1、解圓錐曲線大題的精髓設而不求侯勝哲（華南師范大學數學科學學學院，廣州）摘 要： 主要針對高中成績在中等的學生，讓他們對解圓錐曲線大題有一定方向性的認識，理清解題思路.對成績較好的學生有解題思路的補充參考價值，對老師有教學參考價值，希望老師先將復雜問題簡化，先解決主要矛盾，使題有一定的規律感，最后再使之豐滿，提升.這對學生的理解有好處.關鍵詞：圓錐曲線大題 韋達定理 設而不求 Abstract This paper helps the high school students understanding how to solve conic curve questions who are in

2、the middle. And it is supplementary reference value for good students. Teachers are benefited from this paper in teaching .Keywords:conicquestionVieta theoremisnot seeking 很多高中學生覺得求解圓錐曲線大題很困難,這讓我們陷入思考：求解圓錐曲線大題難在哪？它和初中的幾何題有什么不同呢？很多同學可能和我有同感:對圓錐曲線題的思路大體都知道,可就是解不出.現階段的解題方法與初中幾何的解題不同，需要優化思路,可試著用“設而不求”的思

3、想.如果真正理解其含義,就會自信的說:“不建立坐標系,我也能把答案寫出了”.一、回顧韋達定理 “設而不求”的方法的依據是韋達定理,很多老師對韋達定理的理解只是形式上的理解.沒有讓學生明確韋達定理最主要也是最重要的用途是什么，遇到何種情況適用.首先,讓我們欣賞一下韋達定理的美麗：任給一個一元二次方程,設它的兩根為.則根和系數的關系表達式為： 根據觀察,如果已知,我們通過應用韋達定理，可以不用知道的具體值，就能求出,的值.二、深入探索(結合圓錐曲線) 設直線,圓錐曲線，直線與曲線相交于兩交點.聯立方程：可求出交點橫坐標所滿足的一元二次方程： 根據題設條件，經過計算，得到此方程的判別式為： , 經過

4、觀察思考，發現有兩個字母系統： 系統：交點坐標系統：(注：知等同知). 系統：方程系數系統：. 假若我們知道和中任意四個量，就能根據韋達定理解出其它兩個量. 但實際解題中，題設往往沒給出那么多量,所給條件比較苛刻.一般只給出中的部分未知量,不給出中的量.那怎么辦？我們便盡可能簡化,即用韋達定理表示出和 ,代入等量關系式中，以解決問題. 分析至此,我們試想：什么樣的等量關系式中會出現表達式，？我們可以聯系到弦長公式,中點公式(對稱問題),重心公式，以及斜率,. 結合高考題目,大部分圓錐曲線題都不會讓你直接求解,而是替換和，化簡等量關系式，然后解出所求. 體會到這一點時,相信學生找到新的解題方向,

5、明白出題老師的一貫手法,解題壓力輕松了許多. 三、實戰訓練 (涉及：拋物線,向量,求軌跡問題)例11：已知拋物線,為坐標原點,動直線與交于、兩個不同的點(1)求的取值范圍；(2)求滿足的點的軌跡方程解：(1)易得.（2）要求點的軌跡方程,就得求點中坐標與的關系.設和，根據，有 要想得到, 表達式,得先處理和.一見到這種形式,就讓我們想到韋達定理.聯立方程求解： 消去可得.又由，且，經計算，得出.繼而，點的軌跡方程為. 從上題解題過程看出：我們并沒有解出,而是將整體解出，整體解題思路不變.是不是其它題也可這樣解題呢？ (涉及：橢圓,弦長,兩點間距離公式,斜率) 例22：已知橢圓的中心在坐標原點,

6、焦點在軸上,橢圓上的點到焦點距離的最大值為3,最小值為1 (1)求橢圓的標準方程；(2)若直線與橢圓相交于,兩點(,不是左右頂點),且以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點求證：直線過定點,并求出該定點的坐標 解： (1)易得橢圓的標準方程為. (2)要想證明直線過定點，求出定點,則要得到的方程.而現在中有兩個參變量，我們只要一個參數,所以要找到與的關系,消去一個參數.方案一：利用已知條件，列等量關系：.弦長： . (3-1)圓心：,橢圓右頂點. (3-2) 結合(3-1)、(3-2),利用兩點間距離公式得到： . 我們發現：在上式中又見到,了！同樣，我們又可應用韋達定理加以代換,做到簡化運算. (注

7、：)但就算是理論上此種方法可行，我們依然覺得計算量大。如果想鍛煉一下計算能力，可以一試.下面本文提供更為簡便的方法. 方案二：思路同樣是先建立等量關系,尋找與的關系.不過這次我們利用圓的性質.因為圓心角為直角，所以,即. 整理得 (3-3) 上式中又出現表達式：,下面替換掉它們.(已驗證) (3-4)而 (3-5)將(3-4)、(3-5)代入(3-3)中，化簡得到：.把看作未知數(把看作未知數也可)解得 當時,與直線過橢圓右頂點相矛盾. 當時,直線方程為，過定點. 綜上可知,所求定點坐標為. 總結：這道題依然符合上題的解題規律,而且將設而不求的思想結合圓的知識，應用到橢圓領域.學會替換,是設而

8、不求思想的關鍵.若掌握了以上方法,利用條件的轉化,以利于解決問題.下面是兩道分別來自廣東和江西的高考題,讓我們體會一下設而不求在求解高考題中的應用. 例33：(本小題滿分14分)在平面直角坐標系中,拋物線上異于坐標原點的兩不同動點、滿足(如圖1所示). ()求的重心(即三角形三條中線的交點)的軌跡方程； ()的面積是否存在最小值？若存在,請求出最小值；若不存在,請說明理由. 圖1 解：(I)設,的重心為.則 (3-6) 我們只需要求出,即可. 設直線的方程為.由已知條件得到：(已驗證)所以 .現在要消去一個參數.由已知條件,知，即. (3-7) . 將和代入(3-7)式，得.經整理得： (3-

9、8)根據(3-6)，計算得.消去參數,得重心的軌跡方程為.(II) . 注意和，代入上式，得 .將(3-8)中相關表達式代入上式，得.而，所以的面積存在最小值.存在最小值時，求得面積最小值是1. 有了前面的訓練，這道題的難度降低很多.值得注意的是,在處理時，將和整體代入,這也是“設而不求”的一部分. 例44：(本小題滿分13分)是雙曲線：上一點,分別是雙曲線的左、右頂點,直線的斜率之積為.（1）求雙曲線的離心率；（2）過雙曲線的右焦點且斜率為1的直線交雙曲線于兩點,為坐標原點,為雙曲線上的一點,滿足,求的值.解：(1)已知雙曲線：,在雙曲線上.、分別為雙曲線的左右頂點,所以,直線斜率之積為.而,比較得 . (2)要求的值,先考察已知條件,看看與哪些量相關.設過雙曲線右焦點且斜率為的直線：,交雙曲線于,兩點,則不妨設,又，所以 因點在雙曲線上,即. . （3-9)（注意和的出現,利用韋達定理代換,另外注意和.）聯立直線和雙曲線方程消去得：.由韋達定理得： 利用直線的方程可計算得出：. 由此，利用（3-9）式，計算可得：. 這道題和例3有相似之處,處理下式時，將和整體代入,這也是“設而不求”的一部分. 總結：設而不求，實際上是利用韋達定理和整體代換,簡化運算步驟,而我們基本