1、半導體物理與器件半導體物理與器件陳延湖陳延湖小結(jié)小結(jié)n載流子的分布位置：載流子的分布位置：n導電電子處于導帶底導電電子處于導帶底n導電空穴處于價帶頂導電空穴處于價帶頂導帶導帶價帶價帶電子電子空穴空穴1( )1( )0pniiivalence bandiconduction bandJevev在外加電場下半導體在外加電場下半導體可導電，電流為：可導電，電流為：其中其中n，p為載流子濃度為載流子濃度n求解能帶導電的載流子濃度問題，需要知道：求解能帶導電的載流子濃度問題，需要知道：n1能帶中允許的量子態(tài)按能量如何分布能帶中允許的量子態(tài)按能量如何分布-狀態(tài)密度狀態(tài)密度g(E) n2電子在允許的量子態(tài)中

2、如何分布電子在允許的量子態(tài)中如何分布-概率分布函數(shù)概率分布函數(shù)f(E)n3計算不同溫度下的載流子濃度（第四章）計算不同溫度下的載流子濃度（第四章）dEEgEfdN)()( )( )ccEcEnf E gE dE3.4 狀態(tài)密度狀態(tài)密度 設在能帶中能量設在能帶中能量E E與與E+dEE+dE之間的能量間隔之間的能量間隔dEdE內(nèi)內(nèi)有量子態(tài)有量子態(tài)dZdZ個，體積為個，體積為V V，則定義狀態(tài)密度，則定義狀態(tài)密度g(E)g(E)為：為：( )dZg EVdE22*( )2cnh kE kEmg(E): g(E): 能量能量E E附近單位體積單位能量間隔的量子態(tài)數(shù)附近單位體積單位能量間隔的量子態(tài)數(shù)狀

3、態(tài)密度的推導過程：狀態(tài)密度的推導過程：(1)計算計算K空間單位體積的量子態(tài)數(shù)，即空間單位體積的量子態(tài)數(shù)，即K空間的狀態(tài)密度空間的狀態(tài)密度(2)能量間隔能量間隔dE對應的對應的K空間體積，并與空間體積，并與K空間狀態(tài)密度空間狀態(tài)密度相乘，得到相乘，得到dZ(3)根據(jù)定義計算根據(jù)定義計算g(E)1 K空間中量子態(tài)的分布空間中量子態(tài)的分布2(0, 1, 2, 3,)2(0, 1, 2, 3,)2(0, 1, 2, 3,)xxxyyyzzznknLnknLnknL 三維晶體，波三維晶體，波矢矢K的取值的取值L為晶體線度（大小），則晶體體積為為晶體線度（大小），則晶體體積為: 一組一組K取值對應一個允許

4、的能量狀態(tài)，取值對應一個允許的能量狀態(tài)，根據(jù)第一章分析由于受邊界條件限制根據(jù)第一章分析由于受邊界條件限制nx，ny，nz取整數(shù)，取整數(shù)，K取值是不連續(xù)的，即允取值是不連續(xù)的，即允帶內(nèi)的能量是不連續(xù)的帶內(nèi)的能量是不連續(xù)的3VL1 K空間中量子態(tài)的分布空間中量子態(tài)的分布n每一個每一個K K取值在在取值在在k k空間中對應空間中對應一個點，每個點由一組整數(shù)一個點，每個點由一組整數(shù)（n nx x,n,ny y,n,nz z）表示。）表示。nk空間中，每一個允許的量子空間中，每一個允許的量子態(tài)的態(tài)的k空間代表點分布均勻，空間代表點分布均勻，且都與一個且都與一個83/L3的立方體相的立方體相聯(lián)系，即聯(lián)系，

5、即每一個每一個83/L3的立方的立方體中等效有一個允許的量子態(tài)體中等效有一個允許的量子態(tài)xkykzkK K空間狀態(tài)密度：空間狀態(tài)密度：333311888VLV考慮電子自旋，電子的考慮電子自旋，電子的K空間狀態(tài)密度為空間狀態(tài)密度為2V/8 32 狀態(tài)密度（單位能量的量子態(tài)數(shù)）狀態(tài)密度（單位能量的量子態(tài)數(shù)）n考慮能帶極值在考慮能帶極值在k=0，等能面為球面，各向同性，等能面為球面，各向同性E(k）-K關(guān)系為：關(guān)系為：計算半導體導帶底附近的狀態(tài)密度計算半導體導帶底附近的狀態(tài)密度22*( )2cnkE kEm因等能面為球面，能量為因等能面為球面，能量為E和和E+dE之間的量子態(tài)數(shù)之間的量子態(tài)數(shù)dZ對應

