1、12.3 角的平分線的性質1.1.在探究作角平分線的方法和角平分線性質的過程中，掌握在探究作角平分線的方法和角平分線性質的過程中，掌握角平分線的作法和角平分線的性質角平分線的作法和角平分線的性質. .2.2.提高綜合運用三角形全等的有關知識解決問題的能力；掌提高綜合運用三角形全等的有關知識解決問題的能力；掌握簡單的角平分線在生產、生活中的應用握簡單的角平分線在生產、生活中的應用. . 不利用工具，請你將一張用紙片做的角分成兩個相不利用工具，請你將一張用紙片做的角分成兩個相等的角等的角. .你有什么辦法？你有什么辦法？AOBC再打開紙片再打開紙片 ，看看折痕與這個角有，看看折痕與這個角有何關系？

2、何關系？ 對折對折 如果前面活動中的紙片換成木板、鋼板等沒法折的如果前面活動中的紙片換成木板、鋼板等沒法折的角，又該怎么辦呢？角，又該怎么辦呢？ 觀察下面簡易的平分角的儀器，其中觀察下面簡易的平分角的儀器，其中AB=ADAB=AD，BC=DC.BC=DC.將點將點A A放在角的頂點，放在角的頂點，ABAB和和ADAD沿著角的兩邊放下，沿沿著角的兩邊放下，沿ACAC畫一條射線畫一條射線AEAE，AEAE就是就是DABDAB的平分線的平分線. .你能說明它的道你能說明它的道理嗎？理嗎？B BD DA AC CE E 【證明證明】 在在ACDACD和和ACBACB中中 AD=ABAD=AB（已知）（

3、已知） DC=BCDC=BC（已知）（已知） CA=CACA=CA（公共邊）（公共邊） ACD ACD ACBACB（SSSSSS） CAD=CABCAD=CAB（全等三角形的對應角相等）（全等三角形的對應角相等） ACAC平分平分DABDAB（角平分線的定義）（角平分線的定義）B BD DA AC CE E 根據角平分儀的制作原理怎樣作一根據角平分儀的制作原理怎樣作一個角的平分線？（不用角平分儀或量角個角的平分線？（不用角平分儀或量角器）器）尺規作角的平分線尺規作角的平分線畫法：畫法：1.1.以以O O為圓心，適當長為半徑作弧，交為圓心，適當長為半徑作弧，交OAOA于于M M，交，交OBOB

4、于于N N2.2.分別以，為圓心大于分別以，為圓心大于 的長的長為半徑作弧兩弧在為半徑作弧兩弧在AOBAOB的內部交于的內部交于3.3.作射線作射線OCOC射線射線OCOC即為所求即為所求OABNMC12證明證明: :連接連接MC,NCMC,NC由作法知由作法知: :在在OMCOMC和和ONCONC中中OM=ONOM=ON，MC=NCMC=NC，OC=OC=OCOC，OMCOMCONC(SSS)ONC(SSS)，AOC=BOCAOC=BOC，即即OC OC 是是的平分線的平分線. .為什么為什么OCOC是是AOBAOB的平分線的平分線? ?OABNMC 將將AOBAOB對折，再折出一個直角三角

5、形（使第一條折對折，再折出一個直角三角形（使第一條折痕為斜邊），然后展開，觀察兩次折疊形成的三條折痕，痕為斜邊），然后展開，觀察兩次折疊形成的三條折痕，你能得出什么結論？你能得出什么結論？猜想猜想: :角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等. .證明證明: : C C平分平分, P, P是是OCOC上一點（已知），上一點（已知），D DP=BP=BP P（角平分線定義），（角平分線定義），PDOA,PEOB PDOA,PEOB （已知），（已知），ODP=OEP=90ODP=OEP=90（垂直的定義），（垂直的定義），在在OPDOPD和和OPEOPE中中 DO

6、P=BOP DOP=BOP （已證），（已證）， ODP=OEP ODP=OEP （已證），（已證），OP=OP=OPOP（已知），（已知）， OPDOPDOPE(AAS)OPE(AAS)，PDPDPEPE（全等三角形對應邊相等）（全等三角形對應邊相等）. . 已知：已知：OCOC平分平分AOBAOB，點，點P P在在OCOC上，上，PDOAPDOA于于D D， PEOBPEOB于于E E，求證求證: PD=PE.: PD=PE.P PA AO OB BC CE ED D12定理：定理：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等. .用符號語言表示為：用符號語言表

