1、第二部分、空間與圖形五個公理：1、 等于同一個量的兩個量相等2、 等量加等量，和相等3、 等量減等量，差相等4、 互相重合的量一定相等5、 整體大于部分命題：用來判斷一件事情的語句命題的構成：命題由題設和結論兩部分組成.判斷點是題設和結論的分界點.題設是已知事項，結論是由已知事項推出的事項一線和角1、(公理)兩點之間,線段最短.2、(公理)經過兩點有一條直線,并且只有一條直線.3、等角(同角)的余角(補角)相等.4、對頂角相等.5、(公理)經過直線外或直線上一點,有且只有一條直線與已知直線垂直.6、(公理)連接直線外一點與直線上各點的所有線段中,垂線段最短.說明:幾何最小值的基礎:在幾何問題中

2、,經常出現最小值問題.解決的基礎和基本思路是設法歸結為以下兩個情形之一:兩點間連線中,以線段最短.連接直線外一點與直線上各點的所有線段中,垂線段最短.7、(公理)經過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行.8、平行線的判定(1) (公理)同位角相等,兩直線平行. (2) 內錯角相等, 兩直線平行.(3) 同旁內角相等, 兩直線平行.(4) 在同一平面內,垂直于同一條直線的兩直線平行.(5) 如果兩條直線都和第三條直線平行,那么這兩條直線也平行.9、平行線的性質(1) (公理)兩直線平行,同位角相等.(2) 兩直線平行,內錯角相等.(3) 兩直線平行,同旁內角相等.10、平移的相關知識 定義：

3、在平面內，將一個圖形整體沿某個方向移動一定的距離，這樣的圖形移動叫做平移變換，簡稱平移 對應點的定義:新圖形中的每一點,都是由原圖形中的某一點移動后得到的,這兩個點稱為對應點.平移變換的特征 在平移下，每一對對應點的連線都互相平行（平行于平移方向），每一對對應點之間的距離都相等（等于平移距離）.簡言之,每一對對應點的連線都平行且相等. 這樣,要判斷兩個圖形是否平移就可以通過判斷每一對對應點的連線是否都平行且相等. 平移變換的確定 給定了平移方向和平移距離,就確定了平移.根據平移變換的特征可知,給定一對對應點,也確定了平移. 圖形在平移下的不變性和不變量 平移把任一線段變成與它平行（或在同一條直

4、線上）且相等的線段,即在平移下,任一線段保持方向和長度不變. 平移把任一個角變成與它相等的角,即在平移下,任一個角保持大小不變.平移把任一圖形變成與它全等的圖形. 說明：圖形的變化是“空間與圖形”領域中一塊重要的內容，圖形的變換主要包括圖形的平移、圖形的軸對稱、圖形的旋轉和圖形的相似等，通過將圖形的平移、旋轉、折疊等活動，使圖形動起來，有助與在運動變化的過程中發現圖形不變的幾何性質，因此幾何的變換是研究幾何問題、發現幾何結論的有效工具.11、軸對稱的有關定理: 如果圖形關于某一直線對稱,那么連結對應點的線段被對稱軸垂直平分. 軸對稱圖形的對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線. 軸對稱的兩

5、個圖形是全等形.圖形翻折型問題圖形翻折型問題是把某些特殊平面圖形，按照某種程序折疊，然后按此程序模擬出平面幾何圖形，再按要求進行計算和證明。圖形翻折型問題具有以下性質：互相重合的點是以折痕為對稱軸的對稱點，連結兩重合點的線段被折痕垂直平分。互相重合的線段是以折痕為對稱軸的對稱線段。互相重合的部分是全等圖形，也是折痕為對稱軸的軸對稱圖形。鏡子中的像與實際物體成軸對稱，像與實際物體平行時特點：上下位置不變，左右位置顛倒. 像與實際物體垂直時特點:左右位置不變,上下位置顛倒.(注:水中倒影與實際物體也是成軸對稱,其情景與鏡子中的像與實際物體垂直時類似)12、旋轉的相關知識： 旋轉的定義：在平面內，把

