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文檔簡介
1、習題十一1設L為xOy面內直線x=a上的一段,證明:其中P(x,y)在L上連續證:設L是直線x=a上由(a,b1)到(a,b2)這一段,則L:,始點參數為t=b1,終點參數為t=b2故2設L為xOy面內x軸上從點(a,0)到點(b,0)的一段直線,證明:,其中P(x,y)在L上連續證:L:,起點參數為x=a,終點參數為x=b故3計算下列對坐標的曲線積分:(1),其中L是拋物線y=x2上從點(0,0)到點(2,4)的一段弧;(2)其中L為圓周(x-a)2+y2=a2(a0)及x軸所圍成的在第一象限內的區域的整個邊界(按逆時針方向繞行);(3),其中L為圓周x=Rcost,y=Rsint上對應t從
2、0到的一段弧;(4),其中L為圓周x2+y2=a2(按逆時針方向繞行);(5),其中為曲線x=k,y=acos,z=asin上對應從0到的一段弧;(6),其中是從點(3,2,1)到點(0,0,0)的一段直線;(7),其中為有向閉拆線ABCA,這里A,B,C依次為點(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1);(8),其中L是拋物線y=x2上從點(-1,1)到點(1,1)的段弧解:(1)L:y=x2,x從0變到2,(2)如圖11-1所示,L=L1+L2其中L1的參數方程為圖11-1L2的方程為y=0(0x2a)故(3)(4)圓周的參數方程為:x=acost,y=asint,t:02故(5)(6
3、)直線的參數方程是 t從10故(7)(如圖11-2所示)圖11-2,x從01,z從01,x從01故(8)4計算,其中L是(1)拋物線y2=x上從點(1,1)到點(4,2)的一段弧;(2)從點(1,1)到點(4,2)的直線段;(3)先沿直線從(1,1)到點(1,2),然后再沿直線到點(4,2)的折線;(4)曲線x=2t2+t+1,y=t2+1上從點(1,1)到點(4,2)的一段弧解:(1)L:,y:12,故(2)從(1,1)到(4,2)的直線段方程為x=3y-2,y:12故(3)設從點(1,1) 到點(1,2)的線段為L1,從點(1,2)到(4,2)的線段為L2,則L=L1+L2且L1:,y:1
4、2;L2:,x:14;故從而(4)易得起點(1,1)對應的參數t1=0,終點(4,2)對應的參數t2=1,故5設質點受力作用,力的反方向指向原點,大小與質點離原點的距離成正比,若質點由(a,0)沿橢圓移動到B(0,b),求力所做的功解:依題意知F=kxi+kyj,且L:,t:0(其中k為比例系數)6計算對坐標的曲線積分:(1),為x2+y2+z2=1與y=z相交的圓,方向按曲線依次經過第、封限;(2),為x2+y2+z2=1在第封限部分的邊界曲線,方向按曲線依次經過xOy平面部分,yOz平面部分和zOx平面部分解:(1):即其參數方程為:t:02故:(2)如圖11-3所示圖11-3=1+2+3
5、1: t:0,故又根據輪換對稱性知7應用格林公式計算下列積分:(1),其中L為三頂點分別為(0,0),(3,0)和(3,2)的三角形正向邊界;(2),其中L為正向星形線;(3),其中L為拋物線2x=y2上由點(0,0)到(,1)的一段弧;(4),L是圓周上由點(0,0)到(1,1)的一段弧;(5),其中m為常數,L為由點(a,0)到(0,0)經過圓x2+y2=ax上半部分的路線(a為正數)圖11-4解:(1)L所圍區域D如圖11-4所示,P=2x-y+4,Q=3x+5y-6,由格林公式得(2)P=x2ycosx+2xysinx-y2ex,Q=x2sinx-2yex,則,從而,由格林公式得(3)
6、如圖11-5所示,記,圍成的區域為D(其中=-L)圖11-5P=2xy3-y2cosx,Q=1-2ysinx+3x2y2,由格林公式有:故(4)L、AB、BO及D如圖11-6所示圖11-6由格林公式有而P=x2-y,Q=-(x+sin2y),即,于是從而(5)L,OA如圖11-7所示圖11-7P=exsiny-my,Q=excosy-m,由格林公式得:于是:8利用曲線積分,求下列曲線所圍成的圖形的面積:(1)星形線x=acos3t,y=asin3t2ex2;(2)雙紐線r2=a22cos2;(3)圓x2+y2=2ax解:(1)(2)利用極坐標與直角坐標的關系x=rcos,y=rsin得,從而x
7、dy-ydx=a2cos2d于是面積為:(3)圓x2+y2=2ax的參數方程為故9證明下列曲線積分與路徑無關,并計算積分值:(1);(2);(3)沿在右半平面的路徑;(4)沿不通過原點的路徑;證:(1)P=x-y,Q=y-x顯然P,Q在xOy面內有連續偏導數,且,故積分與路徑無關取L為從(0,0)到(1,1)的直線段,則L的方程為:y=x,x:01于是(2) P=6xy2-y3,Q=6x2y-3xy2顯然P,Q在xOy面內有連續偏導數,且,有,所以積分與路徑無關取L為從(1,2)(1,4)(3,4)的折線,則(3),P,Q在右半平面內有連續偏導數,且,在右半平面內恒有,故在右半平面內積分與路徑
