1、第二章綜合素能檢測時間120分鐘，滿分150分。一、選擇題(本大題共12個小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中只有一個是符合題目要求的)1(20132014福建師大附中模塊)設，表示兩個平面，l表示直線，A，B，C表示三個不同的點，給出下列命題：若Al，A，Bl，B，則l；，不重合，若A，A，B，B，則AB；若l，Al，則A；若A，B，C，A，B，C，且A，B，C不共線，則與重合則上述命題中，正確的個數是()A1B2C3D4答案C解析根據公理1可知正確；根據公理3可知正確，根據公理2可知正確；當點A為直線l與平面的交點時，可知錯誤2菱形ABCD在平面內，PC，則PA與對角線BD

2、的位置關系是()A平行 B相交但不垂直C相交垂直 D異面垂直答案D解析PC平面，PCBD，又在菱形ABCD中，ACBD，BD平面PAC.又PA平面PAC，BDPA.顯然PA與BD異面，故PA與BD異面垂直3設P是ABC所在平面外一點，H是P在內的射影，且PA，PB，PC與所成的角相等，則H是ABC的()A內心 B外心 C垂心 D重心答案B解析由題意知RtPHARtPHBRtPHC，得HAHBHC，所以H是ABC的外接圓圓心4已知二面角l的大小為60，m，n為異面直線，且m，n，則m，n所成的角為()A30 B60 C90 D120答案B解析易知m，n所成的角與二面角的大小相等，故選B.5(20

3、132014珠海模擬)已知a，b，l表示三條不同的直線，表示三個不同的平面，有下列命題：若a，b，且ab，則；若a，b相交，且都在，外，a，a，b，b，則；若，a，b，ab，則b；若a，b，la，lb，則l.其中正確的有()A0個 B1個 C2個 D3個答案C解析可借助正方體模型解決如圖，在正方體A1B1C1D1ABCD中，可令平面A1B1CD為，平面DCC1D1為，平面A1B1C1D1為.又平面A1B1CDDCC1D1CD，平面A1B1C1D1平面DCC1D1C1D1，則CD與C1D1所在的直線分別表示a，b，因為CDC1D1，但平面A1B1CD與平面A1B1C1D1不平行，即與不平行，故錯

4、誤因為a，b相交，可設其確定的平面為，根據a，b，可得.同理可得，因此，正確由兩平面垂直，在一個平面內垂直于交線的直線和另一個平面垂直，易知正確ab時，由題知l垂直于平面內兩條不相交直線，得不出l，錯誤6(2013新課標全國)已知m，n為異面直線，m平面，n平面.直線l滿足lm，ln，l，l，則()A且lB且lC與相交，且交線垂直于lD與相交，且交線平行于l答案D解析由于m，n為異面直線，m平面，n平面，則平面與平面必相交，但未必垂直，且交線垂直于直線m，n，又直線l滿足lm，ln，則交線平行于l，故選D.7在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F分別是線段A1B1，B1C1上的不與端點重合

5、的動點，如果A1EB1F，有下面四個結論：EFAA1；EFAC；EF與AC異面；EF平面ABCD.其中一定正確的有()A B C D答案D解析如右圖所示由于AA1平面A1B1C1D1，EF平面A1B1C1D1，則EFAA1，所以正確；當E，F分別是線段A1B1，B1C1的中點時，EFA1C1，又ACA1C1，則EFAC，所以不正確；當E，F分別不是線段A1B1，B1C1的中點時，EF與AC異面，所以不正確；由于平面A1B1C1D1平面ABCD，EF平面A1B1C1D1，所以EF平面ABCD，所以正確8如圖，若是長方體ABCDA1B1C1D1被平面EFGH截去幾何體EFGHB1C1后得到的幾何體

6、，其中E為線段A1B1上異于B1的點，F為線段BB1上異于B1的點，且EHA1D1，則下列結論中不正確的是()AEHFG B四邊形EFGH是矩形C是棱柱 D是棱臺答案D解析因為EHA1D1，A1D1B1C1，所以EHB1C1，又EH平面BCC1B1，所以EH平面BCC1B1，又EH平面EFGH，平面EFGH平面BCC1B1FG，所以EHFG，又EHB1C1，所以是棱柱，所以A，C正確；因為A1D1平面ABB1A1，EHA1D1，所以EH平面ABB1A1，又EF平面ABB1A1，故EHEF，所以B正確，故選D.9(2012大綱版數學(文科)已知正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別為BB1

