1、學(xué)科：數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容：等腰三角形新課指南1.知識(shí)與技能：（1）經(jīng)歷獲得知識(shí)的過程，并通過觀察、分析、想象、探索，掌握等腰三角形的性質(zhì)及判定；（2）了解等邊三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)的形成過程，培養(yǎng)豐富的想像力，增強(qiáng)審美意識(shí).2.過程與方法：經(jīng)歷探索等腰（邊）三角形的性質(zhì)及判定，探索應(yīng)用等腰三角形知識(shí)解決實(shí)際問題，尤其是用軸對(duì)稱的性質(zhì)來解釋等腰（或等邊）三角形的相關(guān)性質(zhì)，進(jìn)一步體會(huì)從一般到特殊，再?gòu)奶厥獾揭话愕难芯渴挛锏霓q證方法.3.情感態(tài)度與價(jià)值觀：培養(yǎng)學(xué)生合作交流、體驗(yàn)成功、體驗(yàn)審美、增強(qiáng)自信心，同時(shí)，充分體會(huì)分類討論數(shù)學(xué)思想在解決問題中的廣泛應(yīng)用.4.重點(diǎn)與難點(diǎn)；重點(diǎn)是等腰三角形的性質(zhì)和判定.

2、難點(diǎn)是由軸對(duì)稱知識(shí)來理解和掌握等腰三角形的性質(zhì)和判定.教材解讀 精華要義數(shù)學(xué)與生活如圖1461所示，位于在海上A，B兩處的兩艘救生船接到O處遇險(xiǎn)船只的報(bào)警，當(dāng)時(shí)測(cè)得A=B，如果這兩艘救生船以同樣的速度同時(shí)出發(fā)，能不能大約同時(shí)趕到出事地點(diǎn)（不考慮風(fēng)浪因素）？思考討論 如果兩艘船以同樣的速度同時(shí)出發(fā)，并且同時(shí)趕到出事地點(diǎn)，說明兩艘船的航程相同，即OA=OB，而已知A=B，能直接由此判斷出OA=OB嗎？知識(shí)詳解知識(shí)點(diǎn)1 等腰三角形的概念有兩條邊相等的三角形，叫做等腰三角形，相等的兩條邊叫做腰，另一條邊叫做底邊，兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫做底角.如圖1462所示，在ABC中，若AB=AC，

3、則ABC是等腰三角形，其中AB，AC叫做腰，BC叫做底邊，A叫做頂角，B和C叫做底角.知識(shí)點(diǎn)2 等腰三角形的性質(zhì)性質(zhì)1：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)寫成“等邊對(duì)等角”）.性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合.【說明】 等腰三角形的兩個(gè)性質(zhì)都可以由證明兩個(gè)三角形全等而證實(shí).例如：如圖1463所示，在ABC中，AB=AC.求證B=C.證明：過點(diǎn)A作BC邊上的中線AD.BD=DC.在ABD和ACD中，ABDACD（SSS）.B=C（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）.探究交流上例中并沒有直接全等的三角形，而是通過作輔助線“BC邊上的中線AD”來構(gòu)造出兩個(gè)全等的三角形，再用全等三角形

4、的性質(zhì)證明出“B=C”.想一想，本題還有沒有作其他輔助線的方法？在本題中能否進(jìn)一步證明AD是BAC的平分線和BD邊上的高？試試看.點(diǎn)撥 由等腰三角形的性質(zhì)2可知，等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱軸是底邊上的中線（頂角平分線、底邊上的高）所在直線.知識(shí)點(diǎn)3 等腰三角形的判定定理如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)寫成“等角對(duì)等邊”）.例如：圖1464所示，在ABC中，B=C.求證AB=AC.證明：作ADBC，垂足為D.ADB=ADC=90°.在RtADB和RtADC中，RtADBRtADC（AAS）.AB=AC（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）.知識(shí)點(diǎn)4 等邊三角形的概念

