1、第17章 數制編碼及邏輯代數17.1 數字電路中的數制及相互轉換所謂數制就是記數的方法,它是進位記數制的簡稱在數字電路中,常用的有十進制二進制八進制和十六進制1.十進制 十進制是以10為基數的計數體制在十進制中,每一位有0123456789十個數碼,它的進位規律是逢十進一,即1+9=10在十進制數中,數碼所處的位置不同時,它所代表的數值是不同的,如(246.134)10=2×102+4×101+6×100+1×10-1+3×10-2+4×10-3上式稱為十進制數的按權展開式式中102101100為整數部分百位十位個位的權,而10-11

2、0-210-3為小數部分十分位百分位和千分位的權,它們都是10的冪數碼與權的乘積,稱為加權系數,因此,十進制數的數值為各位加權系數之和2 二進制八進制和十六進制二進制是以2為基數的計數體制在二進制中,每位只有0和1兩個數碼,它的進位規律是逢二進一,即1+1=10在二進制數中,各位的權都是2的冪,如 (1001.01)2 =1×23+0×22+0×21+1×20+0×2-1+1×2-2 =(9.25)10式中整數部分的權分別為23222120,小數部分的權分別為2-12-2八進制是以8為基數的記數體制,在八進制中,每位有01234567

3、八個數碼,它的進位規律是逢八進一,各位的權為8的冪如八進制數(437.25)8可表示為(437.25)8=4×82+3×81+7×80+2×8-1+5×8-2=(287.328 125)10式中8281808-18-2 分別為八進制數各位的權十六進制是以16為基數的記數體制,在十六進制中,每位有0123456789A(10)B(11)C(12)D(13)E(14)F(15)十六個不同的數碼,它的進位規律是逢十六進一,各位的權為16的冪如十六進制數(3BE.C4)16可表示為(3BE.C4)16=3×162+11×161+14

4、×160+12×16-1+4×16-2=(958.765 625)10式中16216116016-116-2 分別為十六進制數各位的權表中列出了十進制二進制八進制十六進制不同數制的對照關系表 十進制二進制八進制十六進制對照表十進制二進制八進制十六進制十進制二進制八進制十六進制012345670000000100100011010001010110011101234567012345678910111213141510001001101010111100110111101111101112131415161789ABCDEF不同數制間的轉換1. 非十進制轉換為十進制

5、可以將非十進制數寫為按權展開式,求出各加權系數之和,就是與其對應的十進制數2. 十進制轉換為非十進制整數部分轉換可用“除基取余法”,即將原十進制數連續除以要轉換的記數體制的基數,每次除完所得余數就作為要轉換數的系數(數碼)先得到的余數為轉換數的低位,后得到的為高位,直到除得的商為0為止這種方法概括起來可說成“除基數,得余數,作系數,從低位到高位”符號LSB表示最低位,符號MSB表示最高位3. 二進制與八進制十六進制數間的轉換由于八進制的基數8=23 ;十六進制的基數16=24 故每位八進制數碼都可以用3位二進制數來表示;每位十六進制數碼都可以用4位二進制數來表示所以二進制數轉換為八進制數的方法

6、是:整數部分從低位開始,每三位二進制數為一組,最后不足三位的,則在高位加0補足三位為止;小數點后的二進制數則從高位開始,每三位二進制數為一組,最后不足三位的,則在低位加0補足三位,然后寫出每組對應的八進制數,按順序排列即為所轉換成的八進制數同理,二進制數轉換為十六進制數與上述方法一樣,所不同的是每四位為一組 例(11100101.11101011)2 =(011 100 101.111 010 110)2 =(345.726)8上述方法是可逆的,將八進制數的每一位寫成3位二進制數;十六進制數的每一位寫成4位二進制數,左右順序不變,就能從八進制十六進制直接轉化為二進制如(745.361)8 =(

7、111 100 101.011 110 001)2 =(111100101.011110001)217.2 常用代碼17.2.1 二十進制碼二進制編碼方式有多種,二十進制碼,又稱BCD碼(Binary-Coded-Decimal),是其中一種常用的碼BCD碼用二進制代碼來表示十進制的09十個數要用二進制代碼來表示十進制的09十個數,至少要用4位二進制數4位二進制數有16種組合,可從這16種組合中選擇10種組合分別來表示十進制的09十個數選哪10種組合,有多種方案,這就形成了不同的BCD碼具有一定規律的常用的BCD碼見表1注意,BCD碼用4位二進制碼表示的只是十進制數的一位如果是多位十進制數,應

