1、第四章習題4.1 若光波的波長寬度為，頻率寬度為，試證明：。設光波波長為，試計算它的頻寬。若把光譜分布看成是矩形線型，那么相干長度證明：參閱蘇顯渝，李繼陶信息光學P349，第4.1題答案。赫，4.2 設邁克爾遜干涉儀所用的光源為，的鈉雙線，每一譜線的寬度為。（1）試求光場的復自相干度的模。（2）當移動一臂時，可見到的條紋總數大約為多少？（3）可見度有幾個變化周期？每個周期有多少條紋？答：參閱蘇顯渝，李繼陶信息光學P349，第4.2題答案。假設每一根譜線的線型為矩形，光源的歸一化功率譜為 (1)光場的復相干度為式中，復相干度的模為 由于，故第一個因子是的慢變化非周期函數，第二個因子是的快變化周期

2、函數。相干時間由第一個因子決定，它的第一個零點出現在的地方，為相干時間，故相干長度。（2）可見到的條紋總數（3）復相干度的模中第二個因子的變化周期，故可見度的變化周期數每個周期內的條紋數4.3假定氣體激光器以個等強度的縱模振蕩，其歸一化功率譜密度可表示為 式中，是縱模間隔，為中心頻率并假定為奇數。（1）證明復自相干度的模為 (2)若，且，畫出與的關系曲線。答：參閱統計光學（基本概念個習題）P131。證明（1），復相干度與歸一化功率譜密度即光源的光譜特性間具有下列關系：將（）式帶入得到其中因而 =復相干度的包絡則為 （2），當N=3時， 其曲線如圖1所示。圖1 多模激光復相干度包絡曲線（N=3）

3、4.4 在衍射實驗中采用一個均勻非相干光源，波長，緊靠光源之前放置一個直徑1mm的小圓孔，若希望對遠處直徑為1mm的圓孔產生近似相干的照明，求衍射孔徑到光源的最小距離。答：參閱統計光學（基本概念個習題）P160。用做衍射實驗的相干度應當用上題中提到的沃爾夫用的閾值，由理想值1下降到0.88為最大容許偏離值，因而相干面積直徑與光源半徑之間滿足下列關系： 則 即光源小孔與衍射小孔之間最小相距5.68m才能在衍射實驗中較好地滿足相干照明的要求。4.5 用邁克爾遜測星干涉儀測量距離地面1光年(約1016m) 的一顆星的直徑.當反射鏡與之間距離調到6m時,干涉條紋消失.若平均波長，求這顆星的直徑。答：，

4、4.6 在楊氏雙孔干涉實驗中(圖4.17),用縫寬為的準單色非相干縫光源照明,其均勻分布的輻射光強為，中心波長.(1)寫出距照明狹縫處的間距為的雙孔和（不考慮孔的大小）之間的復相干因子表達式。（2）若，求觀察屏上的楊氏干涉條紋的對比度。（3）若和仍然取上述值，要求觀察屏上干涉條紋的對比度為0.41, 縫光源的寬度應為多少?(4)若縫光源用兩個相距為的準單色點光源代替, 如何表達和兩點之間的復相干因子? 圖4.17（題4.6圖）答：根據范西特-澤尼克定理，當光源本身線度以及觀察區域線度都比二者距離小得多時，觀察區域上復相干因子正比于光源強度分布的歸一化傅里葉變換。本題的條件能夠滿足這個要求。因而

5、有 (4.75)式中 ，而和分別為和兩點到光軸的距離。（2）當，有 觀察屏上的楊氏干涉條紋的對比度為0.637。（1） 若和仍然取上述值，觀察屏上干涉條紋的對比度為0.41, 縫光源的寬度應為 （2） 若縫光源用兩個相距為的準單色點光源代替, 和兩點之間的復相干因子可以表達為兩個復指數函數之和，因而隨著和兩點之間的距離按照余弦函數方式變化。4.7一準單色光源照明與其相距為的平面上任意兩點和，試問在傍軸條件下這兩點之間的復相干因子幅值為多大？答：參閱統計光學（基本概念個習題）P165。解：首先建立如圖4.19的坐標系，光源位于-坐標原點，-與x-y兩平面間距為z，P1與P2兩點坐標分別為(x1,