5、三條邊都相等的三角形，叫做等邊三角形.知識(shí)點(diǎn)5 等邊三角形的性質(zhì)和判定.等邊三角形的性質(zhì)和判定.（1）等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)內(nèi)角都等于60°（2）三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形（3）有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形.在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.典例剖析 師生互動(dòng)基礎(chǔ)知識(shí)應(yīng)用題本節(jié)知識(shí)的基礎(chǔ)應(yīng)用主要包括：（1）等腰三角形的性質(zhì)和判定；（2）等邊三角形的性質(zhì)；（3）三角形的內(nèi)角和；（4）三角形三邊關(guān)系.例1 已知三角形的一個(gè)內(nèi)角是110°，求另外兩個(gè)角的度數(shù).(分析)因?yàn)榈妊切蔚膬?nèi)角和

6、是180°，若110°是底角，則110°×2=220°180°，所以110°只能是頂角.故底角是=35°.解：由題意可知，110°是頂角，設(shè)底角為，則2+110°=180°，=35°.這個(gè)三角形另外兩個(gè)角是35°，35°.例2 等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角是80°，求它的另外兩個(gè)角.（分析）用分類討論的思想方法來思考本題.若頂角是80°，則設(shè)底角為，由三角形內(nèi)角和得2+80°=180°，=50°.若底角是80

7、76;則設(shè)項(xiàng)角為，由三角形內(nèi)角和得2×80°+=180°，=20°.解：若頂角是80°，設(shè)底角為，則有2+80°=180°，=50°.若底角是80°，設(shè)頂角為，則有80°×2+=180°，=20。這個(gè)等腰三角形的另外兩個(gè)角是50°，50°或80°，20°.學(xué)生做一做 （1）若等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為40°，則它的頂角為 ；（2）若等腰三角形的兩個(gè)內(nèi)角和為100°，則它的頂角為 .老師評(píng)一評(píng) （1）只告訴一個(gè)內(nèi)角為40&

8、#176;，并沒有說明是哪一個(gè)內(nèi)角，所以應(yīng)分兩種情況來討論：若頂角為40°，則40°+2=180°，=70°。符合要求，直接填上即可；若底角為40°，則頂角為180°-2×40°=100°，符合要求.應(yīng)填40°或100°.（2）已知兩個(gè)內(nèi)角的和為100°，三角形的內(nèi)角和為180°，所以可知等腰三角形一個(gè)內(nèi)角為180°-100°=80°，同樣用分類討論方法來考慮：若80°是頂角，可直接填上即可；若80°是底角，則頂角是

9、100°-80°=20°.應(yīng)填80°或20°.例3 等腰三角形的底角與頂角的度數(shù)之比為21，則頂角為( )A.72°B.36°C.36°或72°D.18°(分析) 設(shè)頂角為，則底角為2，由三角形的內(nèi)角和可知，+2×2=180°，5=180°，=36°，這個(gè)三角形的頂角為36°，故正確答案為B項(xiàng).例4 若等腰三角形的底邊長(zhǎng)是8cm，腰長(zhǎng)是5cm，則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)是( )A.21cmB.18cmC.18cm或21cmD.13cm或26cm（分析

10、）由題意可知，8+5+5=18(cm)，故正確答案為B項(xiàng).學(xué)生做一做 等腰三角形一邊長(zhǎng)為8，另一邊長(zhǎng)為4，則它的周長(zhǎng)為 .老師評(píng)一評(píng) 題中給出等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別是8和4，但并沒有給出哪一個(gè)是腰，哪一個(gè)是底，要分兩種情況：若腰是8，底是4，則另一腰是8，有4+88，滿足三角形三邊關(guān)系，8×2+4=20；若腰是4，底是8，則另一腰是4，有4+4=8，不滿足三角形三邊關(guān)系，這種情況不存在.這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為20.小結(jié) 已知等腰三角形兩邊，求第三邊或周長(zhǎng)時(shí)，要全面考慮第三邊的情況，求出第三邊要滿足三角形的三邊關(guān)系，所以上題可以這樣考慮：設(shè)這個(gè)等腰三角形的第三邊為x，由三角形三邊關(guān)系可知，

