1、初中數(shù)學(xué)相似模型（二） 1 c平行線類相似模型“ A”型如圖，5/3。，則有些=，更=二，些=空 BE CF AB AC AB AC BCEFBCAE AFEC BF二.“ 8”字型如圖，EF / BC ,則有AE a AC ABB(1初中數(shù)學(xué)三.常見的一些變形注意：構(gòu)造平行的方法實(shí)質(zhì)是為了構(gòu)造出“ A”型和“ 8”字型.點(diǎn)剖析- 2 C考點(diǎn)：平行線類相似模型 二.重難點(diǎn)：在常見的一些變形圖形中，前兩種模型很容易從直觀角度直接找到相似的三角形，對(duì) 于后面四種模型需要做輔助線時(shí)，一般在題中會(huì)找到有利的已知條件有：線段中點(diǎn)，中線，線段間 的倍、分關(guān)系等.三.易錯(cuò)點(diǎn)：平行類相似模型雖然是平行線分線段

2、成比例的一種衍生，但是不同與后者的是平行線 類相似模型更多的情況是利用相似圖形的性質(zhì)去證明一些結(jié)論，可能會(huì)用到一些其他的模型，方法 比較綜合.題模精講題模一：“ A”字型例 1.1.1 如圖所示： ABC中，DE/ BC, AD=5 BD=1Q AE=3.則 CE 的值為（C. 3D. 4例1.1.2如圖，在 ABC中，點(diǎn)D E分別是AR AC的中點(diǎn)，則下列結(jié)論不正確的是（）初中數(shù)學(xué)A.C.BC=2DE AD = AB AE ACB.AADE ABCD.Sa abc=3Sa ADE例1.1.3如圖，在平行四邊形ABC邛，對(duì)角線 AC, BD相交于點(diǎn)。，點(diǎn)E, F分別是邊 AD AB的中點(diǎn)，EF

3、交AC于點(diǎn)H,則空的值為HCD.：ABC. DEF例 1.1.4 如圖所示，D, E, F 分別在 OA, OB, OC 上，DF/AC, EF/BC,求證: 7 C例1.1.5如圖，AB_LBD, CD_LBD,垂足分別為 B、D, AC和BD相交于點(diǎn)E, EF _L BD , 111I =垂足為F.證明：AB CD EF .例1.1.6 如圖所示，在 AABC, BC=6, E, F分別是AB AC的中點(diǎn)，點(diǎn) P在射線EF上，BP交CE于D,點(diǎn)Q在CE上且BQ平分/CBP設(shè)BP =y , PE =x .當(dāng)CQ =CE時(shí)，y與x之間的函數(shù) 21 關(guān)系式是 ；當(dāng)CQ=、CE （n為不小于 2的

4、常數(shù)）時(shí)，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是12s4題模二：“ 8”字型例1.1.7如圖，D E、F分別為 ABC三邊的中點(diǎn)，則下列說法中不正確的為（B.Sa abf=Sa AFCD. DF=EF例1.2.1 如圖，梯形ABCD中AD/BC,對(duì)角線AGBD相交于點(diǎn)O,若 AO CO=2 3, AD=4,貝U BC等于（）A.12B.8C.7D.6例1.2.2如圖，在平行四邊形 ABCD中，AE: EB=1:2 ,若S&ef =6,則SDF為例1.2.3如圖，梯形ABCD的兩條對(duì)角線與兩底所圍成的兩個(gè)三角形的面積分別為 形的面積是（）A.C.222 P2q22q pqB.D.2p q2 222 p qp

5、q-22p q例1.2.4 如圖，在矩形 ABCD43, AB=6, BC=8點(diǎn)E是BC中點(diǎn)，點(diǎn)F是邊CD上的任意一點(diǎn)，當(dāng)AEF的周長(zhǎng)最小時(shí)，則 DF的長(zhǎng)為B E CA.1B.2C.3D.4AF EF 例 1.2.5 如圖，已知 AABC 中，AE:EB=1:3, BC:CD=2:1, AD 與 CE 相交于 F ,則百 FD 的值為多少？BEAF AB例 1.2.6證：AB、已知四邊形ABCD , E、F分別為一組對(duì)邊 BC、AD的兩點(diǎn)，若EC DC與EF成等角.FD圈隨堂練習(xí)隨練1.1如圖，？ABCD, E是AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BE交AC于點(diǎn)F,交DC于點(diǎn)G,則下列結(jié)論中 錯(cuò)誤的是()EA.

