1、質心系中質點組的運動定律寧國強摘 要本文根據慣性系中質點組的牛頓第二定律在非慣性系中的推廣形式導出了在質心系中質點組的運動定理和守恒定律，并以此為基礎討論碰撞與散射現象；最后通過例子說明，在處理某些力學問題時，利用質心坐標系往往可使質點組問題的處理大大簡化。關鍵詞質心系；動量定理；動量矩定理；動能定理；碰撞；散射1. 引言眾所周知，牛頓運動定律是在慣性系中低速情況下才成立的規律。所以，以牛頓運動定律為基礎而推導出來的一些運動定律當然也都只能在慣性系中才成立14。在研究和解決力學問題時通常選用慣性參考系，但在許多情況下選用非慣性參考系可能會使問題簡單化58。在非慣性系中引入慣性力以后，牛頓運動定

2、律可以沿用，但其推導出的運動定律是否可以沿用呢？如果可以沿用，其表達式又如何呢？本文將導出質心坐標系（質心坐標系既可以是慣性系，也可以是非慣性系）中質點組的運動定律，并以此為基礎討論質心坐標系中的碰撞與散射現象。2. 質心參考系以質點組的質心為原點，坐標軸與靜止慣性參考系平行，這種參考系稱為質心參考系或質心系。根據質心和質心參考系的定義，可以知道質心參考系的特征。由質心定義可知，在質心參考系中，質心的位置矢量為. （2-1）將對時間取一階導數，得. (2-2)由上式知 . (2-3)公式（23）說明了質點組對質心的總動量為零，這個結論是質心參考系定義的直接結果，與質點組整個系統的運動無關系，它

3、反映出了質心參考系的特征。因此，我們稱質心參考系為零動量參考系。正是由于有了這一特征，才能使得質心參考系成為討論質點組運動的重要參考系911。質心參考系既可以是慣性系，也可以是非慣性系。由質心運動定理 可知，我們所研究的系統，如果所受的合外力為零，則質心C在靜止慣性參考系中以恒定速度作慣性運動，此時質心參考系也是慣性參考系。如果所受合外力不為零，則質心相對于靜止慣性系作加速運動，這樣，質心參考系就不再是慣性參考系，而是非慣性參考系。3. 質心系中質點組的運動定律3.1 質心系中質點組的動量定理和動量守恒定律若在非慣性系中引入慣性力，則可以導出適用于非慣性系的動量定理，推導如下：設有一質心系(以

4、下簡稱系)相對另一慣性系（以下簡稱系）作加速運動，系原點在系中的加速度用表示，現有個質點組成的質點系相對系作加速運動，表示各質點相對系原點的位矢，表示各質點相對于系運動的速度。相對于系，第個質點的運動微分方程為， （3-1）式中分別為作用于第個質點上的外力、相互作用內力、慣性力。將式（3-1）兩端對n個質點求和，可得， （3-2）式中為質點系相對于質心系的動量，是由非慣性系引起的第i個質點受到的慣性力。注意到對質點系來說，有，式（3-2）就成為， （3-3）式中，M為質點系的總質量。由慣性系中的質心運動定理，有，因此，（3-3）式可進一步寫為. （3-4）于是. （3-5）這樣，我們就得到一個

5、重要而又簡單的結論：在質心參照系中，質點組的動量任何情況下都恒等于零！（2-3）式與（3-5）式是相同的，前者由質心的定義直接得出，后者由牛頓第二定律導出。由（3-5）式的導出過程可以看出，（3-5）式既是質心參照系中質點系的動量定理，又是質心參照系中質點系的動量守恒定律。這里，有兩個可能的疑問需要講清楚：一、在慣性參考系中，質點組動量守恒是有條件的：體系所受合外力為零。難道在質心系中，動量守恒就不需要條件？是的，只要是質心系中，質點系的動量就一定守恒，而且總動量就是零。如果要說條件的話，“質心系”本身就是體系動量守恒的條件。也就是說，“質心”和“質心系”的定義本身就包含了“質點組的總動量任何

6、情況下都恒等于零的參照系就是質心系”的意思。二、合外力如不為零，它對動量的貢獻到哪里去了？合外力的作用是其沖量使質心的動量獲得了一增量，而對質點組中各質點相對于質心的相對動量的矢量和沒有貢獻。3.2 質心系中質點組的動能定理和機械能守恒定律當合外力不為零時，質心系是非慣性系。在質心系中對第i個質點應用動能定理: ， （3-6）對i求和，得 . （3-7）注意到：，故有 . （3-8）上式即是質心系中的動能定理，它表明：質點組相對于質心的總動能的微分，等于質點組中各個質點相對于質心發生位移時所有內力和外力所做功的代數和。由（3-8）式可見：質心系中的動能定理與慣性系中的動能定理具有相同的數學形式