6、y1)與(x2,y2)，并滿足如下近軸條件：做為準單色點光源，其光源可表示為其中為狄拉克函數。直接利用范西特-澤尼克定理計算復相干系數如下：因為，由點光源發出的準單色是完全相干的，或者說x-y面上的相干面積趨于無限大4.8在圖4-18所示的記錄全息圖的光路中,非相干光源的強度在直徑為的圓孔內是均勻的。為使物體漫反射光與反射鏡的參考光在面上的復相干因子不小于0.88,光源前所加的小孔的最大允許直徑是多少（）？答：小孔的最大允許直徑。 圖4.18（題4.8圖）第五章習題解答51兩束夾角為 q = 450的平面波在記錄平面上產生干涉，已知光波波長為632.8nm，求對稱情況下（兩平面波的入射角相等）

7、該平面上記錄的全息光柵的空間頻率。答案：已知：q = 450，= 632.8nm 求：全息光柵空間頻率fx 解：根據平面波相干原理，干涉條紋的空間分布滿足關系式 2 d sin（q/2）= 其中d 是干涉條紋間隔。由于兩平面波相對于全息干板是對稱入射的，故記錄 在干板上的全息光柵空間頻率為 fx = （1/d）= （1/）·2 sin（q/2）= 1209.5 l/mm 答：全息光柵的空間頻率為1209.5 l/mm。52 如圖5.33所示，點光源A（0，-40，-150）和B（0，30，-100）發出的球面波在記錄平面上產生干涉： x A O z y B圖5.33 （5.2題圖）（

8、1） 寫出兩個球面波在記錄平面上復振幅分布的表達式；解答：設：點源A、B發出的球面波在記錄平面上的復振幅分布分別為UA和UB， 則有 其中: xA = xB = 0, yA = -40, zA = -150, yB = 30, zB = -100; aA、aB分別是球面波的振幅；k為波數。（2） 寫出干涉條紋強度分布的表達式； I = |UA+UB|2 = UA ·UA* + UB ·UB* +UA*·UB+ UA·UB*（3）設全息干板的尺寸為100 × 100 mm2，l = 632.8nm，求全息圖上最高和最低空間頻率；說明這對記錄介質的

9、分辨率有何要求？解答：設全息干板對于坐標軸是對稱的，設點源A與點源B到達干板的光線的最大和最小夾角分別為max和min，A、B發出的到達干板兩個邊緣的光線與干板的夾角分別為A、B、A和B，如圖所示，它們的關系為 A A max B 0 z B A B min y A = tg-1zA/（-yA - 50） ，B = tg-1zB/（-yB - 50） A= tg-1zA/（yA - 50） ，B = tg-1zB/（yB - 50） max=A -B ， min=B -A根據全息光柵記錄原理，全息圖上所記錄的 最高空間頻率 fmax= （2/l）sin（max/2）·cos 1 最低

10、空間頻率 fmin= （2/l）sin（min/2）·cos 2其中角表示全息干板相對于對稱記錄情況的偏離角，由幾何關系可知 cos 1 = sin（A +B）/2 ， cos 2 = sin（A+B）/2將數據代入公式得 fmax= 882 l/mm ，fmin= 503 l/mm答：全息圖的空間頻率最高為882 l/mm，最低為503 l/mm，要求記錄介質的分辨率不得低于900 l/mm。 54 用波長 l0= 632.8nm 記錄的全息圖，然后用 l= 488.0nm的光波再現，試問：（1）若lo = 10cm，lc = lr = ，像距li =？ 解：根據菲涅耳全息圖物像距

11、關系式（521C），像距li由下式確定 原始像： 共軛像： 其中 µ = l / l0 ， 將lc = lr = 代入得 原始像距為 共軛像距為 （2）若lo = 10cm，lr = 20cm，lC = ，li =？； 解：同理,原始像距為 26 cm共軛像距為 lI - 26 cm（3） 第二種情況中，若lC改為lC = -50cm，li =？； 解：同理,原始像距為 lI 54 cm 共軛像距為 lI - 17 cm （4）若再現波長與記錄波長相同，求以上三種情況像的放大率M = ？解：當l = l0 時 µ = 1 ，由成像放大率公式（525）可知 上述三種情況的放大

