1、2020年普通高等學校招生全國統一考試模擬試題文科數學(n)第I卷(共60分)、選擇題：本大題共 12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1 .設集合 x|-2 < x < 3,x E Z, B =則集合 A n 8為()A.：二 】1 B. :C.：D.上，L。二一3,【答案】B【解析】由題意可得：A = -L0.L2| ,則集合A n B為 - L0,2|.本題選擇B選項.2 .若復數 Z = X + Vi (x, V w R)滿足 1(1 + Z)i = 3-i,則x + y的值為()A.二，B. C. 二 D.【答案】C【解析】

2、由題意可得：1(1 4- X + vi)i = -V+(1 +幻i = 3-i，則:Qn：己，解得：；;二孑，則X + V = -5.本題選擇C選項.3 .若8Hs +9= ；，口 W (。原 則sina的值為(【答案】A【解析】由題意可得:A、B.$D. f口 + ； E 幣,，Sin(a + ) = Jl-cos% + )=結合兩角和差正余弦公式有:sina = 5in(a + 力-= sin(a +：)cccos(i + 力新口； =.本題選擇A選項.4 .拋擲一枚質地均勻的骰子兩次，記事件 A = 兩次的點數均為偶數且點數之差的絕對值為2,則 P(A)=()1145A.E B. - C

3、. -D.29399【答案】A【解析】連續兩次拋擲一枚骰子，記錄向上的點數，基本事件總數 n=6X 6=36,兩次的點數均為偶數且點數之差的絕對值為2包含的基本事件有：(2,4),(4,2), (4,6),(6,4),共有4個，.兩次的點數均為偶數且點數之差的絕對值為2的概率：41P =五=§ -本題選擇B選項.點睛：有關古典概型的概率問題，關鍵是正確求出基本事件總數和所求事件包含的基本事件數.(1)基本事件總數較少時，用列舉法把所有基本事件一一列出時，要做到不重復、不遺漏，可借助“樹狀圖”列舉.(2)注意區分排列與組合，以及計數原理的正確使用5 .定義平面上兩條相交直線的夾角為：兩

4、條相交直線交成的不超過 90的正角.已知雙曲線E ：今4> 0),當其離心率e W 立,2時，對應雙曲線的漸近線的夾角的取值范a" b"圍為()A. o.1 B.篇C.毫】d.【瑞i【答案】D【解析】由題意可得：e2 = = l + e 2,4, /.%E 1,3, a'a'a'設雙曲線的漸近線與|x軸的夾角為 ,雙曲線的漸近線為y = ± ，則6 E ,結合題意相交直線夾角的定義可得雙曲線的漸近線的夾角的取值范圍為.本題選擇D選項.6 .某幾何體的三視圖如圖所示，若該幾何體的體積為3n+ 2,則它的表面積是()A. （喈+ 3）n

5、+ 22 + 2B.4- 22 + 2TT + V22【解析】由三視圖可知，該幾何體是由四分之三圓錐和一個三棱錐組成的組合體，其中:w 3 i 2 _ 3 212,11Vga= 4 x i x na x 3 =8速=產 x 3 x 三=產由題意:,據此可知:3 212_4na + 產=311+2. a5強=2an x；十;x?x2 = 3n + 2 ,它的表面積是 + 3）n + 22 + 2本題選擇A選項.點睛：三視圖的長度特征：“長對正、寬相等，高平齊”，即正視圖和側視圖一樣高、正視 圖和俯視圖一樣長，側視圖和俯視圖一樣寬.若相鄰兩物體的表面相交，表面的交線是它們 的分界線，在三視圖中，要

