1、（1）一、單項選擇題（每小題2分，共16分）1設A是方陣且非奇異，若AB=AC，則必有( )（a） B=C; b）B=C=O;（c）A=B=C;（d）BC.2. 設A為3階方陣，|A| = 3，則其行列式 | 3A|是（ ）（a）3 （b）32 （c）33 （d）34 3設齊次線性方程組有非零解，則k = （ ）（a）2 （b）0 （c）-1 （d）-24下列矩陣為初等矩陣的是（ ）（a） （b） （c）（d）5設向量組線性相關，則一定有（ ）（a）線性相關 （b）線性相關（c）線性無關 （d）線性無關6設n階方陣A為非奇異陣，則必有（ ）（a） 秩（A）= n；（b）秩（A）= 0；（c）|

2、A|=0；（d）方程組AX=0有非零解。7設向量（2，-3，5）與向量（- 4，6，k）線性相關，則k=（ ） （a）5；（b）-5；（c）10； （d）-10.8設AX=b是一非齊次線性方程組，1，2是其任意2個解，則下列結論錯誤的是（ ）（a）是AX=0的一個解；（b）是AX=b的一個解；（c）是AX=0的一個解；（d）是AX=b的一個解。二、填空題（每格2分，共26分）1.求行列式的值(1) =_；（2）=_ ； (3) =_;(4)行列式中元素0的代數余子式的值為_2. 設，則3A+2B=_; AB=_; _.3.齊次線性方程組的全部解 =_4. ， 若；則=_；_5.若A= 則r(A

3、)=_6. 已知, 向量與的內積=_, 的長度=_.三、證明題（任選兩題,每小題5分,共10分）1. 設線性無關，試證：線性無關。2. 如果n階方陣A滿足試證:A的特征值只能是0或.3. 如果對稱矩陣A為非奇異,試證:也是對稱矩陣四、計算題（共48分）1. （10分）已知向量組=（1,1,3）,=(-1,1,-1) , =(5,-2,8), =(-1,3,1), (1)求向量組的一組極大無關組,(2)將其余向量用此極大無關組線性表示,(3)求這組向量組的秩. 2（10分）若AX = B，其中，求（1）A-1；（2）X 3（12分）解線性方程組,要求用其齊次方程組的基礎解系表示全部解4. （10

4、分）設方陣, (1)求A的特征值和特征向量, (2)求可逆矩陣P,使為對角陣5.（6分）設實對稱矩陣的三個特征值,相應的特征向量為, 試求正交矩陣Q,使得為對角陣，并寫出此對角陣.（2）一、判斷題(正確填T，錯誤填F。每小題2分，共10分) 1 A是n階方陣，則有。 （ ）2 A，B是同階方陣，且，則。 （ ）3如果與等價，則的行向量組與的行向量組等價。 ( )4若均為階方陣，則當時，一定不相似。 ( )5n維向量組線性相關，則也線性相關。 （ ）二、單項選擇題（每小題3分，共15分）1下列矩陣中，（      ）不是初等矩陣。（A） (B)

5、(C) (D) 2設向量組線性無關，則下列向量組中線性無關的是（ ）。（A） （B） （C） （D）3設A為n階方陣，且。則（） (A) (B) (C) (D) 4設為矩陣，則有（ ）。（A）若，則有無窮多解；（B）若，則有非零解，且基礎解系含有個線性無關解向量；（C）若有階子式不為零，則有唯一解；（D）若有階子式不為零，則僅有零解。5若n階矩陣A，B有共同的特征值，且各有n個線性無關的特征向量，則（ ） （A）A與B相似 （B），但|A-B|=0 （C）A=B （D）A與B不一定相似，但|A|=|B| 三、填空題（每小題4分，共20分）1 。2為3階矩陣，且滿足3,則=_， 。3向量組，是線

6、性 （填相關或無關）的，它的一個極大線性無關組是 。4 已知是四元方程組的三個解，其中的秩=3，則方程組的通解為 。5設，且秩(A)=2，則a= 。四、計算下列各題（每小題9分，共45分）。1已知A+B=AB，且，求矩陣B。2.設，而，求。3.已知方程組有無窮多解，求a以及方程組的通解。4.求一個正交變換將二次型化成標準型5 A，B為4階方陣，AB+2B=0，矩陣B的秩為2且|E+A|=|2E-A|=0。（1）求矩陣A的特征值；（2）A是否可相似對角化？為什么？；（3）求|A+3E|。五證明題（每題5分，共10分）。1若是對稱矩陣，是反對稱矩陣，是否為對稱矩陣？證明你的結論。2設為矩陣，且的秩

