1、研究生現代控制理論及其應用課程小論文一級倒立擺的建模與控制分析學院：機械工程學院班級：機研131姓名：尹潤豐2014 年 6 月 2 日目錄1. 問題描述及狀態空間表達式建立 -0-問題描述 -0-狀態空間表達式的建立 -0-直線一級倒立擺的數學模型 -0-直線一級倒立擺系統的狀態方程 -1-2. 應用MATLA分析系統性能 -2 -直線一級倒立擺閉環系統穩定性分析 -2-系統可控性分析 -2-系統可觀測性分析 -2-3. 應用 matlab 進行綜合設計 - 3 -狀態反饋原理 -3-全維狀態反饋觀測器和simulink 仿真 -3 -4. 應用 Matlab 進行系統最優控制設計 - 5

2、-5. 總結 -6 -1.問題描述及狀態空間表達式建立問題描述倒立擺是機器人技術、控制理論、計算機控制等多個領域、多種技術的有機結 合，其被控系統本身又是一個絕對不穩定、 高階次、多變量、強耦合的非線性系統， 可以作為一個典型的控制對象對其進行研究。倒立擺系統作為控制理論研究中的一 種比較理想的實驗手段，為自動控制理論的教學、實驗和科研構建一個良好的實驗 平臺，以用來檢驗某種控制理論或方法的典型方案，促進了控制系統新理論、新思 想的發展。下對于倒立擺系統，經過小心的假設忽略掉一些次要的因素后，它就是一個典型的 運動的剛體系統，可以在慣性坐標系內應用經典力學理論建立系統的動力學方程。 下面采用其

3、中的牛頓一歐拉方法建立直線一級倒立擺系統的數學模型。狀態空間表達式的建立直線一級倒立擺的數學模型圖 直線一級倒立擺系統本文中倒立擺系統描述中涉及的符號、物理意義及相關數值如表所示表1,1直線一級倒立攜系統參數符號意義實際數值M小車質最1.096kg挖桿質量0.109kgf小軍摩擦力0N/uVsecI投桿轉動軸心到桿質心的長度025in1探科慣量0,00223kg *m*iu圖是系統中小車的受力分析圖。其中，Nff口吻小車與擺桿相互作用力的水平和垂直 方向的分量。圖系統中小車的受力分析圖圖是系統中擺桿的受力分析圖。Fs是擺桿受到的水平方向的干擾力，Fh是擺桿受到的垂直方向的干擾力，合力是垂直方向

4、夾角為a的干擾力Fg0圖擺桿受力分析圖分析小車水平方向所受的合力，可以得到以下方程：設擺桿受到與垂直方向夾角為a 的干擾力Fg,可分解為水平方向、垂直方向的干擾 力，所產生的力矩可以等效為在擺桿頂端的水平干擾力 FS垂直干擾力Fh產生的力 矩。對擺桿水平方向的受力進行分析可以得到下面等式：即：對圖擺桿垂直方向上的合力進行分析，可以得到下面方程：即P mg Fg cosml sin ml 2 cos1 6力矩平衡方程如下：代入可口 N,得到方程：設，（小是擺桿桿與垂直向上方向之間的夾角，單位是弧度），代入上式。假設小<<1,則可進行近似處理：r -12由于：I ml3方程化為：令：F

5、f Fg sin cos ，則1 9可化為：1 10即是化簡后的直線一級倒立擺系統微分方程。帶入實際數據后，微分方程為:當忽略了 Ff時，系統的微分方程如式（1-12）所示忽略干擾力后，直線一級倒立擺系統是單輸入二輸出的四階系統，考慮干擾力后，直線一級倒立擺系統是二輸入二輸出的四階系統。其內部的4個狀態量分別是小車的位移x、小車的速度x、擺桿的角度8、擺桿的角速度。系統輸出的觀測量為小車的位移x、擺桿的角度8。其控制量為小車的加速度將微分方程（1-12）化為關于加速度輸入量和角度輸出量的傳遞函數：直線一級倒立擺系統的狀態方程實驗所使用的直線一級倒立擺系系統是加速度x作為百統的即喚入 所以根據式

6、（1-建立系統的狀態方程為：FhFg cos整理后得到系統狀態方程：將實際參數代入得到一級倒立擺系統的狀態空間方程為：2.應用MATLA吩析系統性能直線一級倒立擺閉環系統穩定性分析構建如圖所示閉環系統，則系統的閉環極點為()、 ():圖 閉環系統結構圖由于有實部為正的極點，所以閉環系統不穩定，必須設計控制器使系統穩定。可以通過MATLAB Simulink中對其進行仿真，判斷其穩定性。構建圖所示系統的仿真程序el,加入1m/s2的階躍信號由上圖也能清楚的知道一級倒立擺系統是不穩定的。系統可控性分析系統的可控性可根據秩判據進行可控性判斷。線性定常連續系統完全可控的充分 必 要 條 件 是 ： r

