1、2016 年高考文科數學真題及答案全國卷 1注意事項：1 .本試卷分第I卷(選擇題)和第II卷(非選擇題)兩部分.第I卷1至3頁，第II卷3至 5頁.2 .答題前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在本試題相應的位置.3 .全部答案在答題卡上完成，答在本試題上無效.4 .考試結束后，將本試題和答題卡一并交回.第I卷一.選擇題：本大題共12小題,每小題5分,在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題 目要求的.(1)設集合 A 1,3,5,7 , Bx2加 5 ,則 AI B(A) 1,3(B) 3,5(C) 5,7(D) 1,7【答案】B考點：集合的交集運算【名師點睛】集合是每年高考中的必考題

2、，一般以基礎題形式出現，屬得分題.解決此類問 題一般要把參與運算的集合化為最簡形式再進行運算，如果是不等式解集、函數定義域及 值域有關數集之間的運算，常借助數軸進行運算.(2)設1 2i a i的實部與虛部相等，其中a為實數，則a=(A) -3(B) -2(C) 2(D) 3【答案】A【解析】試題分析：(1 2i)(a i) a 2 (1 2a)i,由已知，得a 2 1 2a,解得a 3,故選A.考點：復數的概念及復數的乘法運算【名師點睛】復數題也是每年高考必考內容，一般以客觀題形式出現，屬得分題.高考中復 數考查頻率較高的內容有：復數相等，復數的幾何意義，共腕復數，復數的模及復數的乘除2運算

3、，這類問題一般難度不大，但容易出現運算錯誤，特別是i1中的負號易忽略，所以做復數題要注意運算的準確性.(3)為美化環境，從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個花壇中，余下的2 種花種在另一個花壇中，則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是(A)(B)(C)(D)【答案】A考點：古典概型【名師點睛】作為客觀題形式出現的古典概型試題 ，一般難度不大，解答常見錯誤是在用列 舉法計數時出現重復或遺漏，避免此類錯誤發生的有效方法是按照一定的標準進行列舉.(4) ZXABC的內A A B C的對邊分別為a、b、c.已知a F,c 2, cosA 2 ,則b=3(A)桓(B)邪(C) 2(D) 3【答

4、案】D【解析】2 1試題分析：由余弦定理得5 b2 4 2 b 2 -,解得b 3 (b -舍去)，故選D.3 3考點：余弦定理【名師點睛】本題屬于基礎題，考查內容單一，根據余弦定理整理出關于b的一元二次方程， 再通過解方程求b.運算失誤是基礎題失分的主要原因，請考生切記！1(5)直線l經過橢圓的一個頂點和一個焦點，若橢圓中心到l的距離為其短軸長的4,則該橢圓的離心率為,、1/、1/、2,、3(A) 3(B) 2(0 3(D) 43234【答案】B【解析】11試題分析：如圖，由題意得在橢圓中，OF c,OB b,OD 2b -b42在 Rt OFB 中，|OF| |OB| |BF| |OD|,

5、且 a2 b2 c2,代入解得1a2 4c2,所以橢圓得離心率得e，故選B.考點：橢圓的幾何性質【名師點睛】求橢圓或雙曲線離心率是高考常考問題，求解此類問題的一般步驟是先列出 等式，再轉化為關于a,c的齊次方程，方程兩邊同時除以a的最高次幕，轉化為關于e的方 程,解方程求e .4，八一，九 ，一，。，一一。1 人一一 一一，一一，。，、，一，(6)若將函數y=2sin (2 x+至)的圖像向右平移4個周期后，所得圖像對應的函數為冗冗冗冗(A)y=2sin(2x+-)( B)y=2sin(2 x+-)(C)y=2sin(2 x -(D)y=2sin(2 x -)4343【答案】D 考點：三角函數

6、圖像的平移【名師點睛】函數圖像的平移問題易錯點有兩個，一是平移方向，注意“左加右減”，二是 平移多少個單位是對x而言的，不用忘記乘以系數.(7)如圖，某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條相互垂直的半徑.若該28幾何體的體積是,則它的表面積是3(A) 17兀(B) 18兀(C) 20兀(D) 28幾【答案】A【解析】考點：三視圖及球的表面積與體積【名師點睛】由于三視圖能有效的考查學生的空間想象能力，所以以三視圖為載體的立體幾何題基本上是高考每年必考內容，高考試題中三視圖一般常與幾何體的表面積與體積交 匯.由三視圖還原出原幾何體，是解決此類問題的關鍵.(8)若 a b 0, 0 c 1