6、 AABEE DGE C. ABCI EAFB. ACGB ADGED. AACIDo GCF隨練1.2 如圖，在 ABC中，點(diǎn) D, E分別在AB, 則DE的長(zhǎng)為()AC上，DE/ BC, AD=CE 若 AB: AC=3: 2, BC=1QA.3B. 4C. 5D.6隨練1.3如圖，直角三角形紙片 ABC43, /ACB=90。AC =8 , BC =6 .折疊該紙片使點(diǎn) B點(diǎn)C 重合，折痕與 AB BC的交點(diǎn)分別為 H E.(1) DE的長(zhǎng)為;(2)將折疊后的圖形沿直線AE剪開，原紙片被剪成三塊，其中最小一塊的面積等于初中數(shù)學(xué)B2隨練 1.4 如圖，已知 DE/AB, OA =OC OE

7、 ,求證：MBCiEDA . 10 C隨練1.5 己知：如圖，在菱形 ABCD4點(diǎn)E、F分別在邊 BG CD / BAF DAE AE與BD交于點(diǎn)G.(1)求證：BE=DF(2)當(dāng)DF = AD_時(shí)，求證：四邊形 BEFG平行四邊形.FC DF角平分線相似模型識(shí)精講角平分線類相似模型: i.常見題模型如下：方法點(diǎn)播：角平分線類相似問題基本就這樣的四種模型，輔助線的做法也如圖中虛線所示，學(xué) 習(xí)這部分知識(shí)時(shí)，涉及到角平分線和證明相似問題就可以試著做這樣的輔助線，基本都可以解決.點(diǎn)剖析一 .考點(diǎn)：角平分線類相似模型二.重難點(diǎn)：角平分線類相似模型三.易錯(cuò)點(diǎn)：注意對(duì)應(yīng)線段比例關(guān)系題模一：角平分線相似模型

8、AB _ BD例2.1.1如圖，AD是MBC的角平分線，求證：AC -CD .111例 2.1.2 在 MBC 中，/BAC=120 1 AD 平分/BAC 交 BC 于點(diǎn) D ,求證：AD - AB AC例2.1.3 如圖（1）（3）,已知/ AOB的平分線于點(diǎn)C D,連接CD交。葉點(diǎn)G設(shè)/ AOB=4 （0OM上有一點(diǎn) P, / CPD的兩邊與射線 OA OB交 V a V 180 ) , / CPD=3 .(2)(3)（1）如圖（1）,當(dāng)a =3=90時(shí)，試猜想 PC與PD, / PDC與/ AOB的數(shù)量關(guān)系（不用說明理 由）；（2）如圖（2）,當(dāng)a =60。， 3=120。時(shí)，（1）中

9、的兩個(gè)猜想還成立嗎？請(qǐng)說明理由.（3）如圖（3）,當(dāng) a +3 =180 時(shí)，你認(rèn)為（1）中的兩個(gè)猜想是否仍然成立，若成立請(qǐng)直接寫出結(jié)論；若不成立，請(qǐng)說明理由.若PD=2,求PD的值.園隨堂練習(xí)隨練2.1已知MBC中，/BAC的外角平分線交對(duì)邊AB _ BD隨練2.2如圖，已知 A是/XOY的平分線上的定點(diǎn)，過點(diǎn)A任作一條直線分別交 OX、OY于P、Q.證明:0P OQ是定值.隨練2.3 如圖，已知 CD是ABC中/ ACB的角平分線，E是 AC上的一點(diǎn)，且 CD2=BC CE , AD =6 , AE =4 .初中數(shù)學(xué)(1)求證： BC DCE(2)求證： ADZ ACD射影定理一.射影定理