7、為n，判斷是否為正定陣？證明你的結論。（3）一. 填空(每題2分, 共20分)1 1設五階行列式|aij|=3(i,j=1,2,3,4,5)，先交換1、5兩行；再轉置；最后用2乘所有元素, 其結果為_。2 2設A為四階矩陣，若，則|AA*|= , |A*|= , (A*)-1= , |2A-1|= 3 3設, f(x)=2x2-4x+5, 則f(D)= 4 4設C=, A = (3, 2, 1), B = (1, -2, 1),則ATB-2C= 5非齊次線性方程組AX=b有解的充要條件是 。6設A為m×n矩陣，則AX=0有非零解的充要條件是 。7設為矩陣，且2，則_。8= ， = 。

8、9設，則 。10A,B為同階方陣，則（A+B）（A-B）=A2-B2成立的充要條件是 。二選擇題(每題2分, 共10分)1. 若 n階矩陣A滿足A2-A-3I=0,，則A （ ）(a) (a)    不可逆(b) (b)    可逆，且A-1=A-I (c) (c)    可逆，且A-1=(A-I)(d) (d)    以上結論都不對2設矩陣A=(aij)，AX=0僅有零解的充要條件是（ ）(a) (a)A的行向量組線性無關(b) (b)A的行向量組線性相關(c) (c)A的

9、列向量組線性無關(d) (d)A的列向量組線性相關3 設a1,a2,as為n維向量組, 則( )正確.(a).若 k1 a1+ k2 a2+ k s as=0, 則a1,a2,as線性相關;(b).對任一組不全為零的數k1, k2, ks總有k1 a1+ k2 a2+ k s as ¹0,則a1,a2,as線性無關;(c).若a1,a2,as線性相關,則對任一組不全為零的數k1, k2, ks總有k1 a1+ k2 a2+ ks as =0;(d).若k1 a1+ k2 a2+ k s as ¹0, 則a1,a2,as線性相關.4若是線性方程組的兩個解向量，則（ ）必為其導

10、出組的解。 (a)； (b)； (c)； 以上答案都不對。5. 向量組 的秩為r,則下述說法不正確的是（ ）(a) 中至少有一個r個向量的部分組線性無關(b) 中任何r個向量的線性無關部分組與可互相線性表示© 中r個向量的部分組皆線性無關(d) 中r+1個向量的部分組皆線性相關三計算題(每題10分, 共40分)1、計算n階行列式Dn=2解矩陣方程AX=A+X,其中A=3. 解下列方程組: 4. 求向量組a1=(1,-1,2,4), a2=(0,3,1,2), a3=(3,0,7,14), a4(2,1,5,6), a5=(1,-1,2,0)的秩和一個極大無關組,并把每個向量都用極大無

11、關組線性表示出來.四證明題(每題10分, 共30分)1已知向量組線性無關，而向量組線性相關，試證明：（1）向量一定可由向量組線性表示；（2）表示法是唯一的。 2A,B是同階對稱矩陣，證明：AB為對稱矩陣的充要條件是A與B可交換。3設A為n階實方陣, 且A0, 求證:若Am = 0(m為大于1的正整數),則A不能與實對角形方陣相似.（4）一、選擇題1. 設為階矩陣，則下列矩陣中不是對稱矩陣的是（ ）。 （A） （B） （C） （D） 2. 已知向量組線性相關，則（ ）。 （A）可由線性表示 （B）不可由線性表示 （C）若，則可由線性表示 （D）若線性無關，則可由線性表示3. 設，則當（）時，。（