7、、CC1的中點，那么直線AE與D1F所成角的余弦值為()A D C D答案B命題意圖本試題考查了正方體中異面直線的所成角的求解的運用解析首先根據已知條件，連接DF，然后則DFD1即為異面直線所成的角，設棱長為2，則可以求解得到DFD1F，DD12，結合余弦定理得到結論10如圖，在三棱柱ABCABC中，點E，F，H，K分別為AC，CB，AB，BC的中點，G為ABC的重心，從K，H，G，B中取一點作為P，使得該三棱柱恰有2條棱與平面PEF平行，則點P為()AK BHCG DB答案C解析應用驗證法：選G點為P時，EFAB且EFAB，此時恰有AB和AB平行于平面PEF，故選C.11如圖，四邊形ABCD

8、中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，將ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，構成四面體ABCD，則在四面體ABCD中，下列結論正確的是()A平面ABD平面ABCB平面ADC平面BDCC平面ABC平面BDCD平面ADC平面ABC答案D解析由平面圖形易知BDC90.平面ABD平面BCD，CDBD，CD平面ABD.CDAB.又ABAD，CDADD，AB平面ADC.又AB平面ABC，平面ADC平面ABC.12(2013全國卷)已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，則CD與平面BDC1所成角的正弦值等于()A B C D答案A解析如圖，連接AC交BD于點O，連接C1O，過

9、C作CHC1O于點H，CH面BDC1，HDC為CD與面BDC1所成的角，設AA12AB2，OC，CC12，OC1，CH，sinHDC，故選A.二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共25分把答案填在題中的橫線上)13直線l與平面所成角為30，lA，m，Am，則m與l所成角的取值范圍是_答案30，90解析直線l與平面所成的30的角為m與l所成角的最小值，當m在內適當旋轉就可以得到lm，即m與l所成角的最大值為90.14如圖所示，在四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動點，當點M滿足_時，平面MBD平面PCD(只要填寫一個你認為是正確的條件即可)答案DMPC(或

10、BMPC)解析連接AC，則BDAC，由PA底面ABCD，可知BDPA，BD平面PAC，BDPC.故當DMPC(或BMPC)時，平面MBD平面PCD.15(2014北京高考理科數學)某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的最長棱的棱長為_答案2解析三棱錐的直觀圖如右圖AB面BCD，BCD為等腰直角三角形AB2，BD2，BCCD，AC，AD2.16(2013高考安徽卷)如圖正方體ABCDA1B1C1D1，棱長為1，P為BC中點，Q為線段CC1上的動點，過A、P、Q的平面截該正方體所得的截面記為S，則下列命題正確的是_(寫出所有正確命題的編號)當0CQ時，S為四邊形當CQ時，S為等腰梯形當CQ時，S與

11、C1D1交點R滿足C1R1當CQ1時，S為六邊形當CQ1時，S的面積為.答案解析設截面與DD1相交于T，則ATPQ，且AT2PQDT2CQ.對于，當0CQ時，則0DT1，所以截面S為四邊形，且S為梯形，所以為真對于，當CQ時，DT1，T與D重合，截面S為四邊形APQO1，所以APD1Q，截面為等腰梯形，所以為真對于，當CQ，QC1，DT2，D1T，利用三角形相似解得，C1R1，所以為真對于，當CQ1時，DT2，截面S與線段A1D1，D1C1相交，所以四邊形S為五邊形，所以為假對于，當CQ1時，Q與C1重合，截面S與線段A1D1相交于中點G，即即為菱形APC1G，對角線長度為和，S的面積為，所以

12、為真，綜上，選.三、解答題(本大題共6個大題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17(本小題滿分10分)如右圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，ABC與A1B1C1都為正三角形且AA1面ABC，F、F1分別是AC，A1C1的中點求證：(1)平面AB1F1平面C1BF；(2)平面AB1F1平面ACC1A1.分析本題可以根據面面平行和面面垂直的判定定理和性質定理，尋找使結論成立的充分條件證明(1)在正三棱柱ABCA1B1C1中，F、F1分別是AC、A1C1的中點，B1F1BF，AF1C1F.又B1F1AF1F1，C1FBFF，平面AB1F1平面C1BF.(2)在三棱柱ABCA1B1C