12、率分別為（1）M = 1 ； （2）M = 2 ； （3）M = 33 55 如圖5.34所示，用一束平面波R和會聚球面波A相干，記錄的全息圖稱為同軸全息透鏡（HL），通常將其焦距f定義為會聚球面波點源A的距離zA。 R A z HL圖5.34 （5.5題圖）（1）試依據菲涅耳全息圖的物像關系公式（5.21）（5.22），證明該全息透鏡的成像公式為 式中di為像距，d0為物距，f為焦距，m = l / l0（l0為記錄波長，l為再現波長），等號右邊的正號表示正透鏡，負號表示它同時又具有負透鏡的功能。解：根據菲涅耳全息圖的物像關系公式（5.21c）和（5.22c）有 根據題意，已知 di = l

13、i ，d0 = lc ，lr = ；焦距f是指當 l = l0時平行光入射得到的會聚點的距離，即當lc=，m =1時的像距li ，此時li = f （= zA）。根據公式可得 于是有 f = + lo （=zA）證明：左邊=右邊證明完畢。（2）若已知zA= 20cm，l0 = 632.8nm，物距為d0 = -10cm，物高為hO= 2mm，物波長為 l = 488.0nm，問：能得到幾個像？求出它們的位置和大小，并說明其虛、實和正、倒。解：由已經證明了的全息透鏡成像公式可得 根據題意有f = zA= 20cm，m = l / l0 = 488.0nm / 632.8nm，d0 = -10cm

14、，代入上式 -163 cm 原始像 得 di = -72 cm 共軛像根據放大率公式（525） 由本題關系可知，上式中z0 = lo = f = 20cm，zr = lr = ，zc = lc = d0 = -10cm，代入上式得 06 原始像高h = M·h0 = 120cm=028 共軛像高h = M·h0 = 056cm答：能得到兩個像，原始像位于 -163cm處，正立虛像，像高120cm；共軛像位于 -72cm處，正立虛像，像高056cm。56 用圖5.33光路制作一個全息透鏡，記錄波長為l0 = 488.0nm，zA= 20cm，然后用白光平面波再現，顯然由于色散

15、效應，不同波長的焦點將不再重合。請計算對應波長分別為l1= 400.0nm、l2 = 500.0nm、l3 = 600.0nm的透鏡焦距。解答：由（523）式可知 于是有 其中lO = zA = 20cm，lc = lr = ，µ1 = l1 / l0，µ2 = l2 / l0，µ3 = l3 / l0， 代入數據得 f1= 244cm； f2= 195cm； f3= 163cm 答：對應3個波長的焦距分別為244cm，195cm和163cm。57 用圖5.35所示光路記錄和再現傅里葉變換全息圖。透鏡L1和 L2的焦距分別為f1 和f2，參考光角度為q ，求再現像

16、的位置和全息成像的放大倍率。 O L1 q H H L2 P f1 f1 f2 f2圖5.35 （5.7題圖）解答：根據傅里葉變換全息圖再現原理，由公式（533）可知，再現像對稱分布于零級兩側，且傾角分別為：+q，由幾何關系可知： + sin q = xp / f2 所以：xp = + f2 sin q 即原始像和共軛像分別位于xp = f2 sin q 和xp = - f2 sin q 處（注：輸出平面坐標已作反轉處理）。第六章習題與解答習題6-1置于兩正交偏振片中的垂面排列液晶盒，在電控雙折射效應中，電壓V=Vc時透過率最大，試從雙折射和干涉角度說明此時對應何種情況？為什么透過率最大。6-

17、2 P型450扭曲液晶盒在混合場效應中，分析液晶分子指向矢的變化是如何改變液晶雙折射的，說明為什么最后能生成橢圓偏振光。6-3 在利用混合場效應時，為什么采用450扭曲液晶盒，而不采用900扭曲液晶盒？6-4 試寫出KDP晶體的線性電光系數矩陣、在外電場E=Exi+Eyj+Ezk作用下hij（E）的各分量及其折射率橢球方程。6-5 試寫出外電場E與KDP晶體z軸方向平行時的折射率橢球方程，并證明其變成雙軸晶體，寫出此時的三個主折射率nzny和nz。6-6 試寫出外電場E與KDP晶體x軸方向平行時的折射率橢球方程，并證明其晶軸發生旋轉，從而變成了雙軸晶體，并寫出此時的三個主折射率，nxny和nz

