1、第三十七講 空間夾角和距離一、復習目標要求 1能借助空間幾何體內(nèi)的位置關系求空間的夾角和距離；2能用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計算問題，體會向量方法在研究幾何問題中的作用。二、2010年命題預測 空間的夾角和距離問題是立體幾何的核心內(nèi)容，高考對本講的考察主要有以下情況：（1）空間的夾角；（2）空間的距離；（3）空間向量在求夾角和距離中的應用。預測2010年高考對本講內(nèi)容的考察將側重空間向量的應用求夾角、求距離。課本淡化了利用空間關系找角、求距離這方面內(nèi)容的講解，而是加大了向量在這方面內(nèi)容應用的講解，因此作為立體幾何的解答題，用向量方法處理有關夾角和距離將是主要方法，在復習時應加大這方

2、面的訓練力度。題型上空間的夾角和距離主要以主觀題形式考察。三、知識精點講解1空間中各種角包括：異面直線所成的角、直線與平面所成的角以及二面角。 （1）異面直線所成的角的范圍是。求兩條異面直線所成的角的大小一般方法是通過平行移動直線，把異面問題轉化為共面問題來解決。具體步驟如下：利用定義構造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時平移到某個特殊的位置，頂點選擇在特殊的位置上；證明作出的角即為所求的角；利用三角形來求角。（2）直線與平面所成的角的范圍是。求直線和平面所成的角用的是射影轉化法。DBAC具體步驟如下：找過斜線上一點與平面垂直的直線；連結垂足和斜足，得出斜線在平面的射影，確定出所求的角；把

3、該角置于三角形中計算。注：斜線和平面所成的角，是它和平面內(nèi)任何一條直線所成的一切角中的最小角，即若為線面角，為斜線與平面內(nèi)任何一條直線所成的角，則有；（3）確定點的射影位置有以下幾種方法：斜線上任意一點在平面上的射影必在斜線在平面的射影上；如果一個角所在的平面外一點到角的兩邊距離相等，那么這一點在平面上的射影在這個角的平分線上；如果一條直線與一個角的兩邊的夾角相等，那么這一條直線在平面上的射影在這個角的平分線上；兩個平面相互垂直，一個平面上的點在另一個平面上的射影一定落在這兩個平面的交線上；利用某些特殊三棱錐的有關性質(zhì)，確定頂點在底面上的射影的位置：a.如果側棱相等或側棱與底面所成的角相等，那

4、么頂點落在底面上的射影是底面三角形的外心；b. 如果頂點到底面各邊距離相等或側面與底面所成的角相等，那么頂點落在底面上的射影是底面三角形的內(nèi)心(或旁心)；c. 如果側棱兩兩垂直或各組對棱互相垂直，那么頂點落在底面上的射影是底面三角形的垂心；（4）二面角的范圍在課本中沒有給出，一般是指，解題時要注意圖形的位置和題目的要求。作二面角的平面角常有三種方法棱上一點雙垂線法：在棱上任取一點，過這點在兩個平面內(nèi)分別引棱的垂線，這兩條射線所成的角，就是二面角的平面角；面上一點三垂線法：自二面角的一個面上一點向另一面引垂線，再由垂足向棱作垂線得到棱上的點（即垂足），斜足與面上一點連線和斜足與垂足連線所夾的角，

5、即為二面角的平面角；空間一點垂面法：自空間一點作與棱垂直的平面，截二面角得兩條射線，這兩條射線所成的角就是二面角的平面角。斜面面積和射影面積的關系公式：(為原斜面面積,為射影面積,。2空間的距離（1）點到直線的距離：點到直線的距離為點到直線的垂線段的長，常先找或作直線所在平面的垂線，得垂足為，過作的垂線，垂足為連，則由三垂線定理可得線段即為點到直線的距離。在直角三角形中求出的長即可。點到平面的距離：點到平面的距離為點到平面的垂線段的長常用求法作出點到平面的垂線后求出垂線段的長；轉移法，如果平面的斜線上兩點，到斜足的距離，的比為，則點，到平面的距離之比也為特別地，時，點，到平面的距離相等；體積法