11、8-4x8+4，即4x12，又因?yàn)檫@個(gè)三角形是等腰三角形，所以第三邊只能考慮4或8，由4x12，x=8，這個(gè)三角形的第三邊為8，其周長(zhǎng)為8×2+4=20.例5 如果等腰三角形的三邊長(zhǎng)均為整數(shù)，且它的周長(zhǎng)為10cm，那么它的三邊長(zhǎng)分別為. .（分析）設(shè)這個(gè)三角形的腰長(zhǎng)為xcm，則底邊長(zhǎng)為10-2x=2（5-x）cm.共有4種情況：當(dāng)x=1cm時(shí)，10-2x=8(cm)；當(dāng)x=2cm時(shí)，10-2x=6(cm)；當(dāng)x=3cm時(shí)，10-2x=4(cm)；當(dāng)x=4cm時(shí)，10-2x=2(cm).又由三角形三邊關(guān)系可知，不滿足三角形三邊關(guān)系.這個(gè)三角形的三邊有兩種；3cm，3cm，4cm或4cm

12、，4cm，2cm.答案：3cm，3cm，4cm或4cm，4cm，2cm綜合應(yīng)用題本節(jié)知識(shí)的綜合應(yīng)用主要包括：（1）等腰（邊）三角形的性質(zhì)和判定的綜合應(yīng)用；（2）與方程、不等式知識(shí)的綜合應(yīng)用；（3）與三角形全等的綜合應(yīng)用.例6 如圖1465所示，在ABC中，AB=AC=CD，AD=DB，求BAC的度數(shù).（分析）本題由已知條件知，圖中的三個(gè)三角形都是等腰三角形，相等的角或有關(guān)系的角較多，為了明確它們之間的關(guān)系，這類題往往要設(shè)其中一個(gè)角為，然后利用將其余的角表示出來.解：AB=AC=CD，AD=DB1=2，B=3，B=C.設(shè)B=，則B=3=C=，1=2=3+B=2.在ABC中，B+C+1+3=180

13、°，即+2+=180°，5=180°，=36°.BAC=3+1=+2=3=3×36°=108°.BAC的度數(shù)為108°.學(xué)生做一做 （1）如圖1466所示，已知AB=AC，BC=CD=AD，求B的度數(shù)；（1）如圖1467所示，已知BD=CD=AC，B=18°，求ACB的度數(shù).老師評(píng)一評(píng) （1）（2）題中都有幾個(gè)等腰三角形，有許多相等的角，可設(shè)其中某一個(gè)角，再把其余的角表示出來.（1）AB=AC，BC=CD=AD，B=ACB，2=B，1=A.設(shè)1=A=，則2=B=2a，3=B-1=a.在BCD中，B+2+3

14、=180°，2+2+=180°，5=180°，=36°，B=2=2×36°=72°.（2）BD=CD=AC，1=B，2=A.又2=1+B=2B，B=18°，2=2×18°=36°.A=36°.ACB=180°-A-B=180°-36°-18°=126°.例7 如圖1468所示，在ABC中，AB=AC，ADBC于點(diǎn)D，E是AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接BE，CE.求證BE=CE.（分析）本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)和三角形全等的判定.證

15、明：AB=AC，ABC=ACB.又ADBC，ADB=ADC=90°.在RtABD和RtACD中，RtABDRtACD（HL）.BAD=CAD（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）.在ABE和ACE中，ABEACE（SAS）.BE=CE（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）.例8 如圖1469所示，在ABC中，AB=AC，AE是BAC外角DAC的平分線.試判斷AF與BC的位置關(guān)系.（分析）主要考查等腰三角形性質(zhì)的應(yīng)用.解：AE與BC的位置關(guān)系是AEBC.理由如下：AB=AC，B=C.又DAC=B+C=2C，AE是DAC的平分線；2EAC=DAC，C=EAC，AEBC（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）.學(xué)生做一做 （1

