1、概率論與數(shù)量統(tǒng)計一、連續(xù)型隨機變量分布函數(shù)及其概率密度1概率密度與它的基本性質設對于隨機變量x的分布函數(shù)F(x)，如果存在非負可積函數(shù)f(x)， 使得對任意的實數(shù)x，都有 成立,則稱x為連續(xù)型隨機變量，f(x)便是x的概率密度（或分布密度）。概率密度具有如下基本性質：(1) (非負性)；(2) (規(guī)范性)；(3)對任何實數(shù)c，有；對任意的實數(shù)a，b(a<b)，有。且只要區(qū)間的端點不變，x取值于開區(qū)間或閉區(qū)間或半開半閉區(qū)間的概率都是相等的。2連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望和方差P473隨機變量的矩與切比雪夫不等式4常用的連續(xù)型分布常用的連續(xù)型分布有均勻分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布等。（1）均勻分布若

2、隨機變量取值在有限區(qū)間(a, b)上，其概率密度為 其中b>a為常數(shù)。則稱服從區(qū)間(a, b)上的均勻分布，簡記為。均勻分布是等可能概型在連續(xù)情形下的推廣。（4）正態(tài)分布設隨機變量有概率密度 其中，為常數(shù)。則稱服從參數(shù)為，的正態(tài)分布，簡記為 。特別，當=0，=1時，有。 此時稱服從標準正態(tài)分布。簡記為N(0，1)。 5概率密度與分布函數(shù)的互求當概率密度給定時，運用逐段積分可求得分布函數(shù)。即，如此得到的分布函數(shù)是定義在整個實數(shù)軸上的連續(xù)函數(shù)。反之，當分布函數(shù)已知時，在f(x)的連續(xù)點上運用逐段微分可求得概率密度。即。可見，連續(xù)型隨機變量的概率密度和分布函數(shù)亦可以相互唯一確定。6給定分布時的

3、概率計算小結(1)分布律已知時的概率計算公式是 (2)概率密度已知時的概率計算公式是 (3)分布函數(shù)已知時的概率計算公式是 (4)正態(tài)分布下的概率計算公式是其中rvx；F(x)為標準正態(tài)分布函數(shù)。當x>0時其數(shù)值可查標準正態(tài)分布函數(shù)數(shù)值表(以下簡稱正態(tài)分布表)直接得到；對于負實數(shù)x，在公式F(x)=1-F(-x)轉化下，仍可查表求值。二隨機變量函數(shù)的分布隨機變量x的函數(shù)在一定條件下仍是隨機變量。h的分布可由x的已知分布確定。但在求h的分布具體處理方法上，離散型和連續(xù)型是有區(qū)別的。1離散型隨機變量x的函數(shù)分布設x為一離散型隨機變量，其分布律為x1x2xnpip1p2pn則當諸的值互異時，h

4、的分布律為pip1p2pn 如果中有某些值相同時，則將相應概率相加之后予以合并處理，必要時重新排序后寫出h的分布律。可見，在離散型場合下，h的分布律完全由x的分布律確定。2連續(xù)型隨機變量x的函數(shù)分布設x為連續(xù)型隨機變量，其概率密度為，則仍為連續(xù)型隨機變量，其概率密度的計算步驟為：(1) 根據(jù)x的概率密度，求出的分布函數(shù) 其中，(2) 對求導得的概率密度 在函數(shù)可導且嚴格單調時，的概率密度為 ，其中是嚴格單調可微函數(shù)(與對應的普通函數(shù))的反函數(shù)。至于的取值范圍，原則上將由中x的取值范圍及中的的允許范圍討論確定。可見，連續(xù)型場合下，的概率密度完全由x的概率密度確定。3連續(xù)型隨機向量的函數(shù)的分布 P

5、97 如卷積公式卷積公式：設的聯(lián)合密度函數(shù)為，求的密度函數(shù)。如果是相互獨立的隨機變量，則有（卷積公式）4隨機向量的數(shù)字特征 P104 協(xié)方差 協(xié)方差矩陣 相關系數(shù)設為二維隨機變量，第四章 數(shù)理統(tǒng)計的基礎知識4.1 總體與樣本一、總體與總體分布定義4.1 在統(tǒng)計學中稱隨機變量（或向量）X為總體，并把隨機變量（或向量）X的分布稱為總體的分布。二、樣本與樣本分布4.2 稱為總體X的簡單隨機樣本，若是獨立同分布的隨機變量，且與總體X同分布。樣本中所含分量的個數(shù)n稱為該樣本的容量。以大寫的英文字母表示隨機變量，而以相應的小寫英文字母表示它的觀察值，并稱樣本的一組具體的觀察值為樣本值。設總體X的分布函數(shù)為