7、。須要注意的是：不僅外力做功對體系動能的變化有貢獻，而且內力做功對體系動能的變化也有貢獻。但質心系中慣性力做的總功為零，它對動能的變化沒有貢獻。靜止慣性參考系與質心參考系中的動能是有聯系的，這一聯系由柯尼西定理描述，其推導過程如下：如圖1所示，C為質點組的質心，為靜止慣性參考系，為質心參考系。第i個質點在兩參考系中的位矢和速度有下列關系：， .質點組在靜止慣性參考系的動能是： （3-9）以上推導過程中應用了關系：，式中是將質點組的全部質量看作集中在質心而運動時的動能，稱之為質心的動能；而則為質點組中各質點相對質心運動時的動能之和。（3-9）式表明：靜止慣性參考系中質點組的動能等于質心的動能與各

8、質點相對質心運動的動能之和，這個關系稱為柯尼西定理。須要注意的是：不論質心系是慣性系還是非慣性系，柯尼西定理都成立。除質心系以外的其它非慣性運動的參考系此定理一般不成立。由（3-8）式知道，在質心系中機械能守恒的條件是：僅有保守力對體系做功。在除質心系以外的其他非慣性系中，上述條件不能保證機械能守恒。3.3 質點組對質心的動量矩定理和動量矩守恒定律在質心參照系中，質點的動力學方程是 （3-10）用從左邊矢乘上式兩邊，并對i求和，得 （3-11）在導出上式時，假定了兩質點間的內力沿它們的聯線方向，因此內力的合力矩可以證明為零。因 ，上式化為 （3-12）亦即 （3-13）上式就是質點組對質心的動

9、量矩定理，其中 質點組對質心C的總動量矩 （3-14） 對質心C的合外力矩 （3-15）當 ， 則 常矢量 。以上就是質心系中質點組的動量矩守恒定律。可見，質心系中質點組的動量矩定理和動量矩守恒律與對定點的動量矩定理和動量矩守恒律數學形式相同。對其它動點，一般不具有類似形式的動量矩定理和動量矩守恒律。綜上所述，在質心系中，質點組的動量恒為零；質點組的動能定理和（對質心的）動量矩定理與慣性系中相應的定理具有完全相同的數學形式，這表明質心系是一個特殊的、重要的參照系。4. 在質心坐標系中討論碰撞、散射問題4.1 碰撞兩體碰撞是物理學中的一個典型問題1213。在分子運動中有碰撞問題，在工程技術中、日

10、常生活中都有碰撞問題。當兩運動物體突然相互接觸時，就發生了碰撞。而碰撞更廣義的定義是：當兩個物體相互接近時，它們有相互作用，因而改變了它們的運動狀態，即引起動量、能量的交換。常常用小球作為碰撞物體的模型。如果兩個小球發生對心碰撞，即兩個小球碰撞前的速度矢量在它們中心連線上，則碰撞過程中的沖擊力和碰撞后兩小球的速度矢量也必然在此聯線上。由于碰撞過程所經歷的時間非常短，而作用力非常大，因此可略去其它非沖擊力，則系統的動量守恒，但動能一般不守恒。通常是分離速度小于趨近速度，這兩個速度的比值定義為恢復系數e，分離速度和趨近速度都是兩球之間的相對速度。下面在質心系中來討論對心碰撞的問題：假定兩個小球發生

11、對心碰撞。建立一個靜止慣性參照系及與質心相固結的質心坐標系。由于不受外力的作用，靜止慣性參照系中系系統動量守恒，則兩球質心的速度不變，因此質心坐標系是一慣性參考系，質心相對于靜止慣性參照系的速度為 （4-1）其中為質心的速度，、分別為兩小球碰撞前相對于靜止慣性參照系的速度，為兩球質量。在質心坐標系中，兩球碰撞前的速度分別記作、，碰撞后的速度記作、，則 （4-2） （4-3）其中、分別為兩球碰撞后相對于靜止慣性參照系的速度。由式（4-2）、（4-3）可得在質心坐標系中兩球碰前的趨近速度和碰后的分離速度分別為 （4-4）其中為靜止參照系中兩球碰前的的趨近速度，為靜止參照系中兩球碰后的的分離速度。由

12、此可得恢復系數 （4-5）由（4-5）可得： （4-6）在質心系中，體系動量為零，故 （4-7）由（4-6）、（4-7）可得： （4-8）（4-8）式即為質心系中兩球碰撞后的速度公式。由此我們得出一個重要結論：在質心系中，兩球正碰之后，各自反彈，速度大小均為各自的碰前速度乘于恢復系數.我們知道，在靜止參照系中，兩球碰撞后的速度為： （4-9）可見，在質心系中得到的兩球的速度公式較靜止參照系中的速度公式要簡單得多。容易看出，只要將（4-1）、（4-8）代入（4-3）并利用（4-4），就可得到（4-9）。在質心系中，體系碰撞前后的總動能分別為 （4-10） （4-11）動能損失為 （4-12）討論