6、于對應于K空間兩個球殼之間量子態(tài)數(shù)，球殼體積為空間兩個球殼之間量子態(tài)數(shù)，球殼體積為23248VdZk dk24 k dk則：則：2 狀態(tài)密度狀態(tài)密度根據(jù)根據(jù)E(K)-k關(guān)系將關(guān)系將k用能量用能量E表示：表示：* 1/21/2(2)()ncmEEk*2nm dEkdk 及及代入代入dZ得：得：* 3/21/223(2)()2ncmVdZEEdE* 3/21/23(2)( )4()nccmdZgEEEVdEh導帶底附近狀態(tài)密度為導帶底附近狀態(tài)密度為: :/ 2h2 狀態(tài)密度（單位能量的量子態(tài)數(shù)）狀態(tài)密度（單位能量的量子態(tài)數(shù)）n與能量與能量E 有拋物線關(guān)系，電子有拋物線關(guān)系，電子能量越大，狀態(tài)密度越

7、大能量越大，狀態(tài)密度越大n還與有效質(zhì)量有關(guān)，有效質(zhì)量還與有效質(zhì)量有關(guān)，有效質(zhì)量大的能帶中的狀態(tài)密度大。大的能帶中的狀態(tài)密度大。同理可得價帶頂附近的相應公式同理可得價帶頂附近的相應公式2222*( )2xyzvphkkkE kEm3/2*1/232( )4pvvmgEEEh狀態(tài)密度與能量關(guān)系狀態(tài)密度與能量關(guān)系狀態(tài)密度特征狀態(tài)密度特征n狀態(tài)密度同時是體積密度和能量密度狀態(tài)密度同時是體積密度和能量密度n實際半導體中，由于有效質(zhì)量可能有方向性，等實際半導體中，由于有效質(zhì)量可能有方向性，等能面不為球面，則有效質(zhì)量采用平均的有效質(zhì)量能面不為球面，則有效質(zhì)量采用平均的有效質(zhì)量來計算，稱為來計算，稱為狀態(tài)密度

8、有效質(zhì)量狀態(tài)密度有效質(zhì)量n等能面不是球面（是？），各向異性的有效質(zhì)量等能面不是球面（是？），各向異性的有效質(zhì)量mnn導帶底極值不在導帶底極值不在K=0處，而且有多個對稱的導帶底狀態(tài)處，而且有多個對稱的導帶底狀態(tài)實際的硅、鍺半導體導帶底狀態(tài)密度實際的硅、鍺半導體導帶底狀態(tài)密度由硅，鍺導帶底由硅，鍺導帶底E(K)-KE(K)-K關(guān)系：關(guān)系：2222312( )2ctlkkkhE kEmm3/2*1/232( )4nccmgEEEh1/3*2/32ndnltmmsm m可得導帶底狀態(tài)密度為：可得導帶底狀態(tài)密度為：mdn為導帶底為導帶底電電子狀態(tài)密度有效子狀態(tài)密度有效質(zhì)量質(zhì)量S為對稱的導為對稱的導帶底

9、狀態(tài)數(shù)，帶底狀態(tài)數(shù)，si為為6，ge為為4能帶特點能帶特點2 狀態(tài)密度（單位能量的量子態(tài)數(shù)）狀態(tài)密度（單位能量的量子態(tài)數(shù)）n起作用的能帶是極值相重合的兩個能帶，分別對應輕起作用的能帶是極值相重合的兩個能帶，分別對應輕空穴和重空穴空穴和重空穴n極值在極值在K=0處，等能面為球形。處，等能面為球形。實際的硅、鍺半導體價帶頂狀態(tài)密度實際的硅、鍺半導體價帶頂狀態(tài)密度由球形等能面狀態(tài)密度：由球形等能面狀態(tài)密度：可得價帶定狀態(tài)密度為：可得價帶定狀態(tài)密度為：mdp為價帶頂為價帶頂空穴狀空穴狀態(tài)密度有效質(zhì)量態(tài)密度有效質(zhì)量3/2*1/232( )4pvvmgEEEh*1/23/22*3/21/21/23/223