18、，說明ny與nz近似與Ex2成正比。6-7 設MOSLM將線偏振光的偏振方向分別旋轉-450和450，作為數字“0”和“1”的輸入。（a）描述如何利用MOSLM實現二進制位相濾波器功能。（b）如果MOSLM僅旋轉-90和90，此位相濾波器的強度透過率是多少？（提示：使用馬留定律）6-8 在使用MOSLM時是否需要將讀出光的偏振方向與MOSLM的某一特定軸方向一致？為什么？解答61如果用負型液晶<制成垂面排列液晶盒，并在兩基片外表面鍍上透明導電材料氧化銦與氧化錫的混合物（ITO）作為電極，在液晶盒的前后光路中分別放置起偏器和檢偏器，且使兩者正交。一束光經起偏器垂直入射到液晶盒上。當電極上的

19、電壓V=0時，由于線偏振光沿液晶主軸方向傳播，因而偏振方向不變，所以檢偏器上透過的光強為零。當電極上加一定電壓后，液晶發生形變，大部分分子的指向矢n將轉向垂直于E的方向，它平行與基片（但不一定平行與起偏器），此時通過液晶盒的線偏振光將分解成o光和e光，檢偏器上將有光透過，其光強是o光和e光干涉的結果。當電極上的電壓達到某一閾值電壓Vc時，n平行于液晶盒表面（垂直于E）的分子比例達到最大。此時液晶雙折射效應最強，因而，透過率也達到最大值。62（參見6.2.1節中的例及圖6-6。）63在利用混合場效應時，采用450扭曲液晶盒，是為了能在較低電壓下較大的雙折射效應。若采用900扭曲液晶，則線偏振光在

20、液晶盒內不能分解成兩個偏振方向的分量，也就不能產生橢圓偏振光，而僅使入射線偏振光的偏振方向旋轉900，因而通過檢偏器的光功率為零?？梢钥闯?，450扭曲液晶盒可以產生最大雙折射效應。64已知KDP的系數矩陣中只有r41、r32、和r63不為零，所以可寫出其電光系數矩陣為： 在外電場E的作用下，由（6-24）式并忽略Kerr效應，可寫出其逆介電常數章量h的近似表達式： h11（E）=h11（0）=1/nx2= 1/n02 h22（E）=h22（0）=1/ny2=1/n02 h33（E）=h33（0）=1/nz2=1/ne2 h23（E）=h32（E）=h23（0）+ r41 Ex=r41Ex h1

21、3（E）=h31（E）=h13（0）+ r52 Ey=r52Ey h12（E）=h21（E）=h12（0）+ r63 Ez=r63Ez由（6-21）式可寫出折射率橢球方程：x2/no2 + y2/no2 + z2/ne2 + 2r41Exyz + 2r52Eyxz + 2r63Ezxy = 16-5 由上題結果，代入Ex=Ey=0，折射率橢球方程變為：x2/no2 + y2/no2 + z2/ne2 + 2r63Ezxy = 1 由于出現了xy交叉項，說明在外電場Ez作用下，晶體主軸發生了轉動。作坐標變換，令坐標軸繞z軸轉450，新坐標系為x'，y'，z',它與舊坐標系

22、的關系為：x = x'cos450 - y'sin450 = 2/2 (x'-y')y =x'sin450 +y'cos450 =2/2(x'+ y')z = z'代入前式可得新坐標系下的折射率橢球方程：x'2(1/no2 + r63Ez) + y'2(1/no2 - r63Ez) +z'2/ne2 = 1變換成晶體主軸坐標系：x'2/n'x2 + y'2/n'y2 + z'2/n'z2 = 1其中： 1/ /n'x2= 1/ /no2+ r6