13、： 對于完全彈性碰撞（），有. （4-13）可見，在質心系中，兩球發生彈性碰撞，各球以原速率反彈，體系動能守恒。 對于完全非彈性碰撞（），有 （4-14） （4-15）可見，在質心系中，兩球發生完全非彈性碰撞，兩球相對質心靜止，動能損失殆盡。4.2 散射彈性散射是分析力學中一個重要的問題14。其過程可以視為射彈粒子與靶粒子之間動量與能量的轉化過程。在兩粒子體系的質心系中， （4-16）因此，在質心系中，兩質點速度始終方向相反，并沿兩質點的聯線方向（如圖2所示）。設靜止參照系中的散射角（即與的夾角）為，質心系中的散射角（即與的夾角）為（如圖3所示）。從圖4可以看出：， （4-17）即 （4-18

14、） . （4-19）由于 ， 對于彈性散射，.若散射前，則，代入（4-19）式，得 （4-20）例如，粒子被重原子核散射時，由于，故；而中子-質子散射時，由于， .5. 采用質心系處理力學問題的舉例下面我們通過兩個例子說明質心坐標系處理力學問題的優勢。例1 一個人從船頭走到船尾，人的質量為m,船的質量為M,船長為L，問船在水中移動了多遠的距離。（不計水的阻力）解法一 在靜止坐標系中：設船的速度為V，人的速度為v；船相對于靜水移動的距離為x，人相對于靜水移動的距離則為L-x .根據動量守恒定律，得 故 解法二 在質心坐標系中：設船移動的距離為x，人移動的距離則為L-x .由于整個系統不受外力作用

15、，所以質心不會移動，即故 例2 從地球發射一宇宙飛行體，要使其脫離太陽系，至少需要多大速度（第三宇宙速度的求解）？已知在太陽系中，飛行器的逃逸速度為，地球的公轉速度為.解法一 在靜止坐標系中：設發射時飛行體相對于地球速度為，地球速率的改變是，這個改變量是個小量，忽略二階及以上小量，于是地球動能的改變量為： .如取發射的方向垂直于太陽引力的方向，則發射過程的前后，在發射的方向上動量守恒。根據發射前后動量守恒，有 于是 地球動能的改變可寫為 根據飛行體從射出到獲得逃逸太陽系的速度這一過程的動量守恒關系，得于是 上式中的即是飛行體能實現逃逸太陽系這一目的，在脫離地球引力范圍進入太陽系時所需相對地球的

16、最小速度。由能量關系，可得所以解法二 在質心坐標系中：從發射到脫離地球引力的過程中，太陽的引力與飛行器的位移垂直，與地球的位移垂直，不做功；質心的加速度導致的慣性力做的功為零。于是，機械能守恒。 由（4-10），上式中 故 所以6. 結束語質心系一般是非慣性系，在非慣性系中處理力學問題的關鍵是引入慣性力。由于質心系具有總動量為零的重要特征，導致在質心參考系中，慣性力對質點組總動量的變化無貢獻，慣性力對質點組做的總功為零，慣性力對質心的力矩矢量和為零。在質心系中的動量定理與動量守恒律特別簡單，而動能定理及機械能守恒律、動量矩定理及動量矩守恒律與靜止慣性系中的相應規律有相同的數學形式。許多力學問題

17、在質心系中處理起來特別簡單，因此，質心系是一種重要的參照系。參考文獻1 周衍柏理論力學教程M北京：高等教育出版社，1986（2006重印）2 漆安慎，杜嬋英力學M北京：高等教育出版社，1997（2003重印）3 楊維纮力學M安徽：中國科學技術出版社，2002（2004重印）4 Murry R.Spiegel. Theory and problems of Theoretical mechanics M.New york : Mc Grow Hill,1980.5 李根全，王子安，李子軍非慣性系中的動量定律J內蒙古民族師院學報（自然科學版），1997年10月，第12卷第2期：9116 韋勝東，李作春非慣性系中的機械能定理和機械能守恒律J南寧師范高等專科學校學報，2002，（2）：41447 李鐵非慣性系中的動量定律與動量守恒J電子科技大學，2004年10月，第33卷第5期：15178 楊景芳，黃耀清非慣性系中的“三大定理”和機械能守恒J大慶高等專科學校學報，1999年12月，第19卷第4期：27299 許鐘城質心參考系與非慣性參考系J河池師專學報（自然科學