6、（2）異面直線間的距離：異面直線間的距離為間的公垂線段的長常有求法先證線段為異面直線的公垂線段，然后求出的長即可找或作出過且與平行的平面，則直線到平面的距離就是異面直線間的距離找或作出分別過且與，分別平行的平面，則這兩平面間的距離就是異面直線間的距離根據(jù)異面直線間的距離公式求距離。（3）直線到平面的距離：只存在于直線和平面平行之間為直線上任意一點到平面間的距離。（4）平面與平面間的距離：只存在于兩個平行平面之間為一個平面上任意一點到另一個平面的距離。以上所說的所有距離：點線距，點面距，線線距，線面距，面面距都是對應圖形上兩點間的最短距離。所以均可以用求函數(shù)的最小值法求各距離。abEF3空間向量

7、的應用（1）用法向量求異面直線間的距離如右圖所示，a、b是兩異面直線，是a和b 的法向量，點Ea，F(xiàn)b，則異面直線 a與b之間的距離是 ；（2）用法向量求點到平面的距離如右圖所示，已知AB是平面的 一條斜線，為平面的法向量，則 A到平面的距離為ABC；（3）用法向量求直線到平面間的距離首先必須確定直線與平面平行，然后將直線到平面的距離問題轉化成直線上一點到平面的距離問題。（4）用法向量求兩平行平面間的距離首先必須確定兩個平面是否平行，這時可以在一個平面上任取一點，將兩平面間的距離問題轉化成點到平面的距離問題。（5）用法向量求二面角如圖，有兩個平面與，分別作這兩個平面的法向量與，則平面與所成的角

8、跟法向量與所成的角相等或互補，所以首先必須判斷二面角是銳角還是鈍角。（6）法向量求直線與平面所成的角要求直線a與平面所成的角，先求這個平面的法向量與直線a的夾角的余弦，易知=或者。四典例解析題型1：異面直線所成的角例1（1）直三棱住A1B1C1ABC，BCA=，點D1、F1 分別是A1B1、A1C1的中點，BC=CA=CC1，則BD1與AF1所成角的余弦值是（ ） （A ） （B） （C） （D）（2）（06四川）已知二面角的大小為，為異面直線，且，則所成的角為（ ）（A） （B） （C） （D）解析：（1）連結D1F1，則D1F1，BC D1F1設點E為BC中點，D1F1BE，BD1EF1，

9、EF1A或其補角即為BD1與AF1所成的角。由余弦定理可求得。故選A。（2）二面角的大小為，為異面直線，且，則所成的角為兩條直線所成的角， =，選B。點評：通過平移將異面直線的夾角轉化為平面內(nèi)的兩條相交直線的夾角。例2已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2，點E為棱AB的中點。求：D1E與平面BC1D所成角的大小（用余弦值表示）A1B1C1D1ABCDExyz解析：建立坐標系如圖，則、，。不難證明為平面BC1D的法向量， 。 D1E與平面BC1D所成的角的余弦值為。點評：將異面直線間的夾角轉化為空間向量的夾角。題型2：直線與平面所成的角例3PA、PB、PC是從P點出發(fā)的三條射線，每兩條射

10、線的夾角均為，那么直線PC與平面PAB所成角的余弦值是（ ）A. B. C. D. D解：構造正方體如圖所示，過點C作CO平面PAB，垂足為O，則O為正ABP的中心，于是CPO為PC與平面PAB所成的角。設PC=a，則PO=，故，即選C。思維點撥：第（2）題也可利用公式直接求得。例2（03年高考試題）如圖，直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是等腰直角三角形，ACB90°，側棱AA12，D、E分別是CC1與A1B的中點，點E在平面ABD上的射影是ABD的重心G。求A1B與平面ABD所成角的大小（結果用余弦值表示）；GDDA1C1B1CBKxyzAE解析：如圖所示，建立坐標系，坐標原點為