12、A）1 （B） （C） 2（D） 4. 齊次線性方程組有非零解的充要條件是（ ）。 （A）的列向量組線性無關 （B）的列向量組線性相關 （C）的行向量組線性無關 （D）的行向量組線性相關5. 設階矩陣的個特征值全為零，則（ ）。 （A） （B）只有一個線性無關的特征向量 （C）不能與對角矩陣相似 （D）當與對角矩陣相似時，二、填空題1. 設四階行列式的第一行元素分別為第一行元素的余子式分別為，則 2. 設，則 3. 設，則 4. 設是由向量組，所生成的向量空間，則的維數為 5. 設三階矩陣的特征值分別為1，2，3，則的特征值為 ， 6. 實二次型的矩陣為 三，解答題 1. 設三階矩陣、滿足，且

13、，求。2. 當為何值時，線性方程組（1）有惟一解（2）無解；（3）有無窮多解，并求通解。3. 設為三階矩陣，三維列向量組線性無關，且，（1）求，使得；（2）求。4. 設三階矩陣的特征值分別為，對應的特征向量分別為，求。四、證明題1. 設為階可逆矩陣，為的伴隨矩陣，證明的秩。2. 設維向量組線性無關， 證明：線性無關的充要條件是為奇數（5）一、選擇題1. 設、為階矩陣，則下面必成立的是（ ）。 AB C （D）2. 設為階矩陣，且，則（ ）。 ABCD3. 設向量組的秩為3，則（A）任意三個向量線性無關（B）中無零向量（C）任意四個向量線性相關（D）任意兩個向量線性無關4. 線性方程組，有解的充

14、要條件是（A） （B） （C）（D）5. 階矩陣與對角矩陣相似的充要條件是（ ）。（A）的個特征值互不相同 （B）可逆（C）無零特征值 （D）有個線性無關的特征向量二，填空題1. 各列元素之和為0的階行列式的值等于 2. 設三階矩陣，則 3. 設矩陣，則 （為正整數）4. 設，則 5. 設向量組線性無關，則向量組，線性 6. 設三階可逆矩陣的特征值分別為2、3、5，則的伴隨矩陣的特征值為 7. 設實二次型為正定二次型，則參數的取值范圍是 三，解答題1. 設，求矩陣。2. 當取何值時，線性方程組有（1）惟一解；（2）無解；（3）無窮多解，并求通解。3. 設四維向量組，求該向量組的秩及一個極大線性

15、無關組，并把其余向量用該極大線性無關組線性表示。4. 求一個正交變換，將實二次型化為標準形，并判斷該二次型是否正定。四，證明題1. 設為階矩陣，如果，則。2. 設階矩陣，（為正整數），則不能與對角矩陣相似。（6）一、選擇題1. 如果行列式，則（A）可能為（B）不可能為1 （C）必為1（D）不可能為22. 設、為階矩陣，則（ ）成立。 （A） （B） （C） （D）3. 設均為維向量，則下面結論正確的是（ ）。 （A）如果，則線性相關 （B）若線性相關，則對任意一組不全為零的數，有 （C）若對任意一組不全為零的數，有，則 線性無關 （D）如果，則 線性無關4. 齊次線性方程組有非零解的充要條件是

16、（ ）。 （A） （B） （C） （D） 5. 設可逆矩陣有一個特征值為2，則有一個特征值為（ ）。 （A） （B） （C） （D） 二、填空題1. 行列式 2. 設，則3. 設，則 4. 已知向量組，線性相關，則 5. 向量組，的一個最大無關組為 6. 如果線性方程組有解，則常數滿足條件 7. 二次型的秩為 三、計算題1. 設，且，求。2. 設，（1）是否線性相關；（2）可否由線性表示，如能則求其表示式。3. 設四元非齊次線性方程組的系數矩陣的秩為3，為它的三個解向量，且，求該方程組的通解。4. 設，求一個正交矩陣使得，其中為對角矩陣。四、證明題1. 設階矩陣滿足，證明：。2. 設階實對稱矩

17、陣滿足，證明。（7）一、 1. 填空 （每空4分，共20分）1 . 2.若，則 . 3. 的伴隨矩陣，則.4.從的基到基的過渡矩陣為 5.若，是4階方陣的伴隨矩陣，則 .二、 選擇題 （每題5分，共40分）1.已知是階方陣，則下列結論中正確的是( )(A)且 (B) (C)或 (D)2.設，若的伴隨矩陣的秩等于1，則必有( ).(A)或 (B) 或 (C) 或 (D) 或3.設三階方陣滿足，其中為三階單位矩陣，則( ).(A) (B) (C) (D) 4. 是階方陣,且則未必有( ).(A) 可逆， (B) 可逆 (C) 可逆 (D) 可逆5.設是矩陣，是矩陣，則線性方程組 （ ）.（A）當時