7、ank(B ABAn 1B) n ， 其 中 n 為 系 統 矩 陣 A 的 階 次 ，M (B ABAn 1B) 為系統的可控性矩陣。matlab 程序及運行結果如下：> > A=0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 0;> > B=0;1;0;3;> > T=ctrb(A,B);> > rank(T)ans =4由于rank( Ic) =4，可見該系統是完全可控的。系統可觀測性分析系統的可控性可根據秩判據進行可控性判斷。線性定常連續系統完全可控的充分必要條件是：CCArank N rankn 或 rank (CT ATCT

8、(AT )2CT(AT)n 1CT ) n其中n為系數矩陣A的階次。matlab 程序及運行結果如下：> > A=0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 0;> > C=1 0 0 0;0 0 1 0;> > T0=obsv(A,C);rank(T0)ans =4由于rank( T0) =4，故該系統是可觀測的。3. 應用 matlab 進行綜合設計狀態反饋原理設n維線性定常系統：其中x,u,y分別是n維、p維、q維向量；A R Ch別是n*n維，n*p維，n*q維實數矩 陣。狀態反饋系統的控制量u取為狀態x的線性函數：其中，v為p參考輸入向

9、量，K為p*n維實反饋增益矩陣。加入狀態反饋后系統的結構圖如圖所示：圖 系統的全狀態反饋結構圖則系統狀態反饋的動態方程為：全維狀態反饋觀測器和simulink 仿真狀態反饋的的實現是利用狀態反饋使系統的閉環極點位于所希望的極點位置。而狀態反饋任意配置閉環極點的充分必要條件是被控系統可控。直線一級倒立擺系統是可控的。設系統期望極點為1234 = 234 3i 4 3i ， 則系統期望特征多項式為：列寫狀態反饋系統的特征多項式：令兩個特征多項式各項系數對應相等，則可解出K陣。由matlab求出狀態反饋矩陣K,編程如下：A=0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 0;>>

10、 B=0;1;0;3;>> K=acker(A,B,-2 -3 -4+3i -4-3i)K =系統加入S2的階躍輸入，在構成的狀態反饋調節器控制下，MATLAB進行系統的階躍響應仿真，編程如下：A=0 1 0 00 0 0 00 0 0 10 00;B1=0103;C=1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1;D1=0 0 0 0'dt=;ieof=801;for i=1:ieof;U(:,i)=;T(i)=i*dt;end;%離散化op=-2% 期望極點-3-4+3i-4-3i;K=place(A,B1,op)Ak0=(A-B1*K);Bk0=B1;Ck0

11、=C;Dk0=D1;lqrop=eig(Ak0);x=0 0 0 0'dt=;%離散時dA,dB=c2d(Ak0,Bk0,dt);% 經離散化得到離散狀態方程Ak1=(A-B1*K);Bk1=B1;Ck1=C;Dk1=D1;sys=ss(Ak1,Bk1,Ck1,Dk1);Y,X=lsim(sys,U,T);plot(T,-Y),grid;legend('Cart','VCart','single','Vs');圖 極點配置為-2 -3 -4+3i -4-3i 時的全狀態反饋仿真圖橫軸時間單位秒，從圖中可以看出，系統穩定。4

12、. 應用 Matlab 進行系統最優控制設計最優控制問題就是尋找一個控制系統的最優控制方案或最優控制規律，使系統能最優地達到預期的目標。對于線性連續系統，提出二次型目標函數：其中，R(t)正定，S及Q 半正定，且設它們為對稱矩陣，to，tf固定。當tf趨近無窮時，在yx(t)情況下，該問題即為無限時間輸出調節器問題。此時穩態誤差 項趨于零，在此題目中假設二次型最優控制性能指標為：500000其中： QR=1030000050000010Matlab 編程如下：A=0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 0;B=0;1;0;3;C=1 0 0 0;0 1 0 0;0 0 1 0;0 0 0 1;D=0 0 0 0;Q=500 0 0 0;0 30 0 0;0 0 50 0;0 0 0 10;R=1;>> K,P,e=lqr(A,B,Q,R) K =在 simulink 下進行仿真模型的建立，如圖：圖LQR仿真模型將 K 輸入后，進行仿真，結果如圖：圖 LQR 仿真結果由圖可見，在二次型最優控制下系統穩定性得到明顯改善。5. 總結通過對一級倒立擺的分析可知，在開環情況下，倒立擺的平衡系統是不穩定的的；通過秩判據可知，其系統是可控可觀測的；通過狀態反饋對極點進行配置后，使極點都位于虛軸左側，則