1、數值計算方法二分法的實際應用數學091班 xxx 指導教師：xxx（xxxx大學xx院 陜西 xx 710021）摘 要：本文根據二分法不斷取中點,區間不斷縮小且區間的中點逐漸逼近方程根(或函數零點)的精確值的無限逼近的極限思想，與區間迭代的數值算法,從方程的近似解、求函數零點的近似值以及解決實際問題三個方面滲透了算法思想，具體描述了二分法的應用。關鍵詞：二分法，區間，精度Practical Application of the Numerical MethodBisection MethodAbstract: In this paper, according to the dichotomy

2、 constantly take the midpoint, shrinking the interval of interval and the midpoint gradually approximation equation root (or function zero) precise value of the limits of the infinite approximation thought, and interval iteration numerical algorithm is proposed, from the approximate solution of the

3、equation for function approximation of zero and solve practical problems through three aspects, detailed description of the arithmetic idea dichotomy.Key words : Dichotomy, range, precision原文摘 要：原文數值計算方法二分法的實際應用 根據大二第二學期在數值計算方法課程中對于二分法求解非線性方程的算法之后，了解到二分法具有：算法簡單，輕易理解，且總是收斂的的優點，所以現在依據所學知識用二分法解決求方程的近似解

4、、求函數零點的近似值以及實際問題。1 二分法解題的模型1）計算的有根區間端點處的值 ；2）計算的區間中點的值；3）若為有根區間，否則為有根區間；4）對重復上述步驟，即： ，且根據誤差估計二分到一定次數達到精度，從而求得近似值。2 二分法的應用在二分法中,由于不斷取中點,區間不斷縮小,區間的中點逐漸逼近方程根(或函數零點)的精確值,所以二分法體現了無限逼近的極限思想,主要有以下三方面的應用。1) 二分法求方程的近似解例1 用二分法求方程在區間的實數解。(精確度0.01) 解 設,由,由零點存在性定理知,區間可作初始區間,用二分法逐次計算列表如下:由于精確度,二分次數是6次時,|2.53125-2

5、.515625|=0.015625>0.01,不合題意;當二分次數是7次時,|2.5234375-2.515625|=0.0078125<0.01,所以原方程的近似解可取為2.5234375。因此，精確度與方程的精確解和近似解的差的絕對值有關,若這個絕對值小于某個數值,那么這個數值就是精確度.即若設方程的精確解為,近似解為,由于和都位于區間上,則。相關精確定義：若區間的長度,則稱為方程近似解的精確度,此時.所以區間任意一個值都是滿足精確度的近似解,故該題取區間上的任何一個值都符合題意,為方便不妨取區間的端點作為近似解。2) 用二分法求函數零點的近似值例2 已知函數。(1)當精確度為

6、0.01時,二分的次數最少為多少次可確定零點的近似值?(2)用二分法求1,1.5的一個零點.(精確到0.01)解 (1)設函數零點的精確值為,近似值為,由精確度定義可知,又,所以,即,則,即二分的次數最少為6次可確定零點的近似值。(2)由,根據零點存在性定量可知,區間可作為初始區間,用二分法逐次計算,列表如下:當二分次數是5次時,|1.3281-1.3125|=0.0155>0.01,不合題意;當二分次數是6次時|1.3281-1.3203|=0.0078<0.01,符合精確度要求,綜上，即為所求零點。因此，該題首先要滿足精確度0.01,二分次數需6次,此時區間1.3203,1.3

7、281兩端點精確到0.01,近似值不同,所以再取中點即為所求零點。當區間兩端點精確到0.01數值相等時,函數零點的近似值即為端點的近似值,如在例1中,區間兩端點精確到的近似值都是2.52,那么該方程精確到0.01的實數解就是2.52,從中可看出“精確度”和“精確到”是有區別的,“精確到”往往和有效數字“形影不離”,是一個近似值,而“精確度”與精確值和近似值的差的絕對值有關,它可取區間上的任何一個值作為近似值。3)用二分法思想解決實際問題 例3 在一個風雨交加的夜里,從某水庫閘房到防洪指揮部的一條10km的電話線路發生了故障,如何迅速查出故障所在?如果沿著線路一小段一小段地查找,每查一次要爬一次

8、電線桿,10km長的線路大約有200余根電線桿,維修電路的工人師傅如何工作才能把故障的范圍縮小到100m以內?至少要查多少次?解 設A表示閘門,B表示指揮部,他首先從中點C點查,用隨身帶的話機向兩端測試時發現AC段正常,斷定故障在BC段,再到BC中點D來查,這次發現BD段正,可見故障在CD段,再到CD的中點E來查每查一次,就把待查的線路長度縮短一半,則由精確度定義得10×10，32且,解得,即至少查7次就可以把故障發生的范圍縮小在100米以內。數學分析和數值實踐表明，該算法不僅能夠正確判定設計方程是否有解，而且在有解的情況下能夠正確求出該解，計算量小，計算過程穩定,但有以下缺點：收斂速度太慢，優點浪費時間浪費時間，總之，二分法不僅可用來求方程的近似解以及函數的零點,還可以用來查找線路、水管、氣管,還能用于實驗設計、資料查詢等,做到在最短的時間內用最小的精力去解決問題。3 總結二分法本質上是一種區間迭代的數值算法，還體現了非此即彼的哲學思想,它綜合了函數、方程、不等式、數列、極限等多種知識,滲透了算法思想,還體現了非此即彼的哲學思想,它綜合了函數、方程、不等式、數列、極限等多種知識,因此在很多方面都很有用。 參考文獻1 曾毅.改進的遺傳算法在非線性方程組求解中的應用J.華東交通大學學報.2004.(04).136-138 2