6、，則由定義4.2知，樣本的分布函數(shù)為稱之為樣本分布。若總體X為連續(xù)型隨機變量，其密度函數(shù)為，則樣本的密度函數(shù)為。三、統(tǒng)計推斷問題簡述即借助總體X的一個樣本，對總體X的未知分布進行推斷，我們把這類問題統(tǒng)稱為統(tǒng)計推斷問題。4.2 統(tǒng)計量一、統(tǒng)計量的定義定義4.3 設為總體X的一個樣本，稱此樣本的任一不含總體分布未知參數(shù)的函數(shù)為該樣本的統(tǒng)計量。如 二、常用的統(tǒng)計量1.樣本均值 稱樣本的算術平均值為樣本均值，記為，即2.樣本方差 更多時候用修正樣本方差3.樣本標準差 4.樣本原點矩 ， 并稱為樣本的k階原點矩。5.樣本中心矩 ，并稱為樣本的k階中心矩。三、樞軸量 僅含一個未知參數(shù)，但其分布卻已知的樣本

7、函數(shù)稱為樞軸量。如總體，其中已知，未知，為總體的一個樣本，令，上述函數(shù)U中雖然含有未知參數(shù)，但總有，故U是一樞軸量，可以對作統(tǒng)計推斷。4.3 常用的統(tǒng)計分布一、分位數(shù)定義4.4 設隨機變量X的分布函數(shù)為，對給定的實數(shù)如果實數(shù)滿足即或則稱為隨機變量X的分布的水平的上側分位數(shù)。或直接稱為分布函數(shù)F(x)的水平的上側分位數(shù)。定義4.5 設X是對稱分布的連續(xù)型隨機變量，其分布函數(shù)為，對給定的實數(shù)如果正實數(shù)滿足即 則稱為隨機變量X的分布的水平的雙側分位數(shù)，也簡稱為分位數(shù)，或直接稱為分布函數(shù)的水平的分位數(shù)。二、分布在第二例2.29：若，則的密度函數(shù)為 （4.17）命題4.1 設是n個相互獨立的隨機變量，且

8、，i=1,2,n,則 的密度函數(shù)為（4.18）其中是（伽馬）函數(shù)。定義4.6 一個隨機變量X稱為服從以n為自由度的分布，如果其密度函數(shù)由（4.18）給出，記作。（命題4.1證明）由（4.17）知，當n=1時，（4.18）成立，使用數(shù)學歸納法，設n=k時，（4.18）成立，令，。由歸納假設及（4.17）知：的密度函數(shù)分別為由于皆為非負的隨機變量且相互獨立，由第3章的卷積公式可推知，當z>0時，y的密度函數(shù)可按下式計算：=其中倒數(shù)第二個等式中使用了貝塔函數(shù)的定義：以及貝塔函數(shù)和伽馬函數(shù)的關系：命題4.2 （1）若，且X與Y相互獨立，則。（2）若，則。三、分布設，且X與Y相互獨立，記。（4.1

9、9）命題4.3 設Z由（4.19）所定義，則Z的密度函數(shù)為：，x>0 （4.20）其中是B函數(shù)。定義4.7 如果一個隨機變量X的密度函數(shù)由4.20給出，則稱其服從第一自由度為m，第二自由度為n的F分布，記作。而且由命題4.3可得到：，則。（命題4.3證明）因為，由定義4.6知，X與Y的密度函數(shù)分別為設從而由于X,Y皆為非負的隨機變量且相互獨立，由第三章的例3.16可知，當z>0時，隨機變量的密度函數(shù)可按下式計算：= =，再由于當z>0時，即知隨機變量z的密度函數(shù)可以表示為四、分布設，且X與Y相互獨立，記，（4.22）由（4.22）可推知。命題4.4 （4.22）所定義的隨機變

10、量的密度函數(shù)為（4.23）.定義4.8如果一個隨機變量X的密度函數(shù)由（4.23）給出，則稱其為服從自由度為n的分布，記作（命題4.4證明）T的密度函數(shù)也是對稱函數(shù)（習題四的第5題）。其次，以分別表示的密度函數(shù)，由于T具有對稱的密度函數(shù)，不難證明，當t>0時，（習題四第6題）。現(xiàn)設，且由命題4.3知，隨機變量F的密度函數(shù)為再注意到，由練習2-5的第9題可知，當t>0時，應有：。于是，當t>o時，（4.23）式是成立的，再由于是對稱函數(shù)，可知當x<0時，（4.23）式也成立。4.4 抽樣分布定理4.1 設總體，是容量為n的一個樣本，與分別為此樣本的樣本均值與樣本方差，則有：

