1、第五章 線性定常系統的狀態反饋和狀態觀測器設計 閉環系統性能與閉環極點（特征值）密切相關，經典控制理論用輸出反饋或引入校正裝置的方法來配置極點，以改善系統性能。而現代控制理論由于采用了狀態空間來描述系統，除了利用輸出反饋以外，主要利用狀態反饋來配置極點。采用狀態反饋不但可以實現閉環系統極點的任意配置，而且還可以實現系統解耦和形成最優控制規律。然而系統的狀態變量在工程實際中并不都是可測量的，于是提出了根據已知的輸入和輸出來估計系統狀態的問題，即狀態觀測器的設計。§5-1 狀態反饋與閉環系統極點的配置一、狀態反饋1、狀態反饋的概念狀態反饋就是將系統的每一個狀態變量乘以相應的反饋系數反饋到

2、輸入端與參考輸入相加，其和作為受控系統的輸入。設SISO系統的狀態空間表達式為： 狀態反饋矩陣為，則狀態反饋系統動態方程為： 式中：為矩陣，即，稱為狀態反饋增益矩陣。稱為閉環系統矩陣。閉環特征多項式為。可見，引入狀態反饋后，只改變了系統矩陣及其特征值，陣均無變化。狀態反饋系統結構圖【例5.1.1】已知系統如下，試畫出狀態反饋系統結構圖。 ， 解： 其中稱為狀態反饋系數矩陣或狀態反饋增益矩陣。 說 明：如果系統為維輸入、維輸出的MIMO系統，則反饋增益矩陣是一個維矩陣。即 2、狀態反饋增益矩陣的計算控制系統的品質很大程度上取決于該系統的極點在平面上的位置。因此，對系統進行綜合設計時，往往是給出一

3、組期望的極點，或者根據時域指標提出一組期望的極點。所謂極點配置問題就是通過對反饋增益矩陣的設計，使閉環系統的極點恰好處于s平面上所期望的位置，以便獲得期望的動態特性。本節只討論SISO系統的極點配置問題，因為SISO系統根據指定極點所設計的狀態反饋增益矩陣是唯一的。定理5.1: 用狀態反饋任意配置極點的充要條件是：受控系統可控。證 明：（1）充分性： 設受控系統可控，則一定可通過線性變換（即），將A、b化為可控標準型。 ， 在變換后引入狀態反饋增益矩陣 故變換后的狀態反饋系統的動態方程為 其中： 閉環特征多項式為 設閉環系統的期望極點為，則系統的期望特征多項式為 欲使閉環系統的極點取期望值，只

4、需令 即 只要適當選擇，就可以任意配置閉環極點。（2）必要性 若受控系統不可控，必有狀態變量與無關，則，中一定有元素不存在，所以不可控子系統的特征值不可能重新配置。按指定極點配置設計狀態反饋增益矩陣的一般步驟如下：（1）對給定可控系統，進行P變換，即，化成可控標準型 其中：，（2）導出在可控標準型下的閉環系統的特征多項式 （3）根據閉環系統極點的期望值，導出閉環系統的期望特征多項式 （4）確定對于可控標準型下的狀態變量的反饋增益矩陣 （5）把化成對于給定狀態變量對應的 【例5.1.2】已知SISO系統的傳遞函數為 試設計狀態反饋增益矩陣使閉環極點配置在-2，。解：由于SISO系統的無零極點對消

5、，故系統可控。可直接寫出可控標準型。 ，設狀態反饋增益矩陣為： 狀態反饋系統的特征方程為 期望閉環極點對應的閉環系統期望特征方程為： 令，可得 故狀態反饋系統結構圖分析說明：在例中，由于傳遞函數的實現一開始就采用了可控標準型，從而可以比較簡單地計算出反饋增益矩陣，對閉環系統進行極點配置。但是從工程實際上看，可控標準型實現的狀態變量的信息在物理上是很難采集的，如果要使設計出來的能在實際系統中方便地建立起來，應該盡可能地選擇那些其狀態變量在物理上容易采集的實現作為系統的實現。 比如例中，選擇串聯分解所得到的動態方程作為系統實現就較為合理。即 受控系統結構圖原受控系統的動態方程為： ， 設狀態反饋增

6、益矩陣為： 狀態反饋系統的特征方程為 期望閉環極點對應的閉環系統期望特征方程為： 令，可得 故狀態反饋系統結構圖結 論： 求解實際問題的狀態反饋增益矩陣時，沒有必要象定理5.1證明那樣去進行可控標準型的變換，只要先驗證受控系統可控，并計算及期望特征多項式，由，便可確定狀態反饋增益矩陣。【例5.1.3】已知SISO系統的傳遞函數為 試研究采用狀態反饋使閉環極點配置在-2，的可能性。解：該SISO系統的傳遞函數存在零極點對消。（1）若選擇可控標準型實現（便不可觀測），仍可以配置極點，方法步驟同【例5.1.2】。（2）若選擇可觀測標準型實現（便不可控） ， 設狀態反饋增益矩陣為： 狀態反饋系統的閉環

7、狀態矩陣為狀態反饋系統的特征方程為 期望閉環極點對應的閉環系統期望特征方程為： 令，可得 方程組無解，即這種情況下用狀態反饋不能配置極點。二、閉環系統期望極點的選取總的來說，系統的性能主要取決于閉環主導極點，而遠極點只有微小的影響。也就是說，把系統看作是一個其極點就是主導極點對的二階系統。可根據動態指標和來確定期望主導極點的位置： （為期望的主導極點）【例5.1.4】試設計如圖所示系統的狀態反饋增益矩陣，使閉環系統滿足下列動態指標： （1）輸出超調量 （2）調節時間秒解：確定閉環系統的期望主導極點，由 解出，則 令第三個極點故 由，有 故§5-2 狀態反饋對可控性與可觀測性的影響定理

8、5.2: 若線性定常系統是可控的，則狀態反饋所構成的閉環系統也一定是可控的。定理5.3: 狀態反饋可能影響系統的可觀測性。 說明：當任意配置的極點與零點存在對消時，狀態反饋系統的可觀測性將會改變，從而不能保持原受控系統的可觀測性。如果原受控系統不含閉環零點，則狀態反饋系統能保持原有的可觀測性。定理5.4: 引入狀態反饋前后，系統零點不發生改變。【例5.2.1】若原系統的傳遞函數為： 試求使狀態反饋閉環系統的傳遞函數為 的狀態反饋增益矩陣。解：比較和可知，中應含有的零點，故應為 設，期望閉環極點為：-2，-2，-3。原系統無零極點對消，系統完全可控，寫出其可控標準型 ， 由，有 故【例5.2.2】給定開環系統的傳遞函數為： 要求用狀態反饋將閉環極點配置到，試計算狀態反饋增益矩陣，并說明所得到的閉環系統是否可觀測。解：原系統無零極點對消，故完全可控，可控標準型為 ， 設 由，有故 狀態反饋不改變系統零點，不改變系統可控性。然而反饋后系統在處出現零極點對消，所以閉環系統必不可觀測。【例5.2.3】系統狀態方程如下 試判定系統是否可用狀態反饋分別配置以下兩組閉環極點和，若能配置，則求出反饋增益矩陣。解：，系統不可控，所以不能實現極點的