23、3Ez1/ n'y2 = 1/ no2- r63Ez1/ /n'z2 = 1/ /ne2 可見外電場Ez的作用不僅使KDP的主軸繞z軸旋轉了450，而且使n'x n'yn'z，即變成了雙軸晶體。6-6 由6-4題結果，代入Ey =Ez = 0，可得：x2/no2 + y2/no2 + z2/ne2 + 2yzr41Ex = 1 (A)可見，外電場Ex使晶體主軸發生了旋轉。令坐標系繞x軸旋轉角，消去交叉項，可找到新的主軸方向。新舊坐標系關系為：x = x'y = y'cos - z'sin (B)z = y'sin + z&

24、#39;cos代入（A）式，并令y'z'項系數為零，則為有：tg2 = 2r41Ex/(1/no2 - 1/ne2) (C)在新坐標系下折射率橢球方程變為：x'2/no2 + y'2(1/no2 +r41Extg) + z'2(1/ne2 - r41Extg) = 1 (D)或： x'2/n'x2 + y'2/n'y2 + z'2/ n'z 2 = 1 （E）其中： 1/ /n'x2= 1/ /no21/ n'y2 = 1/ no2 + r63Ez （F）1/ /n'z2 = 1/

25、/ne2 - r63Ez由于r41Ex<< 1/no2 (1/ne2),代入（F）式，近似有：nx' = nony' no - 1/2no3r41Extg nz' ne + 1/2ne3r41Extg對KDP角很小，例如Ex = 100V/m時，0.040。由（C）式可知，近似正比于Ex .所以ny'、n'z近似與Ex2成正比。6-7 a）如圖6-20所示，經起偏器P的讀出光的偏振方向為y方向，通過MOSLM上的兩個像素后，由于法拉第效應，其偏振方向將分別偏轉+450和-450角，成為偏振方向為P1和P2的出射光。將檢偏器A透光方向置于x軸方

26、向，即與起偏器正交，= ±900。此時，P1和P2在A上都存在x、y兩個分量，它們的y分量不能通過A，只有x分量可通過，但P1、P2 的兩x分量方向相反，即位相差。這樣就構成了一個二進制位相濾波器。b）此位相濾波器的強度透過濾為：T = I0cos2（-）/I0 = sin2810 6-8 讀出光只要為任意方向的線偏振光，通過MOSLM時，由于法拉第效應，其偏振方向都會旋轉一定角度（或-）。但如果起偏器和檢偏器的透光方向的夾角不同MOSLM 的功能也不同。若起偏器與檢偏器透光方向夾角= ±900，則MOSLM可用作相位調制（或濾波）器，當±900時，則可構成振幅調

27、制器或強度調制器。所以，使用MOSLM時，應注意起偏器和檢偏器透光方向的夾角，而不是入射讀出光的偏振方向。第七章 習題解答1. 某種光盤的記錄范圍為內徑80mm,外徑180mm的環形區域,記錄軌道的間距為2um.假設各軌道記錄位的線密度均相同,記錄微斑的尺寸為0.6um,試估算其單面記錄容量. (注: 內、外徑均指直徑)解： 記錄軌道數為 單面記錄容量按位計算為 bits = 17 Gb. 按字節數計算的存儲容量為 2.1GB.2. 證明布拉格條件式（7-1）等效于（7-17）式中位相失配d = 0的情形， 因而（7-18）式描述了體光柵讀出不滿足布拉格條件時的位相失配。證明:將體光柵讀出滿足

28、布拉格條件時的照明光波長(介質內) 和入射角 (照明光束與峰值條紋面間夾角)分別記為l0和0, 則根據布拉格條件式（7-1）有: 2Lsin0= l 0 其中L為峰值條紋面間距.對于任意波長la (空氣中) 和入射角r (介質內), 由(7-17)式, 位相失配 d 定義為: 其中n0為介質的平均折射率, K= 2p/L為光柵矢量K的大小，f為光柵矢量傾斜角，其值為 ，qr 為再現光束與系統光軸夾角 (參見圖7-9)當 d = 0 時,有 即: l為介質中的波長. 由于角度恰為照明光與峰值條紋面的夾角, 以上結果亦即布拉格條件2L sin = l.當讀出光偏離布拉格角o和布拉格波長lo的偏移量