16、）如圖1469所示，在ABC中，AB=AC，AEBC.求證AE是BAC的外角DAC的平分線；（2）如圖1469所示，在ABC中，AE是BAC的外角DAC的平分線，且AEBC.試判斷ABC的形狀.老師評(píng)一評(píng) 本題意在考查如果把已知問題中的條件與結(jié)論互換，看得到的新命題是否成立，有利于培養(yǎng)學(xué)生靈活分析問題和解決問題的能力.（1）AB=AC，B=C.又AEBC，EAC=C（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），DAE=B（兩直線平行，同位角相等）.EAC=DAE.AE是DAC的平分線.（2）ABC是等腰三角形.理由如下：AE是DAC的平分線，DAE=EAC.又AEBC，DAE=B，EAC=C，B=C，AB=AC

17、（等角對(duì)等邊）.ABC是等腰三角形.例9 如圖1470所示，ABD和ACE是等邊三角形.求證BE=CD.（分析）欲證BE=CD，只需證明ADCABE即可.證明：ABD和ACE是等邊三角形，DAB=EAC=60°，AD=AB，AC=AEDAB+BAC=EAC+BAC，即DAC=BAE.在DAC和BAE中，DACBAE（SAS）.DC=BE（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）.學(xué)生做一做 如圖14-71所示，B，C，D三點(diǎn)在一條直線上，ABC和ECD是等邊三角形.求證BE=AD.老師評(píng)一評(píng) 欲證BE=AD，只需證明BCEACD即可.ABC和ECD是等邊三角形，ACB=ECD=60°，BC

18、=AC，EC=CD.ACB+ACE=ECD+ACE，即BCE=ACD.在BCE和ACD中，BCEACD（SAS）.BE=AD（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）.小結(jié) 在完成類似的幾何問題時(shí)，要注意靈活，舉一反三，這樣就可以避免題海戰(zhàn)術(shù)，能夠以點(diǎn)代面，同一類問題研究透徹，類似問題便能迎刃而解.例10 等腰三角形ABC的周長(zhǎng)為10cm，底邊BC長(zhǎng)為ycm，腰AB長(zhǎng)為xcm.（1）寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2）求x的取值范圍；（3）求y的取值范圍.（分析）本題主要考查代數(shù)與幾何知識(shí)的綜合應(yīng)用，解題時(shí)注意相關(guān)的幾何知識(shí).解：（1）y=10-2x.（2）x，y為線段，x0，y0.10-2x0，Ox5.又x，y

19、為三角形邊長(zhǎng)，x+xy，即2x10-2x.由可得2.5x5.x的取值范圍是2.5x5.（3）2.5x5，52x10，-10-2x-5，O10-2x5，Oy5.y的取值范圍是Oy5.例11 如圖14-72所示，在ABC中.AB=AC，BDAC，垂足為D，求DBC與A的關(guān)系.圖14-72解：AB=AC，ABC=C.又A+ABC+C=180°，C=（180°-A）=90°-A.又BDAC.BDC=90°.DBC=90°-C=90°-（90°-A）=A，DBC=A.即等腰三角形腰上的高與底邊的夾角等于該等腰三角形頂角的一半.學(xué)生做一

20、做 （1）在ABC中，AB=AC，BDAC，垂足為D，若DBC=25°，則A= ；（2）在ABC中，AB=AC，若B=70°，BDAC，垂足為D，則DBC= .老師評(píng)一評(píng) 由例11的結(jié)論得出；（1）題中，DBC=25°=A，A=50°.（2）題中，AB=AC，B=C=70°.A=40°.DBC=20°.例12 如圖1473所示，在ABC中，C=90°，BAC=60°，AB的垂直平分線交AB于D，交BC于E，若CE=3cm，求BE的長(zhǎng).（分析）主要應(yīng)用線段垂直平分線的性質(zhì)和30°角的直角三角形的性