6、一個圖形繞一個定點沿某一方向轉動一個角度，這樣的圖形運動，叫做旋轉.旋轉的性質:旋轉的圖形上的每一點都繞旋轉中心旋轉了同一個角度,這個角度等于旋轉角.對應點到旋轉中心的距離(旋轉半徑)相等.對應線段相等.對應角相等.旋轉后的圖形與原圖形形狀、大小不變-全等，只是改變了位置.對應線段的夾角等于旋轉角.旋轉對稱圖形定義:一個圖形繞旋轉中心旋轉一定角度后能與自己重合,這個圖形叫做旋轉對稱圖形.中心對稱圖形:一個圖形繞其旋轉中心旋轉180后能與自身重合,這個圖形叫做中心對稱圖形,這個中心叫做對稱中心.中心對稱:一個圖形繞某一點旋轉180,如果它能夠和另一個圖形重合,那么稱這兩個圖形成中心對稱,這個點稱

7、對稱中心.兩個圖形關于此點對稱也稱中心對稱.中心對稱的特征: 關于中心對稱的兩個圖形是全等形.關于中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經過對稱中心，并且被對稱中心平分.13、角平分線的性質和判定性質;角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等.判定:到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上.集合:角平分線上是到角的兩邊距離相等的所有點的集合.14、線段垂直平分線的性質和判定性質:線段垂直平分線上的點到這條線段的兩個端點的距離相等.判定:到一條線段的兩個端點距離相等的點,在這條線段的垂直平分線上.集合:線段的垂直平分線是和線段的兩個端點距離相等的點的集合.二、三角形、多邊形1、三角形中有關公理、定理 三

8、角形外角的性質：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和；三角形的一個外角大于任何一個與它不相鄰的內角；三角形的外角和等于360. 三角形內角和定理：三角形的內角和等于180. 三角形邊的關系定理：三角形任何兩邊之和大于第三邊；三角形任何兩邊之差小于第三邊. 三角形中位線定理：三角形中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半. 三角形是具有穩定性的圖形,而四邊形沒有穩定性.2、多邊形中的有關公理、定理： 多邊形的內角和定理：n邊形的內角和等于（n-2）*180. 多邊形的外角和定理：n 邊形的外角和等于360.3、平面鑲嵌 定義：用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分完全覆蓋，叫做用多邊形平

9、面鑲嵌（或覆蓋平面），簡稱鑲嵌.具體地說，用形狀、大小完全相同的一種或多種平面圖形進行拼接，彼此之間不留空隙、不重疊地鋪成一片，這就是平面圖形的密鋪，又稱做平面圖形的鑲嵌. 一般地,多邊形能覆蓋平面需要滿足兩個條件: 拼接在同一個點的各個角的和恰好等于360。 相鄰的多邊形有公共邊. 可以用予鑲嵌的平面圖形 任意剪出一些形狀、大小相同的三角形紙板，能鑲嵌成平面圖案；任意剪出一些形狀、大小相同的四邊形紙板，能鑲嵌成平面圖案；用一種正多邊形鑲嵌，只有邊長相同的正三角形、正方形、正六邊形才可以；。用兩種或多種正多邊形鑲嵌，關鍵是在一個頂點處，兩種正多邊形的內角的和要等于360。. 說明：總之，要判斷

10、多邊形是否能鑲嵌平面就要看這些多邊形的內角的組合是否會等于3604、等腰三角形中的有關公理、定理： 等腰三角形的性質： 等腰三角形的兩個底角相等. 等腰三角形的“三線合一”定理: 等腰三角形的頂角平分線、底邊上中線和底邊上的高線互相重合，簡稱“三線合一”. 等邊三角形的各個內角都相等，并且每一個內角都等于60. 等腰三角形的判定: 如果一個三角形有兩個角相等,那么這兩個角所對的邊也相等. 三個角都相等的三角形是等邊三角形. 有一個角是60的等腰三角形是等邊三角形.5、直角三角形的有關公理、定理： 直角三角形的性質： 直角三角形的兩個銳角互余. 勾股定理: 直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平

11、方. 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半. 在直角三角形中,如果有一個銳角等于30,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半. 直角三角形的判定: 勾股定理的逆定理:如果一個三角形的一條邊的平方等于另外兩條邊的平方和,那么這個三角形是直角三角形.三、特殊四邊形 1、平行四邊形的性質：平行四邊形的對邊平行且相等.平行四邊形的對角相等.平行四邊形的對角線互相平分. 2、平行四邊形的判定：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形.一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.3、矩形的性質：矩形的四個角都

