1、第 64 講圓錐曲線的綜合應用2 21. (2014 新課標卷n)設 Fi, F2分別是橢圓 C：拿+ b2=1(ab0)的左、右焦點，M 是C 上一點且 MF2與 x 軸垂直，直線 MFi與 C 的另一個交點為 N.3(1) 若直線 MN 的斜率為 4，求 C 的離心率；(2) 若直線 MN 在 y 軸上的截距為 2，且|MN|= 5|FiN|,求 a, b.- b2IEE3I (1)根據 c=-；a2- b2及題設知 M(c,舌)，b!a 3_因為 2c=4，所以 2b2= 3ac,將 b2= a2-c2代入 2b2= 3ac,c 1 c得 2c2+ 3ac- 2a2= 0，解得或 =2(

2、舍去).a 2 a1故C的離心率為 2.由題意，原點 O 為 F1F2的中點，MF2/y 軸，所以直線 MF1與 y 軸的交點 D(0,2)是線段 MF1的中點, b2故一=4,即 b2= 4a,a由 |MN|= 5|F1N|得|DF1|= 2|F1N|.設 N(X1, y1),由題意知 y10，則3x1= 2c,即2y3= 1,9c2丄4a2+ b2=1.2 設 P 為第三象限內一點且在橢圓C 上，直線 PA 與 y 軸交于點 M，直線 PB 與 x 軸交于點 N，求證：四邊形 ABNM 的面積為定值.(1)由題意得 a = 2, b= 1, 所以橢圓C的方程為 X+y2= 1. 又 c =

3、 a2 b2= .3,所以離心率e=；=寧.證明：設 P(x0, y0)(x00 , y00)與曲線 C 交于 E, F，當四邊形 AEBF 面積最大時，求 k 的值.(1)設 M(x, y), P(xo, yo),x= xo,xo= x,則得 1y= 2yo,yo= 2y,而 P(xo, yo)在圓 x2+ y2= 1 上，即 x2+ y2= 1，故 x2+ 4 = 1,此即曲線 C 的方程.令 x = 0,得 yM=，從而 |BM|= 1 yM= 1 + xo 2xo 2yo 1直線 PB 的方程為 y=x+ 1.xoxo令 y = o,得XN=-,yo 1八十xo從而 |AN|= 2 X

4、N= 2+.yo 1所以四邊形 ABNM1 S= AN I |BM |1xo=-2+ -2yo 1222yo1+ xo-2xo+ 4yo+ 4xoyo 4xo 8yo+ 42 xoyo xo 2yo+ 22xoyo 2xo 4yo+ 4= =2.xoyo xo 2yo+ 2從而四邊形 ABNM 的面積為定值.3. (2o17 湖南省六校聯考)在圓 x2+ y2= 1 上任取一個動點 P,作 PQ 丄 x 軸于 Q, M 滿足 QM = 2QP，當 P 在圓上運動時,由知 A(1,0), B(0,2),則直線 AB 的方程為 2x + y-2= 0.設 E(xi, kxi), F(X2, kx2

5、),其中 xiX2,y2將 y = kx 代入橢圓的方程 x2+ = 1,2整理得(k2+ 4)x2= 4，故 X2= xi=- ，yjk2+ 4 又點E, F到直線 AB 的距離分別為|2xi+ kxi 2| 2 2 + k+ k2+ 4hi=V5yj5 k2+ 4|2x2+ kx2 2| 2 2 + kk2+ 4h2 =:=-S=1AB|(hi+ h2) = 2 22； 5 k2+ 4；k2+ 40)，即當 k= 2 時，上式取生耳 所以當四邊形 AEBF 面積最大時，k= 2.(1)求直線 AP 斜率的取值范圍;求|PA| |PQ|的最大值.21x 一_41k= i =x2,x + 2i

6、 3i因為2x2，所以ix 2i,所以直線AP斜率的取值范圍是(i,i).i i kx y +2k+4= 0,(2)聯立直線 AP 與 BQ 的方程x+ ky*k 2 = 0, 5 k2+ 4|AB|=22+ i= .5,所以四邊形 AEBF 的面積為等號，4. (2017 浙江卷)如圖，已知拋物線 x2= y,y)( - 2x3)過點B作直線AP的垂線，垂足為點 A( - 2 4), B(3，9)，拋物線上的點P(x,K33I (i)設直線 AP 的斜率為 k,k2+ 44+ k2+ 4k=2=21 +J:4ki+k2+ 4=2Q.k?+ 4k + 3解得點Q的橫坐標是xQ=亍+因為 |FA|=1 + k3(x+ 寺= 1+ k2(k+ 1),因此當 k= 2 時,|PA| |PQ|取得最大值 亦.|PQ|=1+ k2(xQ x)= k- 1 k+ 12所以 |PA| |PQ =