21、質(zhì).解：連接AE，C=90°，BAC=60°，B=30°.又DE是AB的垂直平分線，EA=EB.EAB=B=30°.CAE=30°.AE是CAB的平分線.又C=90°，EDAB，DE=EC=3cm.在RtDBE中，B=30°，EDB=90°，DE=BE，BE=2×3=6(cm).學(xué)生做一做 如圖1474所示，在RtABC中，C=90°，B=15°，AB的垂直平分線分別與BC，AB交于M，N.求證MB=2AC.老師評(píng)一評(píng) 連接MA，C=90°，B=15°，CAB=75

22、°.又MN是AB的垂直平分線，MA=MB.MAB=B=15°.CAM=CAB-MAB=75°-15°=60°.CMA=30°.在RtCMA中，C=90°，CMA=30°，CA=MA.CA=MB.即MB=2AC.小結(jié) 在直角三角形中證明線段的一半或2倍關(guān)系時(shí)，經(jīng)常考慮30°角所對(duì)的直角邊.探索與創(chuàng)新題主要考查：（1）利用等腰三角形知識(shí)探索和創(chuàng)新的能力；（2）圖形分割；（3）輔助線的靈活應(yīng)用；（4）探討結(jié)論性問題等。例13 如圖14-75所示，已知點(diǎn)O是ABC，ACB的平分線的交點(diǎn)，且ODAB，OEAC.（1

23、）圖形中共有哪幾個(gè)等腰三角形？選一者證明之；（2）試說明ODE的周長(zhǎng)與BC的關(guān)系；（3）若BC=12cm，則ODE的周長(zhǎng) .（分析）本題（1）問主要是等腰三角形的判定；（2）問是探討兩者間的數(shù)量關(guān)系，由（1）可得；（3）問由（2）問的結(jié)果得出.解：（1）圖形中共有兩個(gè)等腰三角形，它們分別是OBD和OCE.以O(shè)BD為例.BO平分ABC，1=2.又ODAB，1=3.2=3.DB=OD.OBD是等腰三角形.（2）由（1）可知，DB=DO.同理EO=EC.ODE的周長(zhǎng)=OD+DE+EO=DB+DE+EC=BC.ODE的周長(zhǎng)與BC的關(guān)系是：ODE的周長(zhǎng)=BC.（3）由（2）可知，ODE的周長(zhǎng)=BC.又B

24、C=12cm，ODE的周長(zhǎng)=12cm.學(xué)生做一做 如圖1476所示，在ABC中，BO，CO分別為ABC，ACB的平分線，經(jīng)過點(diǎn)O的直線DEBC，交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E.（1）圖中等腰三角形分別是 ；（2）DE與BD+EC的關(guān)系是：BD= .老師評(píng)一評(píng) 欲證等腰三角形，需證角相等.（1）DEBC，DOB=OBC.又BO平分ABC，ABO=OBC.DOB=ABO.DB=DO.DBO是等腰三角形.同理EO=EC.EOC是等腰三角形.（2）DE=DO+OE=BD+EC，DE=BD+EC.例14 如圖1477所示，在ABC中，ACB=90°，BD=BC，AE=AC.試問：DCE是否與A有關(guān)

25、？如果無關(guān)，求DCE的大小.解：DCE與A無關(guān)，DCE=45°.理由如下：BD=BC，BDC=BCD.BDC=（180°-B）=90°-B.又AE=AC，AEC=ACE.AEC=（180°-A）=90°-A.AEC+BDC=（90°-A）+（90°-B） =180°-（A+B）.又ACB=90°，BDC+AEC=180°-×90°=135°.BDC+AEC=135°.DCE=45°.例15 如圖1478所示，在ABC中，ADBC于D，B=2C.求