29、分別為D和Dl時，有 利用布拉格條件式(7-17), 以及D和Dl很小時的近似關系 cosD1 和 sinDD, 立即可得: d =DqKsin(f-q0) - DlK2/4pn0 即(7-18)式原題得證。3. 用波長為532nm的激光在KNSBN晶體中記錄非傾斜透射光柵,參考光與物光的夾角為30o(空氣中).欲用波長為633nm的探針光實時監測光柵記錄過程中衍射效率的變化,計算探針光的入射角.(假設在此二波長晶體折射率均為2.27) 解： 532nm為空氣中激光波長記作la1, 在晶體外的入射角為a1，其在晶體中波長為l1, 入射角為1；633nm為空氣中激光波長記作la2, 在晶體外的入

30、射角為a2，其在晶體中波長為l2，入射角為a2。本題中涉及非傾斜光柵, 光束入射角即為與光柵峰值條紋面的夾角, 按題意, 則波長532nm和633nm激光應分別滿足布拉格條件： 晶體中： 2Lsin1=l1 2Lsin2=l2 (1)由折射定律，換算成空氣中角度和波長為： 空氣中： 2Lsina1=la1 2Lsina2=la2 (2)由（2）式得： a2 = arcsin (la2 ´ sin15°/la1 )= arcsin (633 ´ sin15° /532 ) = 17.936 °故探針光的入射角應為17.936°。4. 為

31、了與實驗測量的選擇角相比較,需要有體光柵在空氣中的選擇角的表達式. 試對小調制度近似(n<<1),導出一個計算非傾斜透射光柵空氣中的選擇角的表達式 (所有角度均應為空氣中可測量的值).解：注意我們將對應著h-x 曲線的主瓣全寬度定義為選擇角, 體光柵晶體中選擇角表達式為： (1)n <<1時，對非傾斜透射光柵，有： (2)設空氣中參考光入射角為qro, 選擇角為DQo. 由折射定律有 sin(DQo+qro) = nsin(DQ+qr)(3)展開為 ： sinDQocosqro + cosDQosinqro= n (sinDQcosqr + cosDQsinqr) (4

32、)因為DQo和DQ很小，有如下近似：cosDQocosDQ/21, sinDQoDQo, sinDQDQ. 因此(4)式可化簡為： DQocosqro+ sinqro= n(DQcosqr+ sinqr)由折射定律，有sinqro = nsinqr，可得： DQo = nDQcosqr/ cosqro = nla cosqr / (nd ú sinqrú cosqro) = 2la(n2-sin2 qro)1/2 / (d sin2qro)此式可作為空氣中選擇角的表達式。當sin2 qro<< n2時,還可進一步簡化為:以最常用的鈮酸鋰晶體為例, n=2.2-2

33、.3, 當qro < 45°時, 用估算空氣中的選擇角, 誤差只有5%左右. 5. 鈮酸鋰晶體折射率 n =2.28, 厚度d = 3mm, 全息時間常數之比E/W = 4, 飽和折射率調制度Dnmax=5´10-5, 用l = 532nm的激光在晶體中記錄純角度復用的全息圖, 物光角度取為s=30°, 參考光角度范圍r = 20°-40°. 若要求等衍射效率記錄且目標衍射效率設定為10-5, 試分析影響存儲容量的主要因素.為了提高存儲容量, 應當在哪些方面予以改進?解：本題僅涉及純角度復用技術, 且無頁面容量的數據, 故主要討論每個空間

34、區域內復用存儲的數據頁面數即角度復用度. 影響存儲容量的主要因素有：（1） 有限的角度選擇性及實際選擇角增寬（2） 光學系統對存儲容量的限制（3） 噪聲對存儲容量的限制本題可近似為準對稱的透射式光路，以平均的參考光角度r=s=30° 并利用第4題的結果, 可估算出平均選擇角為:0.0535°由光學系統決定的參考光入射角范圍Q=20°, 故允許的角度復用度為： Ma » Q/ DQ =20/0.0535 = 374 由于系統存在噪聲, 要求有一定的目標衍射效率, 而記錄材料具有有限的動態范圍, 因而根據(7-77)式,角度復用度限制為： Ma = = 4´3.14´5´10-5´3 / (532´10-6´cos30°´10-5/2) =1293由以上結果可見，本題中存儲容量主要受到有限的角度選擇性和光學系統有限的孔徑角的限制。要提高存儲容量，需首先增大晶體厚度, 適當增大寫入光的夾角和光學系統的