1、高中數學第二次作業 黃夏秋 1梳理高中數學課程中“函數”的結構脈絡，并進行"函數"概念教學片段設計。答：“函數”的結構脈絡：導數數學建模函數概念背景用函數圖形看待函數對應的關系看待函數變量和變量的關系具體的函數模型數列三角函數對數函數指數函數實際函數模型分段函數簡單的冪函數及拓展函數的應用實際中的應用刻畫模型的套用數學內部的應用方程不等式簡單線性規劃算法隨機現象研究函數的思想工具運算函數是數學的一個中心概念，是數學里不可缺少的一部分，體會變量的依賴關系，會用映射來刻畫函數，能結合函數圖形來解決問題。中學階段強化對函數圖形的認識，函數圖形是一個整體認識，給定一個函數圖形就等于

2、給了一個函數，相同函數以為著函數圖形應該是重合的。有很多知識是和函數密切聯系的，比如在考慮不等式的時候，在討論方程的時候，在討論計算的時候，算法里的賦值變量，在概率隨機變量，線性規劃這個多元函數等等，中學里涉及到的幾乎都離不開函數，都和函數緊密相關。所以要特別強調對函數性質的研究，對函數應用的研究，討論函數定義域、值域、單調性、奇偶性、周期性、對稱性等等。微積分里我們開始用導數方法再來研究函數本身的變化和性質和應用。用函數來研究數學內部的問題，比如處理一些函數極值問題，二分法解方程問題，解不等式問題等。在數學建模里，函數的應用被放在一個非常突出的地位，函數作為一個模型，一種思想被凸顯出來了。一

3、批模型被放到了學生的腦子里，這批模型包括一次函數，二次函數，反比例函數，指數函數，對數函數，冪函數，三角函數，分段函數等等。研究函數的基本方法有兩種，一種是代數法，通過運算來探索函數的性質和應用，這運算包括數的運算、多項式的運算、指數運算、對數運算、三角運算，它在我們研究函數中都會發揮作用，這是一種基本的方法，也是學生必須認真掌握的方法。另外一種方法就是我們通常所說的微積分的方法，利用變化率來認識函數的變化，這是一個新的角度，也是牛頓微積分一個核心的內容。用函數解決其他學科和日常生活中的問題，把實際問題轉變成數學函數模型，然后應用函數知識來解決問題，所以要求學生具備用函數的語言去描述實際問題的

4、能力。"函數"概念教學片段設計一教學目標： 1通過豐富實例，體會函數是描述變量之間依賴關系的重要數學模型，使學生正確理解函數概念，能用集合與對應的語言來刻畫函數，了解構成函數的三要素，初步形成學生利用函數的觀點認識現實世界的意識和能力。2通過從實際問題中抽象概括函數概念的活動，培養學生的抽象概括能力。教學重點：體會函數是描述變量之間的依賴關系的重要數學模型，正確理解函數的概念。教學難點：函數概念及符號的理解。 3教學方法：啟發探究式4教學過程： 一、創設情境，觀察發現 情景一：拍皮球游戲 拍球時間（）秒5秒12秒20秒25秒30秒拍球個數（）個  

5、60;  游戲規則：一個同學拍皮球并大聲數數，另一個同學按表格中的時間報時，其余同學記下報球時的個數。游戲結束后填寫上圖中的表格。 思考1：表格中有哪幾個變量？思考2：當給定其中一個變量的值時，能確定另一個變量的值嗎？點評：在這個變化過程中有兩個變量和，當給定其中一個變量的值就相應的確定了另一個變量的值。通過拍皮球游戲，讓學生先參與活動，再利用表格讓學生體會用表格刻畫兩個變量之間的對應關系。情景二：圖1的蘭色曲線記錄的是2009年2月20日自上午9：30至下午3：00上海證券交易所的股票指數的情況股票指數是時間的函數嗎？    

6、60;   圖1思考：你能從圖中看出哪一個時刻股票指數最大嗎？哪一個時刻股票指數最小嗎？其中時間的取值范圍是多少？點評：老師引導學生看圖，并啟發：在的變化范圍內，任給一個，按照給定的圖象，都有唯一的一個股票指數與之相對應。讓學生體會用圖象刻畫變量之間的對應關系，關注時間和股票指數的范圍。情景三：某種型號的汽車緊急剎車后仍將滑行米，一般有經驗公式，其中表示剎車前汽車的速度（單位：千米/時）思考： （）在公式中有哪幾個變量（）計算當分別為50，60，100時，相應的滑行距離是多少？（）給定一個值，你能求出相應的值嗎？點評：在這個變化過程中，有兩個變量和，如果給定一個的值，相應的

