1、2011年全國高中數學聯合競賽（四川初賽）（5月15日下午14：3016：30）題 目一二三總成績13141516得 分評卷人復核人考生注意：1、本試卷共三大題（16個小題），全卷滿分140分. 2、用黑（藍）色圓珠筆或鋼筆作答. 3、計算器、通訊工具不準帶入考場. 4、解題書寫不要超過密封線.本題共有6小題，每題均給出（A）、（B）、（C）、（D）四個結論，其中有且僅有一個是正確的. 請將正確答案的代表字母填在題后的括號內. 每小題選對得5分；不選、選錯或選出的代表字母超過一個（不論是否寫在括號內），一律得0分.一、選擇題（本題滿分30分，每小題5分）得 分評卷人 1、雙曲線的左、右準線l1

2、、l2將線段F1F2三等分（其中、分別為雙曲線的左、右焦點），則該雙曲線的離心率等于A、 B、 C、 D、 【答】( )2、已知三次函數，), 命題：是上的單調函數；命題：的圖像與軸恰有一個交點則是的（ ）A、充分但不必要條件 B、必要但不充分條件 C、充要條件 D、既不充分也不必要條件 【答】( ) 3、甲、乙、丙三人一起玩“剪刀、石頭、布”的游戲每一局甲、乙、丙同時出“剪刀、石頭、布”中的一種手勢，且是相互獨立的設在一局中甲贏的人數為，則隨機變量的數學期望的值為（ ）A、 B、 C、 D、1 【答】( )4、函數的最大值為（ ）A、 B、3 C、 D、 【答】( )5、如圖，邊長為2的正方

3、形ABCD和正方形ABEF所在的面成60角，M、N分別是線段AC和BF上的點，且，則線段MN的長的取值范圍是A、 B、 C、 D、 【答】( ) 6、設數列為等差數列，數列滿足：，若 ，則數列的公差為（ ）A、 B、1 C、2 D、4 【答】( )二、填空題（本題滿分30分，每小題5分） 得 分本題共有6小題,要求直接將答案寫在橫線上. 評卷人 7、已知實數滿足，則的取值范圍是 8、設平面內的兩個非零向量與相互垂直，且，則使得向量與互相垂直的所有實數之和為 9、記實數等比數列的前項和為，若，則 10、設為實數，定義為不小于的最小整數，例如，關于實數的方程的全部實根之和等于 11、已知，其中為整

4、數，則 12、已知三棱錐S-ABC的底面是以AB為斜邊的等腰直角三角形，且SA=SB=SC=AB=2,設S、A、B、C四點均在以O為球心的某個球面上，則點O到平面ABC的距離為 三、解答題（本題滿分80分，每小題20分）得 分評卷人 13、已知，若函數的最大值為，求的最小值得 分評卷人 14、已知函數在有最大值5，求實數的值得 分評卷人 15、拋物線與過點的直線交于、兩點（I）求直線的斜率的取值范圍；(II) 求在線段上滿足條件的點的軌跡方程得 分評卷人 16、已知為實數，數列的前項和為，滿足：，且對任何的正整數恒成立求證：當取到最大值時，對任何正整數都有2011年高中數學聯賽四川區初賽試題參

5、考答案及評分標準說明：1、評閱試卷時，請依據評分標準.選擇題和填空題只設5分和0分兩檔；其它各題的評閱，請嚴格按照評分標準規定的評分檔次給分，不要再增加其它中間檔次. 2、如果考生的解答題方法和本解答不同，只要思路合理，步驟正確，在評閱時可參考本評分標準適當劃分檔次評分，5分一個檔次，不要再增加其它中間檔次.一、選擇題(本大題滿分30分，每小題5分)1、B 2、A 3、C 4、C 5、B 6、D 二、填空題（本大題滿分30分，每小題5分） 7、 8、1 9、150 10、 11、 12、 三、解答題（本大題滿分80分，每小題20分）13、已知，若函數的最大值為，求的最小值解：令，則， （5分）

6、，當時，有最大值，即 （10分）， （15分）等號當且僅當時成立，當時，有最小值10 （20分）14、已知函數在有最大值5，求實數的值 解： （5分）令，則，從而 （10分）令，由題意知在有最大值5.當時，在時有最大值5，故符合條件； （15分）當時，矛盾！當時，矛盾！綜上所述，所求的實數 （20分）15、拋物線與過點的直線交于、兩點（I）求直線的斜率的取值范圍；(II) 求在線段上滿足條件的點的軌跡方程解：（I）直線的方程為，與拋物線方程聯立得，消去得，即，由，解得或 （5分）（II）設點坐標為，點坐標為，點坐標為，則，又、都在直線上，所以有，由得化簡得 （10分）又，點在線段上，所以同號則因此 ， ，由得代入得,即， （15分）又因為或，所以的取值范圍是且，因此點的軌跡方程是（且） （20分）16、已知為實數，數列的前項和為，滿足：，且對任何的正整數恒成立求證：當取到最大值時，對任何正整數