為直角三角形。因為三棱錐的所有頂點都在球的球面上，所以斜邊AC的中點是截面小圓的圓心，即小圓的半徑為.,因為是半徑，所以三角形為等腰三角形，過作,則為中點，所以,所以半徑，所以球的表面積為,選B. 4. 已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的高為，外接球的體積是，則A、B兩點的球面距離為_.【答案

3、】【解析】因為正四棱柱外接球的體積為，所以,即外接球的半徑為，所以正四棱柱的體對角線為，設底面邊長為，則，解得底面邊長。所以三角形為正三角形，所以，所以A、B兩點的球面距離為.5. 設A、B、C、D為球O上四點，若AB、AC、AD兩兩互相垂直，且，則A、D兩點間的球面距離 。【答案】 【解析】因為AB、AC、AD兩兩互相垂直，所以分別以AB、AC、AD為棱構造一個長方體，在長方體的體對角線為球的直徑，所以球的直徑，所以球半徑為,在正三角形中，所以A、D兩點間的球面距離為.6. 如圖，某三棱錐的三視圖都是直角邊為2的等腰直角三角形，則該三棱錐的外接球的體積是 【答案】【解析】由三視圖可知，該幾何

4、體是一個三棱錐，三棱錐的三個側面都是等腰直角三角形，,7. 在棱長為的正方體中，分別為線段，（不包括端點）上的動點，且線段平行于平面，則四面體的體積的最大值是 A B C D【答案】A【解析】過做底面于O,連結,則，即為三棱錐的高，設，則由題意知,所以有，即。三角形，所以四面體的體積為，當且僅當，即時，取等號，所以四面體的體積的最大值為，選A. 8. 如圖，在棱長為1的正方體中，點分別是棱的中點，是側面內一點，若平面 則線段長度的取值范圍是A B. C. D. 【答案】B【解析】取的中點M,的中點N,連結，可以證明平面平面，所以點P 位于線段上，把三角形拿到平面上，則有,所以當點P位于時，最大，當P位于中點O時，最小，此時，所以，即，所以線段長度的取值范圍是，選B. 9. 正三棱柱內接于半徑為1的球，則當該棱柱體積最大時，高 。【答案】【解析】根據對稱性可知，球心位于正三棱柱上下底面中心連線的中點上。設正三棱柱的底面邊長為，則，所以,所以高，由得，即正三棱柱底面邊長的取值范圍是。三棱柱的體積為,即體積,當且僅當，即時取等號，此時高。10. 已知球與棱長均為2的三棱錐