11、（1）（2）（3）與相互獨立。（證明在P146）定理4.2設總體，是容量為n的一個樣本，與分別為此樣本的樣本均值與樣本方差，則有：（1）（2）（3）第5章 參數(shù)估計與假設檢驗一、點估計二、評價估計量的標準 評價估計量的標準，無偏性、有效性、一致性。設總體X服從0，上的均勻分布，由上節(jié)例7可知，都是的估計，這兩個估計哪一個好？下面我們首先討論衡量估計量好壞的標準問題.1.無偏性 定義7.2 若估計量（X1，X2，Xn）的數(shù)學期望等于未知參數(shù)，即：， （7.6）則稱為的無偏估計量（Non-deviation estimator）。樣本方差有2種表達方式： （1） （2） （2）是無偏估計，證明如下

12、：2.有效性 設和都是未知參數(shù)的無偏估計，若對任意的參數(shù)，有D（）D（），則稱比有效.3.一致性定義 如果n依概率收斂于，即0，有，則稱是的一致估計量。三、區(qū)間估計（給定一個置信水平、確定參數(shù)的置信區(qū)間）：是的一個估計量，為一個隨機區(qū)間，若該區(qū)間套住的概率等于事先指定的數(shù)，即 （1），則是的一個置信區(qū)間，對（1）進行變換有：，已知：， ，大樣本（n30）條件下：， ,， ，,未知：, 其中：和為分位數(shù)，即，。稱為估計誤差。置信水平的直觀意義是：如有m個樣本，則m個樣本就有m個置信區(qū)間，其中有置信水平（如95%）個區(qū)間套住了總體參數(shù)。P74第6章 假設檢驗 1.假設檢驗的格式通常為:原假設H0，

13、備選假設H1。其中原假設往往是我們想要證明不成立的，備選假設是想要留下的。比如：（A）H0:；H1: （B）H0:；H1:（C）H0:；H1:（注意含有等號的符號放在原假設里）。如果備選假設含有符號，這樣的檢驗稱為雙側檢驗：統(tǒng)計量臨界值，拒絕原假設。 臨界值通常有：，如果備選假設含有符號，這樣的檢驗稱為左側檢驗：統(tǒng)計量的值-臨界值，拒絕原假設。 臨界值通常有：，如果備選假設含有符號，這樣的檢驗稱為右側檢驗：統(tǒng)計量的值臨界值，拒絕原假設。 臨界值通常有：，2.總結：假設檢驗就是構造一個與假設參數(shù)相關的統(tǒng)計量，再確定該統(tǒng)計量的分布，把這個統(tǒng)計量與顯著性水平對應的分位數(shù)或等進行比較，如果落在這些分位

14、數(shù)的外側，則拒絕原假設。或者計算這個統(tǒng)計量對應的p值，即2P（X統(tǒng)計量的值）<（雙側檢驗時），P（X-統(tǒng)計量的值）<（左側檢驗時），P（X統(tǒng)計量的值）<（右側檢驗時），則拒絕原假設。假設檢驗與區(qū)間估計的關系：假設檢驗是區(qū)間估計的延續(xù)，如假設某一總體的參數(shù)為，通過抽取樣本發(fā)現(xiàn)在某一置信水平如95%的情況下的置信區(qū)間不包括該參數(shù)，這意味著抽取100個樣本中，有95個置信區(qū)間都不包括該參數(shù)，因此=不合適。第7章 分類變量的推斷 一個分類變量的擬合優(yōu)度檢驗：，為觀察頻數(shù)，為期望頻數(shù)，該統(tǒng)計量服從自由度為k-1的分布；k為類別個數(shù)。如果統(tǒng)計量為0，表明觀測頻數(shù)與期望頻數(shù)完全一致；如果顯著不為0，越大說明觀測頻數(shù)與期望頻數(shù)存在顯著差異。兩個分類變量的擬合優(yōu)度檢驗：，為觀察頻數(shù)，為期望頻數(shù),該統(tǒng)計量服從（r-1）(c-1)；r為行數(shù)c為列數(shù)第8章 方差分析與實驗設計 思考一個性別對身高是否有顯著影響的例子，抽取某個班作為樣本，得到如下表中的數(shù)據(jù)，i為水平（處理），總的平均身高=1.66。男生i=1 樣本容量為n1y11=1.73y12=1.72女生i=2 樣本容量