26、證AB+BD=CD.（分析）如何利用條件B=2C，又如何得到AB+BD，不同的思考方向，會(huì)找到不同的解題方法.證明：在CD上截取DE=DB，連接AE，ADBC，AE=AB.B=AEB.又AEB=C+CAE=2C，CAE=C.AE=EC.AB+BD=AE+BD=EC+ED=CD.AB+BD=CD.例16 （2003·杭州）如圖1479所示，AOP=BOP=15°，PCOA，PDOA，若OC=4，則PD等于( )A.4B.3C.2D.1（分析）本題中有角平分線、平行線，這是等腰三角形的重要形成條件，另外，PDOA于D，顯然需要作另外一個(gè)垂直，這是角平分線性質(zhì)的一個(gè)重要應(yīng)用.如圖

27、1480所示，過點(diǎn)P作PEOB于E.又OP平分BOA，PDOA于D.PD=PE.PCOA，2=3.又1=2，1=15°，3=15°，CO=CP.4=1+3=21=15°×2=30°.在RtCPE中，4=30°，CEP=90°，PE=PC=OC=×4=2.PD=2，故正確答案為C項(xiàng).學(xué)生做一做 如圖1481所示，已知矩形ABCD，沿對(duì)角線AC把DAC翻折，AD與BC相交于點(diǎn)E.判斷AEC的形狀.老師評(píng)一評(píng) AEC是等腰三角形，關(guān)鍵是證明EAC=ECA.理由如下：由題意可知，ADCADC，DAC=DAC.又ADBC，D

28、AC=ACE.DAC=ACE.EA=EC.EAC是等腰三角形.小結(jié) （1）證明線段相等是最基本的幾何問題，目前常用證法有：若兩條線段屬于兩個(gè)三角形，則考慮對(duì)應(yīng)的三角形全等；若兩條線段是同一個(gè)三角形兩邊，則考慮用等角對(duì)等邊證明；尋找中間線段，通過等量代換來證明.（2）類似地，我們可以對(duì)證明角相等，等邊三角形的判定作歸納總結(jié).在證明等腰三角形時(shí)，常需應(yīng)用作輔助線構(gòu)造全等三角形，進(jìn)而應(yīng)用等腰三角形的性質(zhì)為題目服務(wù)，常用的構(gòu)造方法有：“角平分線+平行線”構(gòu)造等腰三角形；“角平分線+垂線”構(gòu)造等腰三角形；用“垂直平分線”構(gòu)造等腰三角形；用“三角形中角的2倍關(guān)系”構(gòu)造等腰三角形.中考展望 點(diǎn)擊中考中考命題

29、總結(jié)與展望這部分內(nèi)容在中考中多以填空、選擇的形式出現(xiàn)，在綜合題中，等腰三角形的性質(zhì)和判定的知識(shí)較為常見。中考試題預(yù)測(cè)例1 （2004·黃岡）如圖1482所示，在ABC中，AB=AC，BAC=120°，AC的垂直平分線EF交AC于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F.求證BF=2CF. （分析）證線段2倍關(guān)系，通常考慮在直角三角形中是否有30°角.證明：如圖1483所示，連接AF，AB=AC，BAC=120°，B=C=30°.又EF是AC的垂直平分線，F(xiàn)A=FC.C=FAC=30°，BAF=BAC-FAC=120°-30°=90

30、76;.在RtBAF中，BAF=90°，B=30°，AF=BF.CF=BF.BF=2CF.例2 （2004·四川）如圖1484所示，D是ABC邊上的中點(diǎn)，DEAC，DFAB，垂足分別為E，F(xiàn)，且BF=CE.求證：（1）ABC是等腰三角形；（2）當(dāng)A=90°時(shí)，試判斷四邊形AFDE是什么形狀的四邊形.（分析）（1）只需證BFDCED，證B=C即可.（2）只需證鄰邊相等，因?yàn)猷忂呄嗟鹊拈L(zhǎng)方形是正方形.證明：（1）DFAB，DEAC，BFD=CED=90°.又D是BC的中點(diǎn)，BD=CD.在RtBFD和RtCED中，RtBFDRtCED（HL）.B=C