11、C，設CA2a，則A(2a，0，0)，B(0，2a，0)，D(0，0，1)，A1(2a，0，2)，E(a，a，1)， G() ， ， a1， 為平面ABD的法向量，且。 A1B與平面ABD所成角的余弦值是。點評：先處理平面的法向量，再求直線的方向向量與法向量夾角間的夾角轉化為線面角。題型3：二面角EFO例5在四棱錐PABCD中，ABCD為正方形，PA平面ABCD，PAABa，E為BC中點。（1）求平面PDE與平面PAB所成二面角的大小（用正切值表示）；（2）求平面PBA與平面PDC所成二面角的大小。解析：（1）延長AB、DE交于點F，則PF為平面PDE與平面PAD所成二面角的棱，PA平面ABC

12、D，ADPA、AB, PAAB=ADA平面BPA于A，過A作AOPF于O，連結OD，則AOD即為平面PDE與平面PAD所成二面角的平面角。易得，故平面PDE與平PAD所成二面角的正切值為；（2）解法1（面積法）如圖ADPA、AB, PAAB=A，DA平面BPA于A, 同時，BC平面BPA于B，PBA是PCD在平面PBA上的射影, 設平面PBA與平面PDC所成二面角大小為,cos=SPAB/SPCD=/2 =450。即平面BAP與平面PDC所成的二面角的大小為45°。解法2（補形化為定義法）如圖：將四棱錐P-ABCD補形得正方體ABCDPQMN，則PQPA、PD，于是APD是兩面所成二

13、面角的平面角。在RtPAD中，PA=AD，則APD=45°。即平面BAP與平面PDC所成二面角的大小為45°。例6（1）（2003年，北京卷高考題）如圖6，正三棱柱的底面邊長為3，側棱，D是CB延長線上一點，且。求二面角的大小。（略去了該題的，問）（2）（06四川卷）已知球的半徑是1，、三點都在球面上，、兩點和、兩點的球面距離都是，、兩點的球面距離是，則二面角的大小是（ ）（A） （B） （C） （D）解析：（1）取BC的中點O，連AO。由題意：平面平面，平面，以O為原點，建立如圖6所示空間直角坐標系，則 ， ， ， ，由題意 平面ABD， 為平面ABD的法向量。設 平面的

14、法向量為 ，則， ， ，即 。 不妨設 ，由，得。 故所求二面角的大小為。評析：（1）用法向量的方法處理二面角的問題時，將傳統(tǒng)求二面角問題時的三步曲：“找證求”直接簡化成了一步曲：“計算”，這表面似乎談化了學生的空間想象能力，但實質(zhì)不然，向量法對學生的空間想象能力要求更高，也更加注重對學生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，體現(xiàn)了教育改革的精神；（2）此法在處理二面角問題時，可能會遇到二面角的具體大小問題，如本題中若取時，會算得，從而所求二面角為，但依題意只為。因為二面角的大小有時為銳角、直角，有時也為鈍角。所以在計算之前不妨先依題意判斷一下所求二面角的大小，然后根據(jù)計算取“相等角”或取“補角”。（2）解析：球的

15、半徑是R=，三點都在球面上，兩點和兩點的球面距離都是，則AOB，AOC都等于，AB=AC，兩點的球面距離是，BOC=，BC=1，過B做BDAO，垂足為D，連接CD，則CDAD，則BDC是二面角的平面角，BD=CD=，BDC=，二面角的大小是，選C。題型4：異面直線間的距離例7如圖，已知正方體棱長為，求異面直線與的距離解法一：連結交的中點，取的中點，連結交于，連，則，過作交于，則。又斜線的射影為，。同理，為與的公垂線，由于為的中點，。，故，解法二（轉化為線面距）因為平面，平面，故與的距離就是到平面的距離。由，即，得解法三（轉化為面面距）易證平面平面，用等體積法易得到平面的距離為。O同理可知：到平

