1、高中數學：遞推數列經典題型全面解析類型1 解法：把原遞推公式轉化為，利用累加法(逐差相加法)求解。例:已知數列滿足，求。解：由條件知：分別令，代入上式得個等式累加之，即所以，類型2 解法：把原遞推公式轉化為，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例:已知數列滿足，求。解：由條件知，分別令，代入上式得個等式累乘之，即又，例:已知， ，求。類型3 （其中p，q均為常數，）。解法（待定系數法）：把原遞推公式轉化為：，其中，再利用換元法轉化為等比數列求解。例:已知數列中，求.解：設遞推公式可以轉化為即.故遞推公式為,令，則,且.所以是以為首項，2為公比的等比數列，則,所以.變式:遞推式：。解法：只需構造數列，

2、消去帶來的差異類型4 （其中p，q均為常數，）。 （,其中p，q, r均為常數） 。解法：一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以，得：引入輔助數列（其中），得：再待定系數法解決。例:已知數列中，,，求。解：在兩邊乘以得：令，則,解之得：所以類型5 遞推公式為（其中p，q均為常數）。解法一(待定系數法)：先把原遞推公式轉化為其中s，t滿足解法二(特征根法)：對于由遞推公式，給出的數列，方程，叫做數列的特征方程。若是特征方程的兩個根，當時，數列的通項為，其中A，B由決定（即把和，代入，得到關于A、B的方程組）；當時，數列的通項為，其中A，B由決定（即把和，代入，得到關于A、B的方程組）。解法一（待定系

3、數迭加法）:數列：， ，求數列的通項公式。由，得，且。則數列是以為首項，為公比的等比數列，于是。把代入，得，。把以上各式相加，得。解法二（特征根法）：數列：， 的特征方程是：。,。又由，于是故例:已知數列中，,，求。解：由可轉化為即或這里不妨選用（當然也可選用，大家可以試一試），則是以首項為，公比為的等比數列,所以,應用類型1的方法，分別令，代入上式得個等式累加之，即又，所以。類型6 遞推公式為與的關系式。(或)解法：這種類型一般利用與消去 或與消去進行求解。例：已知數列前n項和.（1）求與的關系；（2）求通項公式.解：（1）由得：于是所以.（2）應用類型4（其中p，q均為常數，）的方法，上式

4、兩邊同乘以得：由.于是數列是以2為首項，2為公差的等差數列，所以類型7 解法：這種類型一般利用待定系數法構造等比數列，即令，與已知遞推式比較，解出,從而轉化為是公比為的等比數列。例:設數列：，求.解：設，將代入遞推式，得（）則,又，故代入（）得說明：（1）若為的二次式，則可設;(2)本題也可由 ,（）兩式相減得轉化為求之. 【知識點】：1.等差數列前N項和公式S=(A1+An)N/2            即：     

5、60; (首項+末項)*項數 / 2等差數列公式求和公式 Sn=n(a1+an)/2 或Sn=na1+n(n-1)d/2     即：  項數*首項+項數*（項數-1）*公差/2 2.等比數列前n項和設 a1,a2,a3.an構成等比數列 前n項和Sn=a1+a2+a3.an Sn=a1+a1*q+a1*q2+.a1*q(n-2)+a1*q(n-1)(這個公式雖然是最基本公式,但一部分題目中求前n項和是很難用下面那個公式推導的,這時可能要直接從基本公式推導過去,所以希望這個公式也要理解) Sn=a1(1-qn)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q);    q:公比 【例】、已知數列滿足，則通項公式an=3(n-1)+a(n-1) ->an-a(n-1)=3(n-1) 同樣a(n-1)-a(n-2)=3(n-2) a(n-2(-a(n-