12、是直角.矩形的對角線互相平分且相等.4、矩形的判定：有三個角是直角的四邊形是矩形.有一個角是直角的平行四邊形是矩形.對角線相等的平行四邊形是矩形.5、菱形的性質:菱形的四條邊相等.菱形的對角線互相垂直平分,并且每一條對角線平分一組對角.6、菱形的判定：四條邊相等的四邊形是菱形.一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.7、正方形的性質:正方形的四個角都是直角.正方形的四條邊都相等.正方形對角線相等,且互相垂直平分,每一條對角線平分一組對角.8、正方形的判定：有一個角是直角的菱形是正方形.有一組鄰邊相等的矩形是正方形.9、等腰梯形的判定：同一條底邊上的兩個角相等的梯形是等

13、腰梯形.兩條對角線相等的梯形是等腰梯形.10、等腰梯形的性質:等腰梯形的同一條底邊上的兩個角相等.等腰梯形的兩條對角線相等.11、梯形中位線定理：梯形中位線平行于梯形的兩底邊，并且等于兩底和的一半.四、相似形與全等形相似形 1、相似多邊形的性質 相似多邊形的對應邊的比相等. 相似多邊形的對應角相等. 相似多邊形的周長比等于相似比,面積比等于相似比的平方.2、相似三角形的判定 如果一個三角形的兩角分別與另一個三角形的兩角對應相等，那么這兩個三角形相似. 如果一個三角形的兩條邊與另一個三角形的兩條邊對應成比例,并且夾角相等,那么這兩個三角形相似. 如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應成

14、比例,那么這兩個三角形相似. 平行于三角形的一邊的直線和其它兩邊相交所構成的三角形與原三角形相似.3、位似圖形：兩個多邊形不僅相似，而且對應頂點的連線相交于一點，對應邊互相平行，像這樣的兩個圖形叫做位似圖形.這個點叫做位似中心. 位似中心可以在兩個圖形的兩側，或兩個圖形的同側，或兩個圖形之間，或圖形內，還可以在其中一個圖形的邊上或頂點. 在平面直角坐標系中,以原點為位似中心,將一個圖形按照一定相似比k放大或縮小，有兩種情況：一種是兩個圖形在原點的同側，這時對應點的坐標比為k，另一種是兩個圖形在原點的異側，這時對應點的坐標比為-k .性質：位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等于相似比.

15、 全等形1、全等多邊形的性質：全等多邊形的對應邊、對應角相等.2、全等三角形的判定： 如果兩個三角形的三條邊分別對應相等，那么這兩個三角形全等. 如果兩個三角形有兩邊及其夾角分別對應相等, 那么這兩個三角形全等. 如果兩個三角形的兩個角及其夾邊分別對應相等, 那么這兩個三角形全等. 有兩個角及其中一個角的對邊分別對應相等, 那么這兩個三角形全等. 如果兩個直角三角形的斜邊及一條直角邊分別對應相等, 那么這兩個直角三角形全等.五、解直角三角形（一）銳角三角函數1、銳角三角函數的定義 （1）銳角A的對邊與斜邊的比叫做A的正弦，記作sinA,即：sinA=（2）銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做A的余弦，記

16、作cosA,即：cosA= (3) 銳角A的對邊與鄰邊的比叫做A的正切，記作tanA,即：tanA=2、特殊角的三角函數值三角函數值 a030456090Sina01Cosa10Tana01不存在3、三角函數值的變化規律及范圍（1）當0a90時，sina,tana隨著a的增大（或減小）而增大（或減小），cosa,cota隨著a的增大（或減小）而減小（或增大）. (2)當0a90時,0sina1,0cosa1.4、互為余角的三角函數之間的關系若A+B=90則sinA=cos(90-A)=cosB,cosA=sin(90-A)=sinB, 6、 同角的三角函數之間的關系 （1） 平方關系：sin2

