1、一、填空題（每題4分，共24分）1. 函數在點處可微分是它在該點偏導數與連續的_條件（填必要、充分或充要）, 又是它在該點有方向導數的_條件（填必要、充分或充要）.2. 向量場的散度為_,向量場旋度為_.3. 設, 有連續偏導數, 則_.4. 交換二次積分的積分次序 _.5. 設曲面為圓柱面介于平面與部分的外側, 則曲面積分_, _.6. 設, , 則它有極小值_.二、（本題8分）設, 求.三、（本題7分）設長方體的長、寬、高滿足, 求體積最小的長方體.四、（本題7分）求球面含在圓柱面內部的那部分面積.五、（本題7分）計算三重積分, 其中 是由單位球面圍成的閉區域.六、（本題7分）計算曲面積分

2、, 其中是圓錐面位于平面之間下方部分的下側.七、（本題7分）計算曲線積分, 其中表示第四象限內以為起點為終點的光滑曲線.八、（本題7分）求微分方程的通解.九、（本題7分）求滿足下述方程的可導函數.十、（非化工類做）（本題6分）設且, 試根據的值判定級數的斂散性.十一、（非化工類做）（本題6分）設是周期為的周期函數, 它在上的表達式為, 試將展開成傅里葉級數.十二、（非化工類做）（本題7分）設, 證明滿足微分方程, 并求. 十、（化工類做）（本題6分）求解初值問題十一、（化工類做）（本題6分）設是曲線在點處的切向量, 求函數在該點沿的方向導數.十二、（化工類做）（本題7分）給定曲面, , , 為

3、常數, 其中有連續偏導數, 證明曲面的切平面通過一個定點.高等數學下冊試卷一、 填空題共24分1、4分函數在點處可微是它在該點偏導數與連續的 必要 條件（填必要、充分或充要），又是它在該點有方向導數的 充分 條件（填必要、充分或充要）2、4分向量場的散度為.向量場的旋度為.3、4分 設有連續偏導數，則4、4分 交換二次積分的積分次序5、4分設曲面為柱面介于平面與部分的外側，則曲面積分 0 ，6、設，則它有極小值二、 8分 設，求解：兩邊取微分，得從而，三、 7分 設長方形的長、寬、高滿足，求體積最小的長方體。解：令則，從而再由即約束條件，可得，從而由問題的實際意義可知，當體積最小長方體的長、寬

4、、高均為3。四、 7分 求球面含在圓柱面內部的那部分面積解：上半球面的部分為五、 7分 計算三重積分，其中.是由單位球面圍成的閉區域解：由對稱性從而六、 7分計算曲面積分，其中是圓錐面位于平面之間下方部分的下側解：取上側則原式 七7分 計算曲線積分，其中表示第四象限內以為起點為終點的光滑曲線。解：由于，從而只要路徑不經過直線，該曲線積分就與路徑無關取路徑，八、 7分求微分方程的通解解：，九、 7分計算滿足下述方程的可導函數，解：原方程兩端求導得即，這是標準的一階線性微分方程原方程令得，代入通解得，從而十、 6分（級數）設且，試根據的值判定級數的斂散性解：，從而當，即時，級數收斂；當，即時，該級數發散十一、 6分（級數）設是周期為的周期函數，它在上的表達式為，試將函數展開成傅立葉級數解：，（奇函數在對稱區間上積分）從而十二、 7分（級數）設，證明：滿足微分方程，并求解：從而而且解初值問題，通解為，由初值條件：，十、 6分求解初值問題解：方程對應的齊次方程為，它的特征方程為，特征根為，從而對應通解為容易看出的一個特解為，因此原方程的通解為從而，由初值條件可得。因此十一、 6分設是曲線在點處的切向量，求函數在該點沿的方向導數解：方程組兩端對求導，得把代入得，解得，于是在點處的切向量為，單位切向量為所求方向導數