16、面的距離為，而，故兩平面間距離為MNE解法四（垂面法）如圖，平面，平面，平面平面，故O到平面的距離為斜邊上的高。解法五。（函數(shù)最小值法）如圖，在上取一點M，作MEBC于E，過E作ENBD交BD于N，易知MN為BD與的公垂線時，MN最小。設BE=，CE=ME=，EN=，MN=。當時，時，。例8如圖2，正四棱錐的高，底邊長。求異面直線和之間的距離？分析：建立如圖所示的直角坐標系，則， ，ABCDOS圖2，。，。令向量，且，則，。異面直線和之間的距離為：。題型5：點面距離例9如圖，已知為邊長是的正方形，分別是，的中點，垂直于所在的平面，且，求點到平面的距離。解法一：連結，又，分別是，的中點， 。，解

17、法二，分別是，的中點，到平面的距離為上任一點到平面的距離，于，又平面，平面，平面，平面平面，過點作，則平面，為到平面的距離，即到平面的距離。由解法一知：，由得 。思維點拔：注意點距，線面距，面面距的轉化，利用平面互相垂直作距離也是一種常用的方法。例10（1）（06安徽）多面體上，位于同一條棱兩端的頂點稱為相鄰的，如圖，正方體的一個頂點A在平面內(nèi)，其余頂點在的同側，正方體上與頂點A相鄰的三個頂點到的距離分別為1，2和4，P是正方體的其余四個頂點中的一個，則P到平面的距離可能是：_（寫出所有正確結論的編號） 3； 4； 5； 6； 7（2）平行四邊形的一個頂點A在平面內(nèi)，其余頂點在的同側，已知其中

18、有兩個頂點到的距離分別為1和2 ，那么剩下的一個頂點到平面的距離可能是：1； 2； 3； 4； 以上結論正確的為_。（寫出所有正確結論的編號）ABCDA1解析：（1）如圖，B、D、A1到平面的距離分別為1、2、4，則D、A1的中點到平面的距離為3，所以D1到平面的距離為6；B、A1的中點到平面的距離為，所以B1到平面的距離為5；則D、B的中點到平面的距離為，所以C到平面的距離為3；C、A1的中點到平面的距離為，所以C1到平面的距離為7；而P為C、C1、B1、D1中的一點，所以選。（2）如圖，B、D到平面的距離為1、2，則D、B的中點到平面的距離為，所以C到平面的距離為3；B、C到平面的距離為1

19、、2，D到平面的距離為，則，即，所以D到平面的距離為1；C、D到平面的距離為1、2，同理可得B到平面的距離為1；所以選。題型6：線面距離BACD例11已知正三棱柱的底面邊長為8，對角線，D是AC的中點。（1）求點到直線AC的距離。（2）求直線到平面的距離。解析：（1）連結BD，由三垂線定理可得：，所以就是點到直線AC的距離。在中。（2）因為AC與平面BD交于的中點，設，則/DE，所以/平面，所以到平面BD的距離等于點到平面BD的距離，等于點到平面BD的距離，也就等于三棱錐的高。，所以，直線到平面BD的距離是。ACBPEF圖7思維點拔：求空間距離多用轉化的思想。例12如圖7，已知邊長為的正三角形中，、分別為和的中點，面，且，設平面過且與平行。 求與平面間的距離？分析：設、的單位向量分別為、，選取，作為空間向量的一組基底。易知，=，設是平面的一個法向量，則，即，直線與平面間的距離=五思維總結1這些角是對點、直線、平面所組成空間圖形的位置進行定性分析和定量計算的重要組成部分，學習時要深刻理解它們的含義，并能綜合應用空間各種角的概念和平面幾何知識（特別是余弦