10、：1 .定理：直角三角形斜邊上的高是它分斜邊所得兩條線段的比例中項(xiàng)；且每條直角邊都是它在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng).射影定理模型如圖（1）所示：由圖(1)得，由 MBDsicad,可得：ad2=bd|_Cd 由 MBD s iCBA，可得：AB2 = BdUbO 由 MCD s 加CA ,可得：AC2 =CDJbC2 .射影定理推廣：若 MBC不為直角三角形，當(dāng)點(diǎn) D滿足一定條件時(shí)，類似地仍有部分結(jié)論成立.如下圖，ABC CDE如上圖，當(dāng) /BAD=/C 時(shí)， MBCsADBA,則有： 當(dāng)=匹，即：AB2=BDl_BC .BD AB三點(diǎn)剖析考點(diǎn)：射影定理.重難點(diǎn)：射影定理三.易錯(cuò)點(diǎn)：注意線段

11、的對(duì)應(yīng)關(guān)系畫題模精講題模一：射影定理C2 _A.BC =BD AB2C.AC2 =AD AB例3.1.1已知CD是RtABC斗邊上的高，則下列各式中不正確的是（_2 _8. CD =BD ADD.BC AD = AC BD例 3.1.2在 RtAABC,ZBAC=90%ADL BC于點(diǎn)D,BD=1 ,AC=2五,則 AD等于(D3八A.1B.-C. 2D.3例 3.1.3 如圖，ABC 中，AD_LBC 于 D, BE_LAC 于 E, DF_LAB 于 F,交 BE 于 G , FD、2AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)H ,求證：DF =FG FH . 13 15 19 (1)圖1中是否存在與/ BDE相

12、等的角？若存在，請(qǐng)找出，并加以證明，若不存在，說明理由；(2)求證：BE=EC(3)若將“點(diǎn)D在BA的延長(zhǎng)線上，點(diǎn) E在BC上”和“點(diǎn)F是DE與AC的交點(diǎn)，且 DF=FE分別 改為“點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在CB的延長(zhǎng)線上”和“點(diǎn) F是ED的延長(zhǎng)線與 AC的交點(diǎn)，且 DF=kFE, 其他條件不變(如圖 2).當(dāng)AB=1, / ABC=a時(shí)，求BE的長(zhǎng)(用含k、a的式子表示).拓展6 如圖，。O的直徑 AB為10cm,弦AC為6cm, NACB的平分線交 AB于E,交。于D.求 弦AD CD的長(zhǎng)及CE的值.DE拓展7如圖，在 MBC中，AD平分/BAC , AD的垂直平分線交 AD于E ,交BC的延長(zhǎng)

13、線于2F ,求證：FD =FB FC .拓展8如圖1, SBC中，AI,BI分別平分/BAC/ABC. CE是MBC的外角/ACD的平分線, 交BI延長(zhǎng)線于E ,連接CI .(1) MBC變化時(shí)，設(shè)NBAC =2a .若用口表示NBIC和/E ,那么2BIC =，/ E=(2)若AB =1 ,且MBC與AICE相似，求相應(yīng)AC長(zhǎng)；(3)如圖2,延長(zhǎng)AI交EC延長(zhǎng)線于F .當(dāng)MBC形狀、大小變化時(shí)，圖中有哪些三角形始終與；AIB相似？寫出這些三角形，并選其中之一證明.拓展9 已知/MON =60：射線OT是/MON勺平分線，點(diǎn) P是射線 OT上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，射線 PB交 射線ONF點(diǎn)B.(1)如圖

14、，若射線 PB繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120后與射線 O幟于A求證：PA=PB;3(2)在(1)的條件下，若點(diǎn) C是AB與OP的交點(diǎn)，且滿足PC PB ,求： POBf PBC勺面2積之比；（3）當(dāng)OB=2時(shí)，射線PB繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。后與直線 OM交于點(diǎn)A （點(diǎn)A不與點(diǎn)O重合）， 直線PA交射線ON點(diǎn)D,且滿足ZPBD =/ABO .請(qǐng)求出OP勺長(zhǎng).0B N拓展10 如圖， ABC中，CD!AB,垂足為 D,下列條件中，能證明 ABC是直角三角形的有 （多選、錯(cuò)選不得分）./ A+/ B=90 AB2=AC+BC2 AC=CDAB BD CD2=AD?BD.拓展11已知：如圖，在半徑為 4的。O中，AB為直徑，以弦 AC （非直徑）為對(duì)稱軸弧 AC折疊 后與AB相交于點(diǎn)D ,如果AD =3