8、無關取L為從(1,1)到(1,2)的直線段,則(4) ,且在除原點外恒成立,故曲線積分在不含原點的區域內與路徑無關,取L為從(1,0)(6,0)(6,8)的折線,則10驗證下列P(x,y)dx+Q(x,y)dy在整個xOy面內是某一函數u(x,y)的全微分,并求這樣的一個函數u(x,y):(1)(x+2y)dx+(2x+y)dy;(2)2xydx+x2dy;(3)(3x2y+8xy2)dx+(x3+8x2y+12yey)dy;(4)(2xcosy+y2cosx)dx+(2ysinx-x2siny)dy解:證:(1)P=x+2y,Q=2x+y,所以(x+2y)dx+(2x+y)dy是某個定義在整
9、個xOy面內的函數u(x,y)的全微分(2)P=2xy,Q=x2, ,故2xydx+x2dy是某個定義在整個xOy面內的函數u(x,y)的全微分(3)P=3x2y+8xy2,Q=x3+8x2y+12yey,故(3x2y+8xy2)dx+(x3+8x2y+12yey)dy是某個定義在整個xOy面內函數u(x,y)的全微分,(4)P=2xcosy+y2cosx,Q=2ysinx-x2siny,有,故(2xcosy+y2cosx)dx+(2ysinx-x2siny)dy是某一個定義在整個xOy面內的函數u(x,y)的全微分,11證明:在整個xOy平面內除y的負半軸及原點外的開區域G內是某個二元函數的
10、全微分,并求出這樣的一個二元函數證:,顯然G是單連通的,P和Q在G內具有一階連續偏導數,并且,(x,y)G因此在開區域G內是某個二元函數u(x,y)的全微分由知12設在半平面x0中有力構成力場,其中k為常數,證明:在此力場中場力所做的功與所取的路徑無關證:場力沿路徑L所作的功為其中,則P、Q在單連通區域x0內具有一階連續偏導數,并且因此以上積分與路徑無關,即力場中場力所做的功與路徑無關13當為xOy面內的一個閉區域時,曲面積分與二重積分有什么關系?解:因為:z=0,在xOy面上的投影區域就是故當取的是上側時為正號,取的是下側時為負號14計算下列對坐標的曲面積分:(1),其中是球面x2+y2+z
11、2=R2的下半部分的下側;(2),其中是柱面x2+y2=1被平面z=0及z=3所截得的在第封限內的部分的前側;(3),其中f(x,y,z)為連續函數,是平面x-y+z=1在第封限部分的上側;(4),其中是平面x=0,y=0,z=0,x+y+z=1所圍成的空間區域的整個邊界曲面的外側;(5),其中為曲面與平面z=h(h0)所圍成的立體的整個邊界曲面,取外側為正向;(6),其中為x=y=z=0,x=y=z=a所圍成的正方體表面,取外側為正向;解:(1):,下側,在xOy面上的投影區域Dxy為:x2+y2R2(2)如圖11-8所示,在xOy面的投影為一段弧,圖11-8故,在yOz面上的投影Dyz=(
12、y,z)|0y1,0z3,此時可表示為:,(y,z)Dyz,故在xOz面上的投影為Dxz=(x,z)|0x1,0z3,此時可表示為:,(x,z)Dxz,故因此:(3)如圖11-9所示,平面x-y+z=1上側的法向量為n=1,-1,1,n的方向余弦為,圖11-9由兩類曲面積分之間的聯系可得:(4)如圖11-10所示:圖11-10=1+2+3+4其方程分別為1:z=0,2:x=0,3:y=0,4:x+y+z=1,故由積分變元的輪換對稱性可知因此(5)記所圍成的立體為,由高斯公式有:(6)記所圍的立方體為,P=y(x-z),Q=x2,R=y2+xz由高斯公式有15.設某流體的流速V=(k,y,0),
13、求單位時間內從球面x2+y2+z2=4的內部流過球面的流量.解:設球體為,球面為,則流量(由高斯公式)16利用高斯公式,計算下列曲面積分:(1),其中為平面x=0,y=0,z=0,x=a,y=a,z=a所圍成的立體的表面的外側;(2),其中為球面x2+y2+z2=a2的外側;(3),其中為上半球體x2+y2a2,的表面外側;(4),其中是界于z=0和z=3之間的圓柱體x2+y2=9的整個表面的外側;解:(1)由高斯公式(2)由高斯公式:(3)由高斯公式得(4)由高斯公式得:17.利用斯托克斯公式,計算下列曲線積分:(1),其中為圓周x2+y2+z2=a2,x+y+z=0,若從x軸的正向看去,這
14、圓周是取逆時針的方向;(2),其中是用平面截立方體:0x1,0y1,0z1的表面所得的截痕,若從Ox軸的正向看去,取逆時針方向;(3),其中是圓周x2+y2=2z,z=2,若從z軸正向看去,這圓周是取逆時針方向;(4),其中是圓周x2+y2+z2=9,z=0,若從z軸正向看去,這圓周是取逆時針方向解:(1)取為平面x+y+z=0被所圍成部分的上側,的面積為a2(大圓面積),的單位法向量為由斯托克斯公式(2)記為為平面被所圍成部分的上側,可求得的面積為(是一個邊長為的正六邊形);的單位法向量為由斯托克斯公式(3)取:z=2,Dxy:x2+y24的上側,由斯托克斯公式得:(4)圓周x2+y2+z2=9,z=0實際就是xOy面上的圓x2+y2=9,z=0,取:z=0,Dxy:x2+y29由斯托克斯公式得:18把對坐標的曲線積分化成對弧長的曲線積分,其中L為:(1)在xOy面內沿直線從點(0,0)到點(1,1);(2)沿拋物線y=x2從點(0,0)到點(1,1);(3)沿上半圓周x2+y2=2x從點(0,0)到點(1,1)解:(1)L的方向余弦,故(2)曲線y=x2上點(x,y)處的切向量T=1,2x其方向余弦為,故(3)上半圓周上任一點處的切向量為其方向余弦為,故19設為曲線x=t,y=t2,z=t3上相應于t從0變到1的曲線弧,把對坐標的曲線積分化成
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