1、1.隨機事件在現實世界中是廣泛存在的， 要注意結合生活實例，分析何為必 然事件、不可能事件和隨機事件，要充分理解概率的意義，并學會解釋生活中的 一些常見的概率問題，把自己所學的概率知識應用到實際生活中去.(1)對隨機事件的理解應包括的兩個方面隨機事件是指一定條件下出現的某種結果，即隨著條件的改變其結果也會 不同，因此必須強調同一事件在相同的條件下進行研究；隨機事件在一次試驗 中是否發生是不確定的，但在大量重復試驗中，隨機事件的發生是有規律的.(2)頻率與概率的聯系與區別隨機事件的頻率，是指事件發生的次數與試驗總次數的比值.它具有一定的 穩定性，總在某個常數附近擺動，但隨著試驗次數的不斷增加，擺

2、動幅度越來越 小，這時就把這個常數叫作這個事件的概率. 概率可看作頻率在理論上的期望值， 它從數量上反映了隨機事件發生的可能性的大小.在大量重復試驗的前提下，可 以用頻率來估計這個事件的概率.(3)要辯證地看待“隨機事件” “不可能事件” “必然事件”. 一個隨機事件 的發生，既有隨機性(對某次試驗來說)，又存在著統計規律性(對大量重復試驗來 說)，這是偶然性與必然性的對立統一.(4)對概率的統計定義應注意的幾點求一個事件的概率的基本方法是通過大量的重復試驗進行估計；只有當 頻率在某個常數附近擺動時，這個常數才叫作事件的概率；概率是頻率的穩定值，而頻率是概率的近似值；概率反映了隨機事件發生的可

3、能性的大小.(5)互斥事件與對立事件的區別與聯系互斥事件是不可能同時發生的兩個事件；對立事件除要求這兩個事件不能同 時發生外，還要求二者必須有一個發生.因此對立事件一定是互斥事件，但互斥 事件不一定是對立事件，對立事件是互斥事件的特殊情況.2 .應用互斥事件的概率的加法公式時， 要注意首先確定諸事件彼此互斥， 然 后分別求出各事件發生的概率，再求和.求復雜事件的概率通常有兩種方法：一 是將所求事件轉化成彼此互斥的事件的和；二是先求其對立事件的概率，然后再應用公式P(A)=1 P(A)求解.3 .對于古典概型概率的計算，關鍵是分清樣本點總數n與事件中包含的樣本 k點數m,有時需用列舉法把樣本點一

4、一列舉出來，再利用公式P(A)=S求出事件的概率.這是一個形象、直觀的好方法，但列舉時必須做到不重復、不遺漏.4 .利用相互獨立事件的定義(即P(AB) = P(A)P(B)可以判定兩個事件是否相 互獨立，這是用定量方法進行分析的定量計算，可以較為準確、果斷地判斷兩個 事件是否相互獨立.因此我們必須熟練掌握這種方法，但需要注意的是互斥事件 與相互獨立事件之間有一定的關系，也就是若兩個事件相互獨立，則一定不能互 斥(對立)；反之,若兩個事件互斥(對立)，則不能相互獨立.5 .本章用到較多的是化歸思想，而化歸思想是數學中最基本的思想方法之一， 在數學研究和學習中有著廣泛的應用，化歸的核心是把一個生

5、疏復雜的問題轉化 為熟悉的問題.一事件間的運算事件間的運算包含互斥事件的概率加法、對立事件的概率加法，要時刻結合 Venn圖用集合的思想理解.其中不能同時發生的是互斥事件，反映在集合上就是 兩事件的交集為空.在互斥的基礎上必有一個發生的是對立事件，互為對立的兩 個事件概率之和為1.分類討論思想是解決互斥事件有一個發生的概率的關鍵.其中互斥事件的概率加法公式可以推廣到有限個事件，即如果事件Ai,A2,，An是兩兩互斥關系,則 P(AiU A2U - U An)=P(Ai) + P(A2)+ - + P(An)._i-1 火車站典例1如圖，A地到火車站共有兩條路徑Li和L2,現隨機抽取100位從A

6、 地到達火車站的人進行調查，調查結果如下：所用時間(分鐘)i02020 3030 4040 5050 60選才? Li的人數6i2i8i2i2選;f¥ L2的人數04i6i64(1)分別求通過路徑Li和L2所用時間落在上表中各時間段內的頻率；(2)現甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時間用于趕往火車站，為了盡最大 可能在允許的時間內趕到火車站，試通過計算說明，他們應如何選擇各自的路徑.解(1)選才¥ Li的有60人，選擇L2的有40人，故由調查結果得頻率為：所用時間(分鐘)i0 2020 3030 4040 5050 60Li的頻率0.i0.20.30.20.2L2的頻率0

7、0.i0.40.40.i(2)設Ai, A2分別表示甲選擇Li和L2時，在40分鐘內趕到火車站；81, B2分別表示乙選擇Li和L2時，在50分鐘內趕到火車站.由(1),知 P(Ai)=0.I + 0.2+ 0.3= 0.6,P(A2) = 0.I+0.4= 0.5,因為P(Ai)>P(A2),所以甲應選擇路徑Li;P(Bi) = 0.i+ 0.2+ 0.3+ 0.2= 0.8,P(B2) = 0.i+0.4+ 0.4= 0.9,因為P(B2)>P(Bi),所以乙應選擇路徑L2.古典概型古典概型是一種最基本的概型，也是學習其他概率的基礎.在高考題中，經 常出現此種概型的題目.用古典