10、2()( )( )( )4 ()2()(2)4 ()4phvvhvlVpldpVVmg EgEg EEEhmmEEEEhh3/22/ 3*2/ 3*)()(lphpdpmmm能帶特點能帶特點1( )( )VVEVEpf EgE dE( )( )ccEcEnf E gE dE3.5 統(tǒng)計力學統(tǒng)計力學 費米費米-狄拉克概率分布函數(shù)狄拉克概率分布函數(shù)n從微觀上講，每個電子所具有的能量時大時小，但從宏觀從微觀上講，每個電子所具有的能量時大時小，但從宏觀上看，在熱平衡狀態(tài)下，多個電子按能量大小具有一定的上看，在熱平衡狀態(tài)下，多個電子按能量大小具有一定的統(tǒng)計分布規(guī)律性統(tǒng)計分布規(guī)律性n根據(jù)量子統(tǒng)計理論，晶體

11、中的電子服從泡利不相容原理根據(jù)量子統(tǒng)計理論，晶體中的電子服從泡利不相容原理（每個量子態(tài)只允許存在一個微觀粒子），遵循（每個量子態(tài)只允許存在一個微觀粒子），遵循費米費米-狄狄拉克統(tǒng)計規(guī)律拉克統(tǒng)計規(guī)律，為：，為：01( )1exp()Ff EEEk T fF(E)就稱作費米狄拉克統(tǒng)計分布函數(shù)，簡稱費就稱作費米狄拉克統(tǒng)計分布函數(shù)，簡稱費米分布，它反映的是能量為米分布，它反映的是能量為E的一個量子態(tài)被一個電子的一個量子態(tài)被一個電子占據(jù)的幾率。而占據(jù)的幾率。而EF則稱為費米能級。則稱為費米能級。1 費米分布函數(shù)費米分布函數(shù)n費米（費米（Fermi）能級是費米分布函數(shù)的重要參數(shù)，確定了）能級是費米分布函數(shù)

12、的重要參數(shù)，確定了費米能級即可確定電子在各個能態(tài)的分布幾率，它與溫度，費米能級即可確定電子在各個能態(tài)的分布幾率，它與溫度，半導體材料類型等有關(guān)。半導體材料類型等有關(guān)。n費米能級就是系統(tǒng)的化學勢，費米能級就是系統(tǒng)的化學勢，處于熱平衡的系統(tǒng)具有統(tǒng)一處于熱平衡的系統(tǒng)具有統(tǒng)一的化學勢，也即具有統(tǒng)一的費米能級的化學勢，也即具有統(tǒng)一的費米能級。電子的費米分布函數(shù)：電子的費米分布函數(shù)：01( )1exp()Ff EEEk T0kT為玻爾茲曼常數(shù)為玻爾茲曼常數(shù)為絕對溫度為絕對溫度FE為費米能級為費米能級1 費米分布函數(shù)費米分布函數(shù)討論不同溫度下的費米分布函數(shù)特性討論不同溫度下的費米分布函數(shù)特性T=0K 時：時

13、：:( )1:( )0FFEEf EEEf E 比費米能級高的能級上沒有電子，費比費米能級高的能級上沒有電子，費米能級低的能級上有電子。絕對零度時費米能級低的能級上有電子。絕對零度時費米能級可看作量子態(tài)是否被電子占據(jù)的能米能級可看作量子態(tài)是否被電子占據(jù)的能量界限量界限1 費米分布函數(shù)費米分布函數(shù)nT0K 時：時：:( )1/2:( )1/2:( )1/2FFFEEf EEEf EEEf E 例如：當能量比費米能級高或低例如：當能量比費米能級高或低 時時：05k T005:( )0.0075:( )0.993FFEEk Tf EEEk Tf E n可見一般溫度情況下：可見一般溫度情況下：n費米能

14、級以上的量子態(tài)基本是空的，費米能級以下的量子態(tài)基本費米能級以上的量子態(tài)基本是空的，費米能級以下的量子態(tài)基本被電子所占據(jù)。而費米能級處的幾率總是被電子所占據(jù)。而費米能級處的幾率總是1/2n此外，隨著溫度升高，電子占據(jù)高能態(tài)的幾率增加，而占據(jù)低能此外，隨著溫度升高，電子占據(jù)高能態(tài)的幾率增加，而占據(jù)低能態(tài)的幾率下降態(tài)的幾率下降1 費米分布函數(shù)費米分布函數(shù)n費米能級費米能級EF的意義：的意義：nEF 的位置比較直觀地反映了電子占據(jù)量子態(tài)的情況。的位置比較直觀地反映了電子占據(jù)量子態(tài)的情況。即標志了電子填充能級的水平。即標志了電子填充能級的水平。一般溫度下費米能級一般溫度下費米能級以上的量子態(tài)基本是空的，