7、也就確定了的值。本例主要通過關系式體會兩個變量之間的關系。為了幫助學生形成積極的學習態度，促進學生發展，在函數概念的教學設計中主要突出了以幾點： （）通過生生互動，師生互動，調動了學生的求知欲望和學習興趣。體會在解決問題時與他人合作的重要性。 （）分別以圖像、表格、代數表達式三種形式呈現了三個生活化的場景，引導學生自主探索，滿足了學生多樣化的學習需求。 （）從生活中的函數原型出發，讓學生明白了數學學習內容應當是現實的、有意義的、富有挑戰性的。加強了數學與現實的聯系，讓學生體會數學的廣泛應用性。 二.概念形成：思考1：分析、歸納以上三個實例，想想變量之間的關系有什么共同點？生：三個實例中變量之間

8、的關系都可以描述為：對于數集中的每一個，按照某種對應關系，在數集中都有唯一確定的和它對應，記作：思考2：前面我們學習了“集合”，你能用“集合”以及對應的語言刻畫函數概念嗎？設計意圖：引導學生把初中學習過的函數概念與高一剛學習的過的集合知識聯系起來，用集合的觀點解釋過去的概念，獲得對函數概念的新認識獲得新的函數定義方式：設A，B是兩個非空數集如果按照某種確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中有唯一確定的數f（x）和它對應，那么就稱f：AB為集合A到集合B的一個函數，記作yf（x），xA其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的

9、集合f（x）| xA叫做函數的值域值域是集合的子集。若Cf（x）| xA，則CB師生共同就每一個例子，找出集合A，B分別是什么，對應關系f指什么？突出“三要素”思考3：在這個定義中，你認為哪些是關鍵詞？怎樣理解這個概念呢？設計意圖：促使學生抓住概念中的關鍵詞，多方面理解概念，抓住本質同時，指出函數的三要素為定義域、對應關系、值域由于對于一個函數，當定義域確定、對應關系確定后，值域也隨之確定，因此，兩個函數相等的條件是定義域以及對應關系相同三、概念辨析： 下列圖象中不能作為函數的圖象的是（ ）（A） （B） （C） （D）設計意圖：通過這到題可以了解學生對函數概念的掌握情況突出“兩個變量x，y”

10、，對于變量x的“每一個”確定的值，另一個變量y有“唯一”確定的值與x對應。2. 梳理高中數學課程中“幾何”的結構脈絡，并設計一道立體幾何或解析幾何的應用題以評價學生建模及綜合應用知識解決問題的能力。（注意：題目必須是自編或改編）答：“幾何”的結構脈絡幾何課程的設計由兩部分組成，第一部分是知識部分；第二部分是能力部分，這個能力體現在空間的想象力，或者叫幾何直觀能力，或者叫數形結合能力。這兩部分都是貫穿在我們整個高中課程中的基本的東西。知識部分分三大塊，一塊是立體幾何，一塊是解析幾何，一塊是向量，這是支撐幾何課程的三個基點，對向量要有一個完整的認識，向量有兩個稱號，一個叫向量代數，就是我們在代數里

11、講的；一個叫向量幾何，所以向量是一個獨特的數學研究對象。首先， 立體幾何部分，整個課程分成兩塊，一塊叫立體幾何初步，一塊叫空間向量與立體幾何，支撐空間向量幾何的內容除了立體幾何初步之外，還有平面向量 。立體幾何初步的定位是什么？ -它是要培養學生的空間想象力為主的一個課程載體。通過這樣一些內容，來支撐這樣的一個載體，第一部分就是要對空間圖形有一個了解，盡而我們要會畫空間圖形的直觀圖，在此基礎上我們要建立三視圖的概念，這個是在義務教育基礎上的一個深化，在三視圖中我們要關注什么問題，我想將來我們再細化，那么緊接著，我們需要幫助學習建立的是點、線、面的位置關系，這是必修課程的基本的東西，當然還有一些

12、，體積面積的計算，這個不是重點。關于點、線、面的位置關系，在立體幾何初步中，幫助學生形成兩個角度，一個是從局部到整體，一個是從整體到局部，如長方體這個模型，就能成為貫穿對于點、線、面位置關系認識的一個基本圖形，這個圖形不僅在高中階段是基本圖形，在大學學習其他的幾何的時候，它仍然是很重要的，仍然是最基本的，特別是正交系這都是非常基本的圖形。立體幾何初步對于邏輯推理的要求，做了一定的控制，大概有 4個判定定理和 4個性質定理，只要求證明性質定理，不要求證明判定定理，在性質定理的證明中，要增加更多的空間、圖形來支撐它。要培養邏輯思維能力，不是幾何學單獨來培養的，它是所有的數學課程共同培養的，對幾何課