31、（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）.AB=AC（等角對(duì)等邊）.ABC是等腰三角形.解：（2）當(dāng)A=90°時(shí)，四邊形AFDE是正方形.理由如下：AFD=AED=A=90°，四邊形AFDE是長(zhǎng)方形.由（1）知BFDCED，F(xiàn)D=ED.四邊形AFDE是正方形.例3 (2004·陜西)如圖1485所示，在銳角三角形ABC中，CD，BE分別是AB，AC邊上的高，且CD，BE交于一點(diǎn)P，若A=50°，則BPC的度數(shù)是( )A.150°B.130°C.120°D.100°（分析）本題主要考查：（1）直角三角形兩銳角互余；（2）三角形內(nèi)角

32、和是180°.具體過程如下：BEAC，CDAB，AEB=ADC=90°.又A=50°，ABE=ACD=90°-50°=40°.又A=50°，ABC+ACB=180°-A=130°.PBC+PCB=（ABC+ACB）-（ABE+ACD） =130°-（40°+40°）=50°.BPC=180°-（PBC+PCB）=180°-50°=130°.BPC=130°.故正確答案為B項(xiàng).例4 （中考預(yù)測(cè)題）如圖1486所示，在梯

33、形ABCD中，AB=AD，ADBC，A=100°，試求DBC的度數(shù).（分析）本題要求一個(gè)角的度數(shù)，已知條件中的ADBC恰與角有密切聯(lián)系，所以應(yīng)該充分利用.解：由AD=AB知，ADB=ABD（等腰三角形的底角相等），由ADBC知，ADB=DBC（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）.可見ABD=DBC.而A+ABC=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），A=100°，所以100°+2DBC=180°.可以得出DBC=40°.例5 （2004·青海）如圖1487所示，把一張平行四邊形紙片ABCD沿BD對(duì)折，使C點(diǎn)落在E處，BE與AD相交于點(diǎn)

34、O，若DBC=15°，則BOD= .（分析）由題意可知BDCBDE.DBC=DBE.又ADBC，ODB=DBC.OBD=ODB.又DBC=15°，OBD=ODB=15°.BOD=180°-15°×2=150°.課堂小結(jié) 本節(jié)歸納本節(jié)主要學(xué)習(xí)了：（1）等腰三角形的概念、性質(zhì)和判定；（2）等邊三角形的概念、性質(zhì)和判定；（3）直角三角形（有一個(gè)角是30°的直角三角形）的性質(zhì).習(xí)題選解 課本習(xí)題課本第149151頁(yè)習(xí)題14.31.（1）35°，35°（2）80°，20°或50

35、6;，50°2.證明：ADBC，ADB=DBC.又BD平分ABC，ABD=DBC.ADB=ABD，AB=AD（等角對(duì)等邊）.3.解：五角星的五個(gè)角都是頂角為36°的等腰三角形，每個(gè)底角的度數(shù)是（180°-36°）=72°.AMB=180°-72°=108°.4.解：AB=AC，BAC=100°，B=C=×（180°-100°）=40°.又ADBC，AD是BAC的平分線，BAD=CAD=×100°=50°.5.解：ECB是等腰三角形.理由

36、如下：CEAD，A=CEB.又A=B，CEB=B.CE=CB.CBE是等腰三角形.6.證明：AB=AC，B=C.又AD=AE，ADE=AED.ADB=AEC.在ABD和ACE中，ABDACE（AAS）BD=CE（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）.7.解：AB=AC，A=40°，ABC=C=×（180°-40°）=70°.又MN是AB的垂直平分線，DA=DB.A=DBA=40°.DBC=ABC-ABD=70°-40°=30°.9.解：PAB=PBA，PA=PB.這是利用了等腰三角形的判定10.解：NBC=84