13、1中，AA1平面A1B1C1，B1F1AA1.又B1F1A1C1，A1C1AA1A1，B1F1平面ACC1A1，而B1F1平面AB1F1，平面AB1F1平面ACC1A1.18(本小題滿分12分)(2013四川文科)如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，側棱AA1底面ABC，ABAC2AA12，BAC120，D，D1分別是線段BC，B1C1的中點，P是線段AD上異于端點的點(1)在平面ABC內，試作出過點P與平面 A1BC平行的直線l，說明理由，并證明直線l平面ADD1A1；(2)設(1)中的直線l交AC于點Q，求三棱錐A1QC1D的體積(錐體體積公式：VSh，其中S為底面面積，h為高)解析(1)

14、在平面ABC內，過點P作直線l和BC平行理由如下：由于直線l不在平面A1BC內，lBC，故直線l與平面A1BC平行在ABC中，ABAC，D是線段AC的中點，ADBC，lAD.又AA1底面ABC，AA1l.而AA1ADA，直線l平面ADD1A1.(2)過點D作DEAC于點E.側棱AA1底面ABC，三棱柱ABCA1B1C1為直三棱柱，則易得DE平面AA1C1C.在RtACD中，AC2，CAD60，ADACcos601，DEADsin60.SQA1C1A1C1AA1211，三棱錐A1QC1D的體積VA1QC1DVDQA1C1SQA1C1DE1.19(本小題滿分12分)如下圖所示，在四棱錐PABCD中

15、，PA平面ABCD，AB4，BC3，AD5，DABABC90，E是CD的中點(1)證明：CD平面PAE；(2)若直線PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等，求四棱錐PABCD的體積解析(1)證明：如下圖所示，連接AC，由AB4，BC3，ABC90，得AC5.又AD5，E是CD的中點，所以CDAE.PA平面ABCD，CD平面ABCD，所以PACD.而PA，AE是平面PAE內的兩條相交直線，所以CD平面PAE.(2)過點B作BGCD，分別與AE，AD相交于F，G，連接PF.由(1)CD平面PAE知，BG平面PAE.于是BPF為直線PB與平面PAE所成的角，且BGAE.由PA平面A

16、BCD知，PBA為直線PB與平面ABCD所成的角由題意，知PBABPF，因為sinPBA，sinBPF，所以PABF.由DABABC90知，ADBC，又BGCD，所以四邊形BCDG是平行四邊形，故GDBC3.于是AG2.在RtBAG中，AB4，AG2，BGAF，所以BG2，BF.于是PABF.又梯形ABCD的面積為S(53)416，所以四棱錐PABCD的體積為VSPA16.20(本小題滿分12分)(2013全國新課標卷)如圖三棱柱ABCA1B1C1中，CACB，ABAA1，BAA160，(1)證明ABA1C；(2)若AC1，ABCB2，求三棱柱ABCA1B1C1的體積S.命題意圖本題主要考查空

17、間線面，線線垂直的判定與性質，及體積的計算，考查空間想象能力，邏輯推理論證能力，屬容易題解析(1)證明：取AB中點E，連接CE，A1B，A1E，ABAA1，BAA160，BAA1是等邊三角形，A1EAB，CACB，CEAB，CEA1EE，AB面CEA1，ABA1C.(2)由于CAB為等邊三角形，CE，A1E，在A1CE中A1C.即有A1C2CE2A1E2，故A1ECE，S底面積ABCE222，A1EAB，A1ECE，hA1E，VSh26.21(本小題滿分12分)(2013福建改編)如圖，在四棱錐PABCD中，PD平面ABCD，ABDC，ABAD，BC5，DC3，AD4，PAD60.(1)當正視

18、方向為從A到D的方向時，畫出四棱錐PABCD的正視圖(要求標出尺寸，并寫出演算過程)；(2)若M為PA的中點，求證：DM平面PBC；(3)求三棱錐DPBC的體積解析(1)如圖1，在梯形ABCD中，過點C作CEAB，垂足為E.由已知得，四邊形ADCE為矩形，AECD3，在RtBEC中，由BC5，CE4，依據勾股定理得BE3，從而AB6.又由PD平面ABCD得，PDAD，從而在RtPDA中，由AD4，PAD60，得PD4.正視圖如圖2所示：(2)方法一：如圖3，取PB的中點N，連接MN，CN.在PAB中，M是PA的中點，MNAB，MNAB3，又CDAB，CD3，MNCD，MNCD，四邊形MNCD為平行四邊形，DMCN.又DM平面PBC，CN平面PBC，DM平面PBC.方法二：如圖4，取AB的中點E，連接ME，DE.在梯形ABCD中，BECD，且BECD，四邊形BCDE為平行四邊形，DEBC.又DE平面PBC，BC平面PBC，DE平面PBC.又在PAB中，