7、示為：1= 21= 2， PD OA PD OA ，PE OBPE OB，PD=PE.PD=PE.P PA AO OB BC CE ED D1 12 2角的平分線的性質角的平分線的性質 如圖，要在如圖，要在S S區建一個貿易市場，使它到鐵路和公路區建一個貿易市場，使它到鐵路和公路距離相等，距離相等， 離公路與鐵路交叉處離公路與鐵路交叉處500 m500 m，這個集貿市場，這個集貿市場應建在何處？（比例尺為應建在何處？（比例尺為1 120 00020 000）s s【跟蹤訓練跟蹤訓練】DCs【解析解析】 作夾角的角平分線作夾角的角平分線OCOC，截取，截取OD=2.5cm ,DOD=2.5cm

8、,D即為所求即為所求. .O 反過來，到一個角的兩邊的距離相等的點是反過來，到一個角的兩邊的距離相等的點是否一定在這個角的平分線上呢？否一定在這個角的平分線上呢？ 已知：如圖已知：如圖,QDOA,QDOA，QEOBQEOB，點點D D、E E為垂足，為垂足，QDQDQEQE求證：點求證：點Q Q在在AOBAOB的平分線上的平分線上證明證明: : QDOA QDOA，QEOBQEOB， QDOQDOQEOQEO9090（垂直的定義）（垂直的定義）. .在在RtRtQDOQDO和和RtRtQEOQEO中中 QOQOQOQO（公共邊），（公共邊）， QD=QEQD=QE（已知），（已知）， RtRt

9、QDORtQDORtQEOQEO（HLHL），）， QODQODQOEQOE， 點點Q Q在在AOBAOB的平分線上的平分線上. .角的內部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上角的內部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上. . QDOA QDOA，QEOBQEOB，QDQDQEQE點點Q Q在在AOBAOB的平分線上的平分線上用數學語言表示為：用數學語言表示為：(1)1= 2,DCAC, DEAB (1)1= 2,DCAC, DEAB _(_)(_)(2)DCAC ,DEAB ,DC=DE(2)DCAC ,DEAB ,DC=DE_(_)(_)ACDEB121= 21= 2DC=DEDC=D

10、E角的內部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上角的內部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上. .角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等【跟蹤訓練跟蹤訓練】1.1.已知已知: :如圖如圖, ,在在ABCABC中中,AD,AD是它的角平分線是它的角平分線, ,且且 BD=CD,DEAB,DFAC,BD=CD,DEAB,DFAC,垂足分別是垂足分別是E,F.E,F.求證求證:EB=FC. :EB=FC. BAEDCF【解析解析】根據角的平分線的性質根據角的平分線的性質得得DE=DFDE=DF，再根據，再根據HLHL證明證明BEDBEDCFD,CFD,從而得到從而

11、得到EB=FC.EB=FC.2.2.直線表示三條相互交叉的公路直線表示三條相互交叉的公路, ,現要建一個貨物中轉現要建一個貨物中轉站站, ,要求它到三條公路的距離相等要求它到三條公路的距離相等, ,則可供選擇的地址則可供選擇的地址有有:( ):( )A.A.一處一處 B.B.兩處兩處 C.C.三處三處 D.D.四處四處【解析解析】選選D.D.由于沒有限制在何處選址由于沒有限制在何處選址, ,故要求的故要求的地址共有四處地址共有四處, ,在各自夾角的平分線上，即：在各自夾角的平分線上，即：A A、B B、C C、D D各一處各一處. .A AD DC CB B3.3.（寧德（寧德中考）如圖，已知

12、中考）如圖，已知ADAD是是ABCABC的角平分線，在不的角平分線，在不添加任何輔助線的前提下，要使添加任何輔助線的前提下，要使AEDAEDAFDAFD，需添加一個，需添加一個條件是：條件是：_，并給予證明，并給予證明. . B D AEFc【解析解析】解法一：解法一：添加條件：添加條件：AEAEAF.AF. 在在AEDAED與與AFDAFD中，中，AEAEAFAF，EADEADFADFAD，ADADADAD，AEDAEDAFDAFD（SASSAS）. . 解法二：解法二：添加條件：添加條件：EDAEDAFDA.FDA. 在在AEDAED與與AFDAFD中，中， EADEADFADFAD，ADADADAD，EDAEDAFDAFDA， AEDAEDAFDAFD（ASAASA）. . 1.1.角的平分線的性質：角的平分線的性質：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等2.2.角平分線的判定：角平分線的判定