6、注意實、虛線的畫法.正方體與球各自的三視圖相同，但圓錐的不同.7.函數y = sinx + ln|x|在區間-3,3的圖象大致為（A.C.B.D.【答案】A【解析】由題意 f(-x) = sin(-x) + ln|-x| = -sinx + Mbdl ,則可_乂)工f(x)且f( x) h -f(x),函數為非奇非偶函數，選項 c,d錯誤；當時，sinx-*。,in|x|ts ,則函數值yT一舊,排除選項B.本題選擇A選項.8.已知函數f(x) = 2k-3十3三'若f佛f)=一事則日為()三一日 fx > 2(a E R.a h 0),A. 1 B. . C. g D. 【答案

7、】D【解析】由題意可得：f(3) = 2-1 = 1 抑 = f(l) = 4 + =梟 = f(|) =一/解得：.本題選擇D選項.9.執行下圖的程序框圖，若輸入的 x, V，n的值分別為0, 1, 1,則輸出的口的值為()【答案】C【解析】依據流程圖運行程序，首先初始化數值，x=0,y=1,n=1 ,進入循環體：x=ny=1, y=v =1，時滿足條件 y2>x ,執行n=n+1=2 ,進入第二次循環，x=ny=2, y= J =；,時滿足條件 y2>x,執行n=n+1=3 ,進入第三次循環，x=ny=2, yRn = £,時不滿足條件 y2> x ,輸出p =

8、 盯=號.10.已知數列|品是首項為1,公差為2的等差數列，數列|與滿足關系晟+，=工，數列bQ的前n項和為工，則5的值為()A. 一454 B. | ：，。| C.D. -4"，【答案】B,據此可得:I"【解析】由題意可得：an = aj + (n-l)d = 2n-l,且:h =/ 2m = 1。-2n(2n-L),n > 2本題選擇B選項.點睛：數列的遞推關系是給出數列的一種方法，根據給出的初始值和遞推關系可以依次寫出 這個數列的各項，由遞推關系求數列的通項公式，常用的方法有：求出數列的前幾項，再 歸納猜想出數列的一個通項公式；將已知遞推關系式整理、變形，變成等

9、差、等比數列， 或用累加法、累乘法、迭代法求通項.11 .若函數= m|nx +(在區間(。，+ g)內單調遞增，則實數|m的取值范圍為( )AB. ：。*| C. : .J ：.由，+ " D.:勺。；U 澤，+ 工)【答案】A【解析】很明顯|m > 0,且= 7 + 2x-m - 0恒成立，即：m < + 2x. m s (7 + 2x) I x其 mm由均值不等式的結論：+ 2x > 242m,據此有：m* w 8m，解得：0三m三2本題選擇A選項.12 .已知函數f(x) = Asin(cjx +A a。,3 n OJ<pl <京 6 R)的圖象

10、如圖所示，令qg=f(x) + f(x),則下列關于函數 陋幻的說法中不正確的是()A.函數g(x)圖象的對稱軸方程為x = kn-(k £ Z)B.函數g(x)的最大值為2V2C.函數自儀)的圖象上存在點P,使得在P點處的切線與直線Lv = 3x-1平行D.方程q(x) = 2的兩個不同的解分別為勺，則|x1-Xal的最小值為:【答案】C【解析】由函數的最值可得 A = 2，函數的周期T = 4 M (y-j) = 2n = t = l，當x =1時,wk 十(p = 1 4 + 中=2kn 十全，中=2kn + g(k £ Z),令k = 0可得甲=孑，函數的解析式f(

11、x) = 2sin(x + ).則：g(x) = f(x) +r(x) n=2sin(x + ：) + 2cos(x + 勺=2/2sin(x + g +=2%5sin(x + 9結合函數的解析式有g'(x) = 2/2cos(x +工)E 1-2也2a1，而3電，選項C錯誤，依據三角函數的性質考查其余選項正確本題選擇C選項.第n卷(共90分)二、填空題(每題 5分，滿分20分，將答案填在答題紙上)13 .向量& - (m,n) b = (一1,2)，若向量苫，石共線，且而| = 2|己|，則mn的值為【答案】-8【解析】由題意可得： a = 2b = (-2.4)或占=-2b