18、，僅有零解 （B）當 時，必有非零解（C）當 時，僅有零解 （D）當時，必有非零解6.若向量組線性無關；線性相關，則（ ）（A）必可由線性表示 （B）必不可由線性表示7. 是階可逆矩陣的一個特征值，則的伴隨矩陣的特征值之一是（ ）（A） （B） （C） （D）（C）必可由線性表示 （D）必不可由線性表示8. 二次型，若其對稱矩陣的秩為2，則值應為（ ）（A） 0 （B） （C） （D） 1.三、若線性無關，則 線性無關. (10分)四、設 求正交陣，使 為對角陣.（10分）五、（10分）設二次型， 其中的特征值之和為1，特征值之積為-12. （1）求的值；（2）利用正交變法將二次型化為標準型，

19、并寫出正交矩陣.六、（10分）設線性方程組與有公共解，求的值及所有公共解.（8）一、 單項選擇題1.設行列式=m，=n，則行列式等于（ ） A. m+nB. -(m+n) C. n-mD. m-n2.設矩陣A=，則A-1等于（ ） A. B. C. D. 3.設矩陣A=，A*是A的伴隨矩陣，則A *中位于（1，2）的元素是（ ） A. 6B. 6 C. 2D. 24.設A是方陣，如有矩陣關系式AB=AC，則必有（ ） A. A =0B. BC時A=0 C. A0時B=CD. |A|0時B=C5.已知3×4矩陣A的行向量組線性無關，則秩（AT）等于（ ） A. 1B. 2 C. 3D.

20、 46.設兩個向量組1，2，s和1，2，s均線性相關，則（ ） A.有不全為0的數1，2，s使11+22+ss=0和11+22+ss=0 B.有不全為0的數1，2，s使1（1+1）+2（2+2）+s（s+s）=0 C.有不全為0的數1，2，s使1（1-1）+2（2-2）+s（s-s）=0 D.有不全為0的數1，2，s和不全為0的數1，2，s使11+22+ss=0和11+22+ss=07.設矩陣A的秩為r，則A中（ ） A.所有r-1階子式都不為0B.所有r-1階子式全為0 C.至少有一個r階子式不等于0D.所有r階子式都不為08.設Ax=b是一非齊次線性方程組，1，2是其任意2個解，則下列結論

21、錯誤的是（ ） A.1+2是Ax=0的一個解B.1+2是Ax=b的一個解 C.1-2是Ax=0的一個解D.21-2是Ax=b的一個解9.設n階方陣A不可逆，則必有（ ） A.秩(A)<nB.秩(A)=n-1 C.A=0D.方程組Ax=0只有零解10.設A是一個n(3)階方陣，下列陳述中正確的是（ ） A.如存在數和向量使A=，則是A的屬于特征值的特征向量 B.如存在數和非零向量，使(E-A)=0，則是A的特征值 C.A的2個不同的特征值可以有同一個特征向量 D.如1，2，3是A的3個互不相同的特征值，1，2，3依次是A的屬于1，2，3的特征向量，則1，2，3有可能線性相關11.設0是矩陣

22、A的特征方程的3重根，A的屬于0的線性無關的特征向量的個數為k，則必有（ ） A. k3B. k<3 C. k=3D. k>312.設A是正交矩陣，則下列結論錯誤的是（ ） A.|A|2必為1B.|A|必為1 C.A-1=ATD.A的行（列）向量組是正交單位向量組13.設A是實對稱矩陣，C是實可逆矩陣，B=CTAC.則（ ） A.A與B相似 B. A與B不等價 C. A與B有相同的特征值 D. A與B合同14.下列矩陣中是正定矩陣的為（ ） A.B. C.D.第二部分 非選擇題（共72分）二、填空題15. .16.設A=，B=.則A+2B= .17.設A=(aij)3×3，|A|=2，Aij表示|A|中元素aij的代數余子式（i,j=1,2,3）,則(a11A21+a12A22