15、而費米能級以下的量子態(tài)以上的量子態(tài)基本是空的，而費米能級以下的量子態(tài)基本被電子所占據(jù)基本被電子所占據(jù)nEF 越高，說明有較多的能量較高的量子態(tài)上有電子占越高，說明有較多的能量較高的量子態(tài)上有電子占據(jù)據(jù)。 考慮量子態(tài)密度考慮量子態(tài)密度g(E)g(E)是能是能量量E E的連續(xù)函數(shù)，如左圖中的的連續(xù)函數(shù)，如左圖中的曲線所示，假設系統(tǒng)中的電曲線所示，假設系統(tǒng)中的電子總數(shù)為子總數(shù)為N N0 0，在，在T=0KT=0K時，電時，電子在這些量子態(tài)上的分布情子在這些量子態(tài)上的分布情況如圖中虛線所示。電子首況如圖中虛線所示。電子首先從低能級開始往上填充，先從低能級開始往上填充，最后使得費米能級最后使得費米能級E

16、 EF F以下的以下的能級全部填滿，而能級全部填滿，而E EF F以上的以上的能級全部為空。只要已知能級全部為空。只要已知g(E)g(E)和和N N0 0 ，則可以很方便地確定，則可以很方便地確定費米能級費米能級E EF F。2 費米費米-狄拉克分布的玻爾茲曼近似狄拉克分布的玻爾茲曼近似0FEEk T0exp()1FEEk T001 exp()exp()FFEEEEk Tk T0( )( )exp()exp()exp()FFFBEEEEfEfEk TkTkT所以：所以：令：令：exp()FEAkT當當時時則：則：( )BfE稱為電子的玻爾茲曼分布函數(shù)稱為電子的玻爾茲曼分布函數(shù)( )exp()B

17、EfEAkT2 玻爾茲曼分布函數(shù)玻爾茲曼分布函數(shù)()(FiiEE E本征為禁帶中心能級）1.12gEev0.56cFciEEEEevn 所以，導帶底電子滿足玻爾茲曼統(tǒng)計規(guī)律。所以，導帶底電子滿足玻爾茲曼統(tǒng)計規(guī)律。在室溫時在室溫時對本征硅：對本征硅：0.026kTeV0.560.026cFEEeVeV量子態(tài)被空穴占據(jù)幾率量子態(tài)被空穴占據(jù)幾率011( )1 exp()Ff EEEk T上式為空穴的玻爾茲曼分布函數(shù)，其中：上式為空穴的玻爾茲曼分布函數(shù)，其中： 0FEk TBe當當 時時0FEEk T01( )exp()exp()FEEEf EBk TkT( )f E1( )f E 表示能量為表示能量

18、為E E 的量子態(tài)被電子占據(jù)的幾率，的量子態(tài)被電子占據(jù)的幾率，所以所以 就是能量為就是能量為E E的量子態(tài)被空穴占據(jù)的幾的量子態(tài)被空穴占據(jù)的幾率率: :量子態(tài)被空穴占據(jù)幾率量子態(tài)被空穴占據(jù)幾率n能量能量E增加，空穴的占有幾率增加。增加，空穴的占有幾率增加。n費米能級費米能級EF增加，空穴占有幾率下降，電子填充水平增加。增加，空穴占有幾率下降，電子填充水平增加。n電子和空穴的分布幾率相對費米能級是對稱的電子和空穴的分布幾率相對費米能級是對稱的簡并與非簡并半導體簡并與非簡并半導體n因?qū)е械碾娮又饕植荚趯У祝瑑r帶中的空穴主要分布在價帶頂因?qū)е械碾娮又饕植荚趯У祝瑑r帶中的空穴主要分布在價帶頂在半導體中，最常見的是費米能級位于禁帶內(nèi)，且滿足在半導體中，最常見的是費米能級位于禁帶內(nèi)，且滿足EcEvEF0FvEEk T0cFEEk T服從玻爾茲曼分布的電子系統(tǒng)稱為非簡并系統(tǒng)，相服從玻爾茲曼分布的電子系統(tǒng)稱為非簡并系統(tǒng)，相應的半導體稱為應的半導體稱為非簡并半導體非簡并半導體；n所以導帶中的