12、 = (2-4),則：mn = (-2) x 4 = -8 或mn = 2 x (-4) = -8 .14 .已知點A(-LO)，IB(LO),若圓/+f_8x_ 6y + 25-m =。上存在點P使云而=0,則m的最小值為.【答案】16【解析】圓的方程即：(.4尸+ (v- 二m,設圓上的點P的坐標為P(2 + v'rncos9*3 + vmsine),貝U：PA = (-5-*mc0S&-3-1.rnsing)rPB = (-3-«mcos&-,計算可得：AX * 市=(24 + m)十 10vmsin(G + 9): 0,sin9十中)=一：；：由正弦函

13、數的性質有： 一1 £ 一宏章三1，求解關于實數 m的不等式可得：16工m弓36，則m的最小值為16.點睛：計算數量積的三種方法：定義、坐標運算、數量積的幾何意義，要靈活選用，和圖形有關的不要忽略數量積幾何意義的應用.»一“ 2x + y4 < 0, r ，15 .設x, v滿足約束條件 V + 2±d 則3克+ 2y的取大值為- y-1 > 0,【答案】y【解析】繪制不等式組表示的平面區域，結合目標函數的幾何意義可得目標函數 z = 3x + 2V在點Cf|$處取得最大值b=3 x| + 2x| = y.16 .在平面五邊形 ABCDE中，已知 &#

14、163;A = 120", £B = 90°, ZC = 120% ZE = 90° ,AB = 3, AE = 3,當五邊形ABCDE的面積與£ 6后,9幣時，則BC的取值范圍為【答案】.二【解析】由題意可設：|BC = DE = a，則：Sabcde = |x9xy + |xyax (3'3 +ya-ya； £ 6j'333),則：當合二3百時，面積由最大值9；當a=v13時，面積由最大值;結合二次函數的性質可得：BC的取值范圍為;333).三、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步

15、驟.)17 .在 ARC中,角A, B, C所對的邊分別為a, b, c,且8s-8£c =sin A-V3sinAsinB.(1)求角c；(2)若2A = ：，1 ABC的面積為45 M為AB的中點，求CM的長.【答案】(1) £C = ：(2) CM = 27.【解析】試題分析：(1)利用題意結合余弦定理首先求得 cose =里.則上C =斗26(2)利用題意首先求得 a=4,然后結合余弦定理可得 CM = 2xi7試題解析：(1)由 cosiB - cosiC = sin'A - v13sinAsinB,得sin2c - sin2B sin2A - '

16、3sinAsir)B.由正弦定理，得c3 _ b2 = a° -13的，即c? = a2 + bz - v3ab又由余弦定理，得 8SC =-lab因為0 < LC v H,所以£C = I(2)因為 LK= LQ = I，所以ABC為等腰三角形，且頂角 故5 由 abc . ：a'sin8 =性L = 4V3,所以己=4.在AMBC中，由余弦定理，得CM2 = MB2 + BC2 - 2MB - BCcosB = 4 + 16 + 2x 2 x 4 x = 28解得 _r-. .18.如圖所示的幾何體|pARCD中，四邊形ABC口為菱形，憶ABC = 120

17、*，AB =8，PB =后a，PB _L AB，平面ABCD_L 平面PAB，AC n BD = 0，E為PD的中點，G 為平面PAB 內任一點.(1)在平面PAB內，過G點是否存在直線使0E | I?如果不存在，請說明理由，如果存在， 請說明作法；(2)過A, C, E三點的平面將幾何體IP-AECD截去三棱錐D-AEC,求剩余幾何體AECBP的 體積.【答案】(1)見解析；：廣【解析】試題分析：(1)利用線面平行的判斷定理結合題意可知點G存在；(2)利用題意將所要求解的多面體的體積進行分解可得幾何體AECBP的體積V = Vp, ABCD- V胃里.EAC =產'.試題解析：(1)