8、概型計算概率時，一定要驗證所構造的基本事件 是否是等可能的，同時要弄清事件 A所包含的等可能出現的結果(基本事件)的個 數.典例2在人流量較大的街道，有一中年人吆喝“送錢”，只見他手拿一黑 色小布袋，袋中有3個黃色、3個白色的乒乓球(各球的體積、質地完全相同)，旁 邊立著一塊小黑板寫著摸球方法：從袋中隨機摸出 3個球，若摸得同一顏色的3 個球，攤主送給摸球者5元錢；若摸得非同一顏色的3個球，摸球者付給攤主i 元錢.(1)求摸出的3個球都為白球的概率；(2)求摸出的3個球為2個黃球1個白球的概率；(3)假定一天中有100人參與摸球游戲，試從概率的角度估算一下這個攤主一 個月(按30天計)能賺多少

9、錢.解 把3個黃色乒乓球分別標記為 A, B, C,3個白色乒乓球分別標記為1,2,3. 從6個球中隨機摸出3個球的樣本空間 Q= ABC, AB1, AB2, AB3, AC1, AC2, AC3, BC1, BC2, BC3, A12, A13, A23, B12, B13, B23, C12, C13, C23,123, 共20個樣本點,這20個樣本點發生的可能性是相等的.(1)設事件E= 摸出的3個球都為白球,則事件E包含的樣本點有1個，即1摸出 123,則 P(E)= 0.05.(2)設事件F = 摸出的3個球為2個黃球1個白球,則事件F包含的樣本點有 9 個，P(F)=20=0.4

10、5.(3)設事件G = 摸出的3個球為同一顏色 =摸出的3個球都為白球或摸出 2的3個球都為黃球,則事件G包含的樣本點有2個，故P(G) = 3= 0.1.假定一天中有100人參與摸球游戲，由摸出的3個球為同一顏色的概率可估 計事件“攤主送給摸球者5元錢”發生10次，事件“摸球者付給攤主1元錢”發 生90次，故可估計該攤主一天可賺 90 X 1 10X5 = 40(元)，每月可賺1200元.金版點睛(1)解決古典概型的關鍵問題是分析樣本點總數和某事件所包含的樣本點數， 通常用列舉法或樹狀圖表達.(2)當含有“至多” “至少” “不含”等詞語時，從正面突破比較困難時，可 以考慮反面，即對立事件.

11、 I -一事件的相互獨立性判斷事件是否相互獨立的方法有：(1)定義法：事件A, B相互獨立？ P(AB)=P(A) P(B).(2)直接法：由事件本身的性質直接判定兩個事件發生是否相互影響.典例3某項選拔共有四輪考核，每輪設有一個問題，能正確回答者進入下 一輪考核，否則即被淘汰.已知某選手能正確回答第一、二、三、四輪的問題的 概率分別為0.6,0.4,0.5,02已知各輪問題能否正確回答互不影響.(1)求該選手被淘汰的概率；(2)求該選手在選拔中至少回答了2個問題后最終被淘汰的概率.解 設“該選手能正確回答第i輪的問題”為事件Ai(i=1,2,3,4),則P(Ai) = 0.6, P(A2)

12、= 0.4, P(A3) = 0.5, P(A4)=02(1)解法一：該選手被淘汰的概率為P = P( A i U Ai A 2 U A1A2 A 3 U AiA2A3 A 4) = P( A i) + P(Ai)P( A 2) 十 P(Ai)P(A2)P( A 3) + P(Ai)P(A2) P(A3)P( A 4) = 0.4 + 0.6X0.6 + 0.6X 0.4X 0.5 + 0.6X 0.4X0.5X0.8 = 0.976.解法二：P = i P(AiA2A3A4) = i P(Ai)P(A2) P(A3)P(A4) = i 0.6X 0.4 義 0.5X 0.2= i 0.024

13、= 0.976.(2)解法一：所求概率 P=P(AiA2UAiA2A3UAiA2A3A4) = P(Ai)P(A2) 十 P(Ai)P(A2)P( A 3) + P(Ai)P(A2)P(A3)P( A 4) = 0.6X0.6 + 0.6X0.4X0.5 + 0.6X 0.4X0.5X0.8 = 0.576.解法二：所求概率 P = i P( A i) P(AiA2A3A4) = i (i 0.6) 0.6X 0.4X0.5X0.2 = 0.576.四頻率與概率依據概率的定義，可以用事件發生的頻率去估計概率.nA頻率的計算公式為fn(A)=1,其中nA是事件A出現的頻數，n為重復試驗次 數.典

14、例4下表分別表示從甲、乙兩廠隨機抽取的某批乒乓球的質量檢查情 況.甲廠抽取的乒乓球的質量檢查情況抽取球數n50i00200500i0002000優等品數m4592i94470954i902優等品頻率m乙廠抽取的乒乓球的質量檢查情況抽取球數n7013031070015002000優等品數m6011628263913391806優等品頻率m(1)分別計算兩個表中乒乓球優等品的頻率(結果保留到小數點后第三位)；(2)從甲、乙兩廠分別抽取一個乒乓球，質檢結果為優等品的概率分別是多 少？(3)若甲、乙兩廠的乒乓球價格相同，你打算從哪個廠家購貨？解 (1)表中甲廠優等品的頻率依次為 0.900,0.920,0.970,0.940,0.954,0.951表 中乙廠優等品的頻率依次為 0.857,0.892,0.910,