8、先將每一位用BCD碼表示,然后組合起來表 常用BCD碼十進制數8421碼2421碼5421碼余三碼01234567890 0 0 00 0 0 10 0 1 00 0 1 10 1 0 00 1 0 10 1 1 00 1 1 11 0 0 01 0 0 10 0 0 00 0 0 10 0 1 00 0 1 10 1 0 01 0 1 11 1 0 01 1 0 11 1 1 01 1 1 10 0 0 00 0 0 10 0 1 00 0 1 10 1 0 01 0 0 01 0 0 11 0 1 01 0 1 11 1 0 00 0 1 10 1 0 00 1 0 10 1 1 00 1

9、 1 11 0 0 01 0 0 11 0 1 01 0 1 11 1 0 0位權8 4 2 1b3b2b1b02 4 2 1b3b2b1b054 2 1b3b2b1b0無權例7 將十進制數83分別用8421碼2421碼和余3碼表示解:由表 可得(83)D=(1000 0011)8421(83)D=(1110 0011)2421(83)D=(1011 0110)余317.2.2 可靠性代碼還有一種常用的四位無權碼叫格雷碼(Gray),其編碼如表2所示這種碼看似無規律,它是按照“相鄰性”編碼的,即相鄰兩碼之間只有一位數字不同格雷碼常用于模擬量的轉換中,當模擬量發生微小變化而可能引起數字量發生變化

10、時,格雷碼僅改變1位,這樣與其他碼同時改變兩位或多位的情況相比更為可靠,可減少出錯的可能性表2 格雷碼十進制數G3 G2 G1 G001234567891011121314150 0 0 00 0 0 10 0 1 10 0 1 00 1 1 00 1 1 10 1 0 10 1 0 01 1 0 01 1 0 11 1 1 11 1 1 01 0 1 01 0 1 11 0 0 11 0 0 017.2.3字符代碼二進制代碼也可以用來表示字符例如,計算機內常用的ASCII(American Standard Code for In formation Interchange)碼,是美國標準信

11、息交換碼的縮寫該代碼由7位二進制碼組成,共有27=128種狀態,可以用來表示128個字符,這些字符包括09這10個十進制數26個英文字符及其他一些符號和標記,見表ASCII碼常用在計算機的輸入輸出設備上17.3 三種基本邏輯關系和運算(1)基本概念邏輯代數又稱為布爾代數它描述客觀事物間的邏輯關系與普通代數一樣,邏輯代數也用字母表示變量,稱為邏輯變量邏輯變量的取值只有兩個值,即0和1但這兩個值不具有數量大小的意義,僅表示客觀事物的兩種相反的狀態,如開關的閉合與斷開;電位的高與低等因此,邏輯代數有其自身獨立的規律和運算法則,而不同于普通代數數字電路在早期又叫開關電路,因為它主要是由一系列開關元件組

12、成,具有相反的二狀態特征,所以特別適于用邏輯代數來進行分析和研究,因此邏輯代數廣泛應用于數字電路(2)基本邏輯運算基本的邏輯關系有與邏輯或邏輯和非邏輯三種,與之對應的邏輯運算為與運算(邏輯乘)或運算(邏輯加)非運算(邏輯非)1)與邏輯若決定某一事物結果的所有條件同時具備時,結果才會發生,這種因果關系稱為與邏輯開關(條件)A與B都閉合時,燈L亮(結果)才會發生,那么L與A和B的關系就是與邏輯關系對邏輯變量進行邏輯賦值,1表示燈亮及開關閉合,0表示燈滅及開關斷開則L與A和B的關系可寫成一個邏輯函數表達式就是與邏輯的函數表達式,式中“·”表示“與”運算顯然對于輸入變量的不同取值,輸出變量均

13、有與其對應的邏輯值把輸入輸出變量所有相互對應的邏輯值(狀態)列在一個表格內,這種表格稱為邏輯函數的真值表,簡稱真值表二輸入變量與邏輯函數的真值表如表所示與邏輯函數真值表邏輯符號及規律真值表邏輯符號邏輯規律A BL有0出0全1出10 00 11 01 10001對于多變量的邏輯乘可寫成,簡記為,其邏輯符號如圖所示2) 或邏輯若決定某一事物結果的諸條件中只要有一個或一個以上條件具備時,結果就會發生,這種因果關系叫做或邏輯圖所示電路就是一個或邏輯事例只要開關A或者B 有一個或者兩個都合上時,燈L就會亮邏輯變量賦值同上述與邏輯,則可得到或邏輯的不同表示方法如表所示表 或邏輯的幾種表達方法邏輯表達式邏輯真值表邏輯符號邏輯規律L=A+BA BL有1出1全0出00 00 11 01 10111邏