18、過G點存在直線使0E | I,理由如下：由題可知。為RD的中點，又E為PD的中點，所以在 PBD中，有0E | PB.若點G在直線PB上，則直線PB即為所求作直線，所以有OE | I；若點G不在直線PB上，在平面PAB內，過點G作直線，使I | PB,又0E | PB,所以 0E | I,即過G點存在直線使0E | I.(2)連接EA, EC,則平面ACE將幾何體分成兩部分：三棱錐D - AEC與幾何體AECBP (如圖所示).因為平面ABC口 _L平面PAB,且交線為 AB,又 PB _L AB,所以 PB _1_ 平面 A BCD.故PB為幾何體|p - AB CD的高.又四邊形 ABCD

19、為菱形，|£ABC = 120', AB = a, PB = v'3a,所以 5瞰fcac口 = 2 x,_ S , 二一二. - Ya -.又°E | ?PB,所以 oe j_ 平面ACD,士般-ACD =盧 a A8 ' E。=所以幾何體AECRP的體積V二Vp , ABC口 一 . EAC=-=艮'19 .某校為緩解高三學生的高考壓力，經常舉行一些心理素質綜合能力訓練活動，經過一段時間的訓練后從該年級 800名學生中隨機抽取100名學生進行測試，并將其成績分為A、B、C、D、|E五個等級，統計數據如圖所示(視頻率為概率)，根據圖中抽樣調

20、查的數據，回答下列問題：(1)試估算該校高三年級學生獲得成績為B的人數；(2)若等級A、B、C、口、E分另灰應100分、90分、80分、70分、60分，學校要求當學生獲得的等級成績白平均分大于90分時，高三學生的考前心理穩定，整體過關，請問該校高三年級目前學生的考前心理穩定情況是否整體過關？(3)以每個學生的心理都培養成為健康狀態為目標，學校決定對成績等級為E的16名學生(其4人中任意抽取中男生4人，女生12人)進行特殊的一對一幫扶培訓，從按分層抽樣抽取的2名，求恰好抽到1名男生的概率.【答案】(1) 448.見解析；(3) p =：【解析】試題分析：(1)利用題意首先求得該校學生獲得成績等級

21、為B的概率，然后求解人數約為 448人；(2)利用平均分是數值可得該校高三年級目前學生的“考前心理穩定整體”已過關(3)利用分層抽樣的結論結合古典概型公式可得恰好抽到1名男生的概率為.試題解析：(1)從條形圖中可知這 100人中，有56名學生成績等級為B ,故可以估計該校學生獲得成績等級為B的概率為=費，則該校高三年級學生獲得成績等級為B的人數約有R00 K H = 448.(2)這100名學生成績的平均分為圭(32 x 100 + 56 x 90 + 7 x X0 + 3 乂 70 + 2 X 6。)= 913 (分)，因為91.3 > 90,所以該校高三年級目前學生的“考前心理穩定整

22、體”已過關 (3)按分層抽樣抽取的 4人中有1名男生，3名女生，記男生為a, 3名女生分別為bi，bz， %.從中抽取2人的所有情況為abj, ab2, ab, bjb3,與同，b2b3 ,共6種情況，其中恰 好抽到1名男生的有abj, ab2, |ab3,共3種情況，故所求概率P =，點睛：兩個防范 一是在頻率分布直方圖中，小矩形的高表示頻率 /組距，而不是頻率；二是利用頻率分布直方圖求眾數、中位數和平均數時，應注意三點：最高的小長方形底邊中點 的橫坐標即是眾數；中位數左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的；平均數是頻率分 布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形

23、底邊中點的 橫坐標之和.20 .已知橢圓C： +彳=1值A b A 0)的離心率為F ,且過點P像坐,動直線：y = kx + m交橢圓C于不同的兩點A, B,且6A - OB = 0 (。為坐標原點)(1)求橢圓C的方程.(2)討論3rr?-21是否為定值.若為定值，求出該定值，若不是，請說明理由【答案】(1) 9 + / = 1. (2) 30?-獷=>【解析】試題分析:(1)由題意求得t/ = 1，.2 = 2,故所求的橢圓方程為(2)聯立直線與橢圓的方程，利用根與系數的關系結合題意可證得3m2 _ 2k* = 2為定值.試題解析:(1)由題意可知：=所以a2 = 2c* = 2(