17、a+cos2a=1 2 商數關系：tana=。 (二)解直角三角形 直角三角形的邊角關系可以從以下幾個方面加以歸納：（1） 三邊之間的關系：a2+b2=c2（2） 銳角之間的關系：A+B=90（3） 邊角之間的關系：sinA=, cosA=, tanA=.六、圓1、圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸. 垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對的兩條弧. 平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的兩條弧. 在同圓或等圓中,相等的圓心角所對的弧相等,所對的弦相等.同圓或等圓中,如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對的其余各組量都分別相等.2、圓是旋轉對稱圖形

18、，把圓繞圓心作任意旋轉不變，因而圓也是中心對稱圖形，圓心為其對稱中心.3、半圓或直徑所對的圓周角都相等，都等于90（直角）. 90的圓周角所對的弦是圓的直徑.4、在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于該弧所對的圓心角的一半；相等的圓周角所對的弧相等.5、不在同一條直線上的三個點確定一個圓.6、切線的判定： 經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線. 與圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線.7、切線的性質：圓的切線垂直于過切點的半徑.8、推論：一條直線若具備過圓心過切點垂直于切線中的任兩條，則剩余一條同時也具備.9、切線長性質定理：從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，

19、這一點和圓心的連線平分這兩條切線的夾角.七、視圖與投影（一）投影：投影是光線(投射線)通過物體,向選定的面(投影面)投射,并在該面上得到圖形的方法.根據光源、投射線和投影面三要素的相對位置，投影可分為中心投影和平行投影1、平行投影：投射線相互平行的投影稱為平行投影（正投影）太陽光線是平行光線,這樣的光線所形成的投影稱為平行投影.由此我們可以得到兩個結論:等高的物體垂直地面放置時,在太陽光下,它們的影子一樣長.等長的物體平行地面放置時,它們在太陽光下的影子一樣長,且影子等于物體本身的長度.2、太陽光線下物體影子的方向和長度變化(北半球)一天之中,由于太陽東升西落,所以早晨人的影子向西,傍晚人的影

20、子向東.但由于我們處在北半球,即使是夏天的正午,由于受太陽直射點的影響,人的影子會略微向北偏移,故一天之中,影子的方向變化為:正西正北正東;一天之中影子的長度變化為:長短-長.3、投影及中心投影的概念、特點投影：物體在太陽光線照射下，會在地面留下它的影子，把物體變成它的影子叫做投影.中心投影：投射線交于一點的投影稱為中心投影若一束光線是從一點出發的,這樣的光線形成的投影稱為中心投影,這個“點”就是中心.中心投影的特點等高的物體垂直地面放置時,在燈光下,離點光源近的物體它的影子短;離點光源遠的物體它的影子長.等長的物體平行地面放置時,一般情況下,離點光源越近,影子越長;離點光源越遠,影子越短,但

21、不會小于物體本身的長度.點光源、物體邊緣的點以及它的影子上的對應點在同一條直線上，根據其中兩個點，就可以求出第三個點的位置.4、視點、視線、視角和盲區觀測點的位置叫做視點，由視點發出的觀測線叫做視線，兩條視線的夾角叫做視角，視線遇到障礙物，會有看不到的地方，稱為盲區.5、燈光下的影子與太陽光下的影子的區別太陽光線是平行的,太陽光下的影子與物體高度成比例;燈光光線是發散的,燈光下的影子與物體高度不成比例.同一時刻,太陽光下的影子都在同一方向,而燈光下的影子則不一定(二).視圖1、視圖的概念：物體向投影面正投影所得到的圖形稱為視圖。如果物體向三個互相垂直的投影面分別投影，所得到的三個圖形攤平在一個

22、平面上，則就是三視圖。即物體的三視圖實際上是物體在三個不同方向的正投影.正投影面上的正投影就是主視圖，水平投影面上的正投影就是俯視圖，側投影面上的正投影就是左視圖從正面、上面和側面（左面或右面）三個不同的方向看一個物體，然后描繪出三張所看到的圖，即視圖.主視圖:從正面看到的圖,稱為主視圖,又叫正視圖. 主視圖反映：上、下 、左、右從左面看到的圖形稱為左視圖,從右面看到的圖形稱為右視圖,左視圖和右視圖統稱為側視圖。左視圖反映：上、下 、前、后俯視圖:從上面向下看到的圖形,稱為俯視圖. 俯視圖反映：前、后 、左、右三視圖的要求:(1)從三個不同的方向觀察;(2)觀察的必須是同一個物體.畫在同一平面上時，都是從