7、,則(A) logaClogbC(B) logcalogcb(C) accb【答案】B【解析】試題分析：由0 c 1可知y log cx是減函數，又a b 0 ,所以log c a logcb .故選B.本題也可以用特殊值代入驗證.考點：指數函數與對數函數的性質【名師點睛】比較幕或對數值的大小，若幕的底數相同或對數的底數相同，通常利用指數函 數或對數單調性進行比較，若底數不同，可考慮利用中間量進行比較.(9)函數y 2x2 “在 2,2的圖像大致為4(C)(D)-【答案】D考點：函數圖像與性質【名師點睛】函數中的識圖題多次出現在高考試題中，也可以說是高考的熱點問題，這類題目一般比較靈活，對解題

8、能力要求較高，故也是高考中的難點，解決這類問題的方法一般是 利用間接法，即由函數性質排除不符合條件的選項.(10)執行右面的程序框圖，如果輸入的x 0,y 1,n=1,則輸出x, y的值滿足(A) y 2x(B) y 3x(C) y 4x(D) y 5x【答案】C【解析】試題分析：第一次循環：x 0, y 1,n 2,“ 1弟一次俯環：x -, y 2,n 3,33第三次循環：x 3,y 6,n 3,此時滿足條件x2 y2 36,循環結束，x gy 6,滿足y 4x .故選C考點：程序框圖與算法案例【名師點睛】程序框圖基本是高考每年必考知識點，一般以客觀題形式出現，難度不大，求 解此類問題一般

9、是把人看作計算機，按照程序逐步列出運行結果.(11)平面 過正文體ABOABGD的頂點A /平面 CB1D1, I 平面 ABCD m ,I平面ABB1A1 n ,則m n所成角的正弦值為(A)與(B)*(C) (D) 1【答案】A考點：平面的截面問題，面面平行的性質定理，異面直線所成的角.【名師點睛】求解本題的關鍵是作出異面直線所成角 ，求異面直線所成角的步驟是：平移定角、連線成形，解形求角、得鈍求補.1,(12)右函數 f (x) x- -sin 2x asinx 在3111(A)1,1(B)1,1(O*(D)33 3單調遞增，則a的取值范圍是1,【答案】C考點：三角變換及導數的應用【名師

10、點睛】本題把導數與三角函數結合在一起進行考查，有所創新，求解關鍵是把函數單調性轉化為不等式包成立，再進一步轉化為二次函數在閉區間上的最值問題 ，注意與三角 函數值域或最值有關的問題，要注意弦函數的有界性.第II卷本卷包括必考題和選考題兩部分.第(13)題第(21)題為必考題，每個試題考生都必須作答第(22)題第(24)題為選考題，考生根據要求作答.二、填空題：本大題共3小題，每小題5分(13)設向量 a=(x, x+1), b=(1,2),且 a b,則 x= .【答案】【解析】2試題分析：由題思，a b 0,x 2(x 1) 0, x -.3考點：向量的數量積及坐標運算【名師點睛】全國卷中向

11、量大多以客觀題形式出現，屬于基礎題.解決此類問題既要準確記 憶公式，又要注意運算的準確性.本題所用到的主要公式是：若a Xl,y1 ,b x2,y2，則a b x1yl x2y2(14)已知9是第四象限角，且sin( 9 + -)= 3，則tan( 9 -)=. 454【解析】試題分析：由題意因為2k 2從而sin 一4sin sin42k 2 k Z4一,因止匕tan5一 一 cos42,所以2k 4-4 .故填4 .433-2k k Z44考點：三角變換【名師點睛】三角函數求值，若涉及到開方運算，要注意根式前正負號的取舍，同時要注意 角的靈活變換.(15)設直線y=x+2a與圓C: x2+