24、a' .的，即J = 2b2，又點pg當在橢圓上，所以有 2W = 1,由聯立，解得居=1，1=2，故所求的橢圓方程為，+ / = 】.(2)設A%M)田(乂2必)，由3 06 = 0，可知 ， ：，.y = kx + m.聯立方程組( 12三十V = L消去V化簡整理得(1 + 2kM + 4kmx + 2m? - 2 = 0,由A = 16k；m2- 8(m2 -1)(1 , 2k3) a 0，得1 4 2k2 > m?.所以X1+ x2 = -£ n又由題知工1+ y1y2 = 0,即丐+ (工叼+ m)(kxz + m = 0,整理為(1 +)八乂2 + km(

25、Xi + x2) + m3 = 0.將代入上式，得 (1 +e -? = km ' 4" + m2 = 01 + Zk1 + 2k'2.5化簡整理得3E ?廣=0,從而得到3m2 .2 = 2.1 + 2k'如 設函數f(x = -321nx + x2-ax (a £ H).(1)試討論函數f(x)的單調性；(2)如果a > 0且關于x的方程f(x) = m有兩解x?(叼 < 丐)，證明+勺> 2a.【答案】(1)見解析；(2)見解析.【解析】試題分析：(1)求解函數的導函數，分類討論可得:若3> 0，則當工E (0聲)時，數

26、f(x)單調遞減，當工£ a + r)時，函數網如單調遞增；若占二0,函數千(刈單調遞增；若a < 0,則當X G 0, T時，函數f(x)單調遞減，當x £ (一a+ B)時，函數f(x)單調遞 增.(2)原問題即證明"產- a己，構造新函數|g(xJ =九箕)=_己、+本一之，結合新函數的性質 和題意即可證得結論.試題解析：2&2x- - ax - a* (2x + a)(x - a)X = X(1)由小)=-3力口工+ V -曰工，可知f (x>=' + 2x = a=因為函數f(x)的定義域為1(0, + B),所以，若曰>

27、; o,則當只e(04)時，在對< o,函數式,)單調遞減，當x e a十時，f g >。, 函數f(x)單調遞增；若曰=0,則當f'(x) = 2x> 0在XE (0, + E)內恒成立，函數f(外單調遞增；若曰( 0,則當X e (0,-今時，f(K)< 0,函數f(x)單調遞減，當X E ( i +時，f (x) > 0,函數fh)單調遞增.(2)要證xz +%> 2a,只需證A a.設。(工)=f(x) = -+ 2x = a，因為 g (k)=彳 + 2 a 0, X所以g(x) = f (X)為單調遞增函數.所以只需證> f (a)

28、 = o，即證-丫 + Xi + x2 - a > 0,只需證工l +工2 -日)> 0. (*)X1 + X2 3占又-321nxi + xj aX2 = e, - azlnx2 + xg ax2 = m,所以兩式相減，并整理，得,一：，1 .、 llnxi - Inx.把 7(xt +。-曰)= ： 1代入(*)式，得只需證勺+ Xln”l叭 _A 0，可化為+ In <。X*!令& = t,得只需證2U- 1)C+ 1I I-t - c.令中閨=-T7T+ Int(0 < t< 1),t 1)”> 0,(t+ 1) r41則4L -、(t + ir t所以Mt)在其定義域上為增函數,綜上得原不等式成立.請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.22 .選彳4-4 :坐標系與參數方程在直角坐標系xOv中，曲線q： * =三t(為參數，己>0),在以坐標原點為極點， v1 1 y = 2 + asintx軸的非負半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2： 0 = 4sin(1)試將曲線C與CzH為直角坐標系xOv中的普通方程，并指出兩曲線有公共