37、76;，NAC=42°，NBC=NAC+C，84°=42°+C，C=42°.BC=BA.又BA=15×（10-8）=30（海里），BC=30海里.即從海島B到燈塔C的距離是30海里.11.證明：ABD，AEC都是等邊三角形，AD=AB，AC=AE，DAB=EAC=60°.DAB+BAC=EAC+BAC，即DAC=BAE.在ADC和ABE中，ADCABE（SAS）.DC=BE.12.解：等腰三角形兩底角的平分線相等，等腰三角形兩腰上的中線相等，等腰三角形兩腰上的高相等.以等腰三角形兩腰上的高相等為例證明.已知：如圖1488所示，在ABC

38、中，AB=AC，BDAC，CEAB，垂足分別為D，E.求證：BD=CE.證明：AB=AC，ABC=ACB.又BDAC，CEAB，BEC=CDB=90°.在RtBCE和RtCBD中，RtBCERtCBD（AAS）.BD=CE（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）.13.提示：（1）ECD=EDC；（2）OC=OD；（3）OE是CD的垂直平分線.理由如下：OE平分AOB，EDOB，ECOA，垂足分別為D，C，ED=EC.EDC=ECD.在RtODE和RtOCE中，RtODERtOCE（HL）.OD=OC.ODC是等腰三角形.又OE是DOC的平分線，OE是底邊CD上的高和中線.即OE是線段DC的垂直平

39、分線.14.解：如圖1489所示.作法如下：作CAB的平分線AD，交于BC于點(diǎn)D，再作DE上AB，垂足為E.C=90°，B=30°，CAB=60°.1=2=30°.又DEAB，C=90°，C=AED=90°.在RtACD和RtAED中，RtACDRtAED（AAS）.又2=B=30°，DA=DB.又DEAB，AED=BED=90°.在RtADE和RtBDE中，RtADERtBDE（AAS）.RtADCRtADERtBDE.自我評(píng)價(jià) 知識(shí)鞏固1.等邊三角形的兩條中線所成的鈍角的度數(shù)是( )A.120°B.1

40、30°C.150°D.160°2.設(shè)等腰三角形的頂角為A，則A的取值范圍是( )A.0°A180°B.0°A180°C.0°A180°D.0°A90°3.一個(gè)三角形的外角分別是135°，90°，135°，則這個(gè)三角形是( )A.等腰三角形B.等邊三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形4.如果等腰三角形一底角為，那么( )A.45°B.0°90°C.90°D.90°180°5.等腰三角形一腰上的高與

41、底邊所成的角等于( )A.頂角B.頂角的一半C.頂角的2倍D.底角的一半6.如圖1490所示，在ABC中，AB=AC，BD，CE是角平分線，圖中的等腰三角形共有( )A.6個(gè)B.5個(gè)C.4個(gè)D.3個(gè)7.如圖1491所示，在ABC中，BO平分ABC，CO平分ACB，MNBC，MN經(jīng)過點(diǎn)O，若AB=12，AC=18，則AMN的周長(zhǎng)是( )A.15B.18C.24D.308.如圖1492所示，O是ABC，ACB的平分線的交點(diǎn)，ODAB，交BC于D，OEAC交BC于E，若BC=10cm，則面DOE的周長(zhǎng)為( )A.8cmB.9cmC.10cmD.11cm9.在ABC中，若AB=AC，A=90°，則B= ，C= .10.如果一個(gè)三角形的兩個(gè)內(nèi)角分別為70°，40°，那么這個(gè)三角形是 .11.在ABC中，AB=AC，A=60°，則B= ，C= ，ABC是 三角形.12.已知等腰三角形的一個(gè)底角等于頂角的2倍，這個(gè)等腰三角形各角的度數(shù)分別是 .13.如圖14-93所示，BD是ABC的角平分線，A=36°，C=72°，則圖中共有 個(gè)等腰三角形，它們分別是 .14.（1）如果等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別是4cm，7cm，那么它的周長(zhǎng)是 ；（2）如果等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別是5cm和10cm，則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)是 .15.等腰三角形兩