12、y2-2ay-2=0相交于A, B兩點，若|?= 2速，則圓C的面積為【答案】4 考點：直線與圓【名師點睛】注意在求圓心坐標、半徑、弦長時常用圓的幾何性質，如圓的半徑r、弦長l、r2 d2圓心到弦的距離d之間的關系：2在求圓的方程時常常用到.(16)某高科技企業生產產品 A和產品B需要甲、乙兩種新型材料.生產一件產品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5個工時；生產一件產品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3個工時，生產一件產品A的禾I潤為2100元，生產一件產品B的禾I潤為900元.該企業現有甲材料150kg,乙材料90kg,則在不超過600個工時的條件下，生產產品A、產品B的

13、利潤 之和的最大值為元.【答案】216000【解析】試題分析：設生產產品A、產品B分別為x、y件，利潤之和為z元，那么1.5x 0.5y, 150, x 0.3y, 90, 5x 3y, 600,x- 0, y- 0.目標函數z 2100x 900y .取得最大值.解方程組10 3y 900，得M的坐標(60,100).5x 3y 600所以當 x 60, y 100時，Zmax 2100 60 900 100 216000.故生產產品A、產品B的利潤之和的最大值為216000元.考點：線性規劃的應用【名師點睛】線性規劃也是高考中常考的知識點，一般以客觀題形式出現，基本題型是給出 約束條件求目

14、標函數的最值，常見的結合方式有：縱截距、斜率、兩點間的距離、點到直 線的距離，解決此類問題常利用數形結合.本題運算量較大，失分的一個主要原因是運算失 誤.三.解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.（17） .(本題滿分12分)已知an是公差為3的等差數列，數列bn滿足1b=1, b2 = -, anbn 1 bn 1 nbn,. 3(I )求an的通項公式;的前n項和.(II )由(I)an3n 1 (II )2 2 3n 1.和 anbn 1 bn 1 nbn ,得。1bn,因此bn是首項為1,公比為1的等比數列.記bn的前n項和為Sn,則考點：等差數列與等比數列【名師點睛】等差、

15、等比數列各有五個基本量，兩組基本公式，而這兩組公式可看作多元方 程，利用這些方程可將等差、等比數列中的運算問題轉化解關于基本量的方程（組），因此可以說數列中的絕大部分運算題可看作方程應用題 ，所以用方程思想解決數列問題是一種 行之有效的方法.（18） .（本題滿分12分）如圖，在已知正三棱錐P-ABC勺側面是直角三角形，PA=6,頂點P 在平面ABCft的正投影為點E連接PE并延長交AB于點G（I ）證明G是AB的中點；（II ）在答題卡第（18）題圖中作出點E在平面PAC內的正投影F （說明作法及理由）， 并求四面體PDEF勺體積.【答案】（I ）見解析（II ）作圖見解析，體積為-3試題解

16、析：（I）因為P在平面ABC內的正投影為D,所以AB PD. 因為D在平面PAB內的正投影為E ,所以AB DE.所以AB 平面PED,故AB PG.又由已知可得，PA PB,從而G是AB的中點.（II ）在平面PAB內，過點E作PB的平行線交PA于點F , F即為E在平面PAC內的正投 影.理由如下：由已知可得 PB PA , PB PC,又EF/PB,所以EF PC ,因止匕EF 平面 PAC ,即點F為E在平面PAC內的正投影.連接CG ,因為P在平面ABC內的正投影為D ,所以D是正三角形ABC的中心.2 由（I）知，G是AB的中點，所以D在CG上，故CD -CG.321由題設可得PC

17、 平面PAB, DE 平面PAB,所以DE/PC 因止匕PE - PG, DE 1 PC. ,33由已知，正三棱錐的側面是直角三角形且 PA 6,可得DE 2,PE 2&在等腰直角三角形EFP中，可得EF PF 2.114所以四面體PDEF的體積V-12 2 2-.323考點：線面位置關系及幾何體體積的計算【名師點睛】文科立體幾何解答題主要考查線面位置關系的證明及幾何體體積的計算 ，空間 中線面位置關系的證明主要包括線線、 線面、面面三者的平行與垂直關系，其中推理論證的 關鍵是結合空間想象能力進行推理，要防止步驟不完整或考慮不全致推理片面，該類題目難 度不大，以中檔題為主.(19)(本小題滿分