13、來說，它的定位就是掌握空間想象能力，或者把握圖形的能力，這是它的本職工作和核心工作，當然它也和其他的數學一樣，培養學生的邏輯思維能力，不可本末倒置，好像幾何就培養人的思維能力，所以一定要把這個定位認識清楚，一些證明，比如說判定定理證明，在后面空間向量、立體幾何還可以處理，要把握圖形，培養學生空間想象能力，這是一個最核心的問題。對于空間向量與立體幾何。首先，要清楚在立體幾何初步里主要是位置關系，定性的認識位置關系，實際上在高中階段，要幫助學生研究的主要對象有兩個，一個是位置關系，一個是度量關系。最主要的位置關系是兩個，一個是平行，一個是垂直，判定垂直就是看這兩個平面（要平面就說法向量，要直線就說

14、方向向量），它們的點乘是不是等于零，另外一個是平行問題，平行問題是共線問題。再說度量問題，度量問題一個是長度，一個是角度，距離是屬于長度的范疇，對于面積和體積不是中學的重點，到大學會專門去講，如何利用空間向量來求面積、來確定體積，也就是差乘和混合積的問題，那么用什么樣的向量語言來刻畫長度呢？一個是向量自己和自己的點乘，是自己這個向量長度的平方，另一個就是投影，要特別注意投影是個數，距離是個正數，因此我們在求投影完了以后要取絕對值，所以在上的投影，是指與的單位向量的點乘，然后取絕對值， 這就是求長度的中心的部分。向量是連接代數和幾何的一座天然的橋梁，是數形結合重要的載體，它的三個不共面的向量構成

15、了基本的框架，特別是正交的框架，有助于我們對幾何空間圖形的把握，這樣一個框架對培養空間想象能力是非常重要的。解析幾何分為兩個階段，一個是解析幾何初步，解析幾何初步是以圓和直線作為載體來建立解析集合初步思想，到了選修1和選修2，我們是以圓錐曲線作為載體，來進一步深化我們解析幾何的思想。另一個是幾何直觀的培養，就是空間想象力的培養。空間想象力和幾何直觀的培養絕不僅僅是幾何的任務，是我們數學的任務，要幫助學生學會用圖形來描述問題，要幫助學生學會用圖形去發現解決問題，要幫助學生學會用圖形來記憶和理解我們所得到的結果。所以圖形能揭示數學的本質。解析幾何應用題艦A在艦B的正東6千米，艦C在艦B的北偏西且與

16、B相距4千米，它們準備捕海洋動物，某時刻A發現動物信號，4秒后B、C同時發現這種信號，A發射麻醉炮彈，設艦與動物均為靜止的，動物信號的傳播速度為1千米/秒，炮彈的速度是千米/秒，其中為重力加速度，若不計空氣阻力與艦高，問艦A發射炮彈的方位角和仰角應是多少？命題意圖：考察圓錐曲線在實際問題中的應用，及將實際問題轉化成數學問題的能力。考察知識：線段垂直平分線的性質，雙曲線的定義，兩點間的距離公式，斜拋運動的曲線方程。錯解分析：答好本題，除要準確地把握好點P的位置（既在線段BC的垂直平分線上，又在以A、B為焦點的拋物線上），還應對方位角的概念掌握清楚。技巧與方法：通過建立恰當的直角坐標系，將實際問題

17、轉化成解析幾何問題來求解，對空間物體的定位，一般可利用聲音傳播時間差來建立方程。解：取AB所在直線為軸，以AB的中點為原點，建立如圖所示的直角坐標系。由題意可知，A、B、C艦的坐標為（3，0）、（-3，0）、（-5，），由于B、C同時發現動物信號，記動物所在的位置為P，則，于是P在線段BC的中垂線上，易求得其方程為，又由A、B兩艦發現動物信號的時間差為4秒，知，故知P在雙曲線的右支上。直線與雙曲線的交點為，此即為動物P的位置，利用兩點間距離公式，可得。據已知兩點的斜率公式，得，所以直線PA的傾斜角為，于是艦A發射炮彈的方位角是北偏東，設發射炮彈的仰角是，初速度，則，仰角3.   請您設計一道有關“統計與概率”部分的應用題：通過設計層層遞進的“問題串”，評價學生建模及綜合應用知識解決問題的能力。（注意：題目必須是自編或改編）如圖，在豎直平面內有一個“游戲滑道”，空白部分表示光滑滑道，黑色正方形表示障礙物，自上而下第一行有個障礙物，第二行有2個障礙物，依次類推，一個半徑適當的光滑均勻小球從入口A投入滑道，小球將自由下落，已知小球每次遇到正方