1、高一數學必修四平面向量基礎知識與題型歸類（1）一向量有關概念：1、向量的概念：既有大小又有方向的量，2、零向量：長度為0的向量叫零向量，記作：，注意零向量的方向不確定；3、單位向量：長度為一個單位長度的向量叫做單位向量；的單位向量：與同方向且長度等于1的向量，記作并且；與共線的單位向量：與方向相同或相反且長度等于1的向量，可表示為。4、相等向量：長度相等且方向相同的兩個向量叫相等向量；5、平行向量（也叫共線向量）：向量的基線平行或重合，稱為向量共線或平行，記作：；即共線的向量方向相同或相反；規定：零向量和任意向量平行。6、相反向量：長度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是。二向量的表示

2、方法：1幾何表示法：用帶箭頭的有向線段表示，如，注意起點在前，終點在后；2符號表示法：用一個小寫的英文字母來表示，如，等；3坐標表示法：在平面內建立直角坐標系，以與軸、軸方向相同的兩個單位向量，為基底，則平面內的任一向量可表示為，稱為向量的坐標，叫做向量的坐標表示。如果向量的起點在原點，那么向量的坐標與向量的終點坐標相同。三向量的運算：1幾何運算：（1）向量加法運算：三角形法則的特點：首尾相連 平行四邊形法則的特點：共起點（2）向量的減法：三角形法則的特點：共起點，方向指向被減向量2、向量的數乘運算：實數與向量的積是一個向量，記作，它的長度和方向規定如下：當>0時，的方向與的方向相同，當

3、<0時，的方向與的方向相反，當0時，3、向量的坐標運算：設，則：向量的加減法運算：，。實數與向量的積：。若，則，即一個向量的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點坐標減去起點坐標。向量的模： 四平面向量的數量積：1兩個向量的夾角：對于非零向量，作，稱為向量，的夾角，記作，當0時，同向，當時，反向，當時，垂直。2平面向量的數量積：如果兩個非零向量，它們的夾角為，我們把數量叫做與的數量積（或內積或點積），記作：，即。規定：零向量與任一向量的數量積是0，注意數量積是一個實數，不再是一個向量。3在方向上的正射影的數量為，它是一個實數，但不一定大于0。4向量數量積的性質：設兩個非零向量，其夾角為，則

4、：；當，同向時，特別地，；當與反向時，；。為銳角0，且不同向，； 為鈍角0，且不反向；高一數學必修四平面向量基礎知識與題型歸類（2）5、平面向量數量積的坐標運算：設兩個非零向量，則若，則，或設，則設、都是非零向量，是與的夾角，則五向量的運算律：1交換律：，；2結合律：，；3分配律：，。提醒：（1）向量運算和實數運算有類似的地方也有區別：對于一個向量等式，可以移項，兩邊平方、兩邊同乘以一個實數，兩邊同時取模，兩邊同乘以一個向量，但不能兩邊同除以一個向量，即兩邊不能約去一個向量，切記兩向量不能相除(相約)；（2）向量的“乘法”不滿足結合律，即。六、向量共線與垂直的條件平行向量基本定理：若，反之，若

5、（其中是唯一的實數）向量共線的坐標表示：設兩個向量， 三點共線：不重合的三點共線存在實數使得且.向量垂直的條件：.七、平面向量的基本定理：如果和是同一平面內的兩個不共線向量，那么對該平面內的任一向量，有且只有一對實數、，使。其中不共線向量叫做一組基底，記作。八、向量中一些常用的結論：（1）一個封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，要注意運用；（2），特別地，前面等號成立的條件是同向或有；后面等號成立的條件是反向或有（3）在中，重心：中線的交點且重心將中線分成2：1兩段； 外心：中垂線的交點；垂心：高線的交點； 內心：角平分線的交點。為的重心；為的垂心；;若向量=,則點P的軌跡一定過的內心；高一

6、數學必修四平面向量基礎知識與題型歸類（3）經典題型：一、 基本概念判斷正誤：（1）共線向量就是在同一條直線上的向量。（2）若兩個向量不相等，則它們的終點不可能是同一點。（3）與已知向量共線的單位向量是唯一的。（4）若與不共線，則與都不是零向量。（5）若A、B、C、D四點構成平行四邊形，則。（6）若，則A、B、C、D四點構成平行四邊形。（7）若，則。 （8）若，則。（9）若，則 （10）（11）若，則。 （12）若，則。（13）若，則或 （14）若，則。（15）二、向量的運算1、化簡：_；_；_2、若O是所在平面內一點，且滿足，則的形狀為_3、若為的邊的中點，所在平面內有一點，滿足，設，則的值為

7、_4、若點是的外心，且，則的內角為_5、若M（-3，-2），N（6，-1），且，則點P的坐標為_三、向量的夾角與數量積1、ABC中，則_2、已知，與的夾角為，則等于_3、已知平面向量滿足且，則的夾角為 4、已知是兩個非零向量，且，則的夾角為_5、 設非零向量、滿足，則 6、已知的夾角，則向量在向量上的正射影的數量為 7、已知，且，則向量在向量上的正射影的數量為_8、已知與為互相垂直的單位向量，且與的夾角為銳角，則實數的取值范圍是_9、如圖，等邊中，求10、如圖，在矩形中，點為的中點，點在邊上，若，求的值 高一數學必修四平面向量基礎知識與題型歸類（4）四、向量共線與垂直1、若向量，當_時與共線且

8、方向相同2、已知不共線，如果，那么k= ,與的方向關系是 3、，4、設，則k_時，A,B,C共線5、以原點O和A(4,2)為兩個頂點作等腰直角三角形OAB，則點B的坐標是_ 6、平面直角坐標系中，為坐標原點，已知兩點,若點滿足,其中且,則點的軌跡方程是_7、若，求的單位向量；與共線的單位向量；與垂直的單位向量。8、已知=（1，2），=（-3，2），若k+2與2-4共線，求實數k的值；若k+2與2-4垂直，求實數k的值五、向量的模1、 設向量，滿足及，則的值為 2、 設向量，滿足 3、已知向量兩兩之間的夾角為60°，其模長都為1，則= .4、已知向量的最大值為 5、設點M是線段BC的中點，點A在直線BC外， 六、平面向量基本定理的應用問題1、下列向量組中，能作為平面內所有向量基底的是 A. B. C. D. 2、(A) (B) (C) (D) 3、已知分別是的邊上的中線,且,則可用向量表示為_4、已知中，點在邊上，且，則的值是_5、如圖,在中,是上的一點,若,求實數的值 6、如圖中，,，若，求