18、12分)某公司計劃購買1臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰.機器 有一易損零件，在購進機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元.在機器使用期 問，如果備件不足再購買，則每個500元.現需決策在購買機器時應同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了 100臺這種機器在三年使用期內更換的易損零件數，得下面柱狀圖： 記x表示1臺機器在三年使用期內需更換的易損零件數 。表示1臺機器在購買易損零件上 所需的費用(單位：元)，n表示購機的同時購買的易損零件數.(I)若n =19，求y與x的函數解析式；(II )若要求“需更換的易損零件數不大于 n”的頻率不小于0.5,求n的最小值；(III )假設這

19、100臺機器在購機的同時每臺都購買19個易損零件，或每臺都購買20個易 損零件，分別計算這100臺機器在購買易損零件上所需費用的平均數，以此作為決策依據， 購買1臺機器的同時應購買19個還是20個易損零件？【答案】(I) y3800, x 19,(x N) (II ) 19 (III ) 19 500x 5700,x 19,(H)由柱狀圖知，需更換的零件數不大于18的概率為0.46,不大于19的概率為0.7,故n 的最小值為19.(m)若每臺機器在購機同時都購買 19個易損零件，則這100臺機器中有70臺在購買易 損零件上的費用為3800,20臺的費用為4300,10臺的費用為4800,因止匕

20、這100臺機器在購1買易損零件上所需費用的平均數為 (4000 90 4500 10) 4050.100比較兩個平均數可知，購買1臺機器的同時應購買19個易損零件.考點：函數解析式、概率與統計【名師點睛】本題把統計與函數結合在一起進行考查，有綜合性但難度不大，求解關鍵是讀 懂題意,所以提醒考生要重視數學中的閱讀理解問題.(20)(本小題滿分12分)在直角坐標系xOy中，直線l: y=t (t W0)交y軸于點M交拋物線C： y2 2px(p 0)于點P,M關于點P的對稱點為N,連結ONW延長交C于點H(I)求OHON(II )除H以外，直線MHf C是否有其它公共點？說明理由.【答案】(I )

21、 2 (II )沒有【解答】十2試題分析：先確定N(匚t) , ON的方程為y Bx,代入y2 2Px整理得px2 2t2x 0 ,解得 Pt22xi 0,x2 ，得H(,2t),由此可得N為OH的中點，即|一| 2. (II) PP|ON |把直線MH的方程y t 2tx,與y2 2Px聯立得y2 4ty 4t2 0,解得yi y? 2t,即直線MH與C只有一個公共點，所以除H以外直線MH與C沒有其它公共點.(R)直線MH與C除H以外沒有其它公共點.理由如下：直線MH的方程為y t Ex,即x 2t(y t).代入y2 2Px得y2 4ty 4t2 0,解得 2tPyi y2 2t,即直線M

22、H與C只有一個公共點，所以除H以外直線MH與C沒有其它公共點.考點：直線與拋物線【名師點睛】高考解析幾何解答題大多考查直線與圓錐曲線的位置關系，直線與圓錐曲線的位置關系是一個很寬泛的考試內容，主要由求值、求方程、求定值、最值、求參數取值 范圍等幾部分組成；解析幾何中的證明問題通常有以下幾類：證明點共線或直線過定點； 證明垂直；證明定值問題.其中考查較多的圓錐曲線是橢圓與拋物線，解決這類問題要重視 方程思想、函數思想及化歸思想的應用.2(21)(本小題酒分12分)已知函數f x x 2 ex a x 1 .(I)討論f x的單調性；(II)若f x有兩個零點，求a的取值范圍.【答案】見解析(II) 0,【解析】試題分析：(I)先求得f x x 1 ex 2a .再根據1,0,2 a的大小進行分類確定f x的單 調性；(II)借助第一問的結論，通過分類討論函數單調性，確定零點個數，從而可得a的取 值范圍為0,.試題解析：(I) f x x 1 ex 2a x 1 x 1 ex 2a.(i)設 a 0,則當 x ,1 時，fx 0;當 x 1,時，fx 0.所以在 ,1單調遞減，在1,單調遞增.(ii) 設 a 0,由 f x 0 得 x=1 或 x=ln(-2a).若a e,則f x x 1 ex e ,所以f x在，單調遞增.2