1、3.3二元一次不等式（組）與簡單的線性規劃問題二元一次不等式(組)與平面區域從容說課本節課先由師生共同分析日常生活中的實際問題來引出二元一次不等式（組）的一些基本概念，由一元一次不等式組的解集可以表示為數軸上的區間，引出問題：在直角坐標系內，二元一次不等式（組）的解集表示什么圖形？再從一個具體的一元二次不等式入手，分析得出一般的一元二次不等式表示的區域及確定的方法，以此激發學生對科學的探究精神和嚴肅認真的科學態度.通過具體例題的分析和求解，在這些例題中設置思考項，讓學生探究，層層鋪設，以便讓學生深刻理解一元二次不等式表示的區域的概念，有利于二元一次不等式（組）與平面區域的教學.講述完一元二次不

2、等式表示的區域和二元一次不等式（組）與平面區域后，再回歸到先前的具體實例，總結一元二次不等式表示的區域的概念和二元一次不等式（組）與平面區域，得出二元一次不等式（組）與平面區域兩者之間的聯系，再輔以新的例題鞏固.整個教學過程，探究二元一次不等式（組）的概念，一元二次不等式表示的區域和二元一次不等式（組）與平面區域的聯系.得出一元二次不等式表示的區域和二元一次不等式（組）與平面區域的步驟和過程，并及時加以鞏固，同時讓學生體驗數學的奧秘與數學美，激發學生的學習興趣.教學重點會求二元一次不等式（組）表示平面的區域.教學難點如何把實際問題轉化為線性規劃問題，并給出解答.課時安排2課時三維目標一、知識與

3、技能1.使學生了解并會用二元一次不等式表示平面區域以及用二元一次不等式組表示平面區域；2.能畫出二元一次不等式（組）所表示的平面區域.二、過程與方法1.培養學生觀察、聯想以及作圖的能力，滲透集合、化歸、數形結合的數學思想；2.提高學生“建模”和解決實際問題的能力；3.本節新課講授分為五步（思考、嘗試、猜想、證明、歸納）來進行，目的是為了分散難點，層層遞進，突出重點，只要學生對舊知識掌握較好，完全有可能由學生主動去探求新知，得出結論.三、情感態度與價值觀1.通過本節教學著重培養學生掌握“數形結合”的數學思想，盡管側重于用“數”研究“形”，但同時也用“形”去研究“數”，培養學生觀察、聯想、猜測、歸

4、納等數學能力；2.結合教學內容，培養學生學習數學的興趣和“用數學”的意識，激勵學生勇于創新.教學過程第1課時導入新課師在現實和數學中，我們會遇到各種不同的不等關系，需要用不同的數學模型來刻畫和研究它們.前面我們學習了一元二次不等式及其解法，這里我們將學習另一種不等關系的模型.先看一個實際例子.一家銀行的信貸部計劃年初投入25 000 000元用于企業和個人貸款，希望這筆貸款資金至少可帶來30 000元的效益，其中從企業貸款中獲益12%，從個人貸款中獲益10%，那么，信貸部應該如何分配資金呢？師這個問題中存在一些不等關系，我們應該用什么不等式模型來刻畫它們呢？生設用于企業貸款的資金為x元，用于個

5、人貸款的資金為y元，由資金總數為25 000 000元，得到x+y25 000 000.師由于預計企業貸款創收12%，個人貸款創收10%.共創收30 000元以上，所以(12%)x+(10%)y30 000，即12x+10y3 000 000.師最后考慮到用于企業貸款和個人貸款的資金數額都不能是負數，于是生x0,y0.師將合在一起，得到分配資金應該滿足的條件：師我們把含有兩個未知數，且未知數的次數是1的不等式（組）稱為二元一次不等式（組）.滿足二元一次不等式（組）的x和y的取值構成有序數對(x,y)，所有這樣的有序數對(x,y)構成的集合稱為二元一次不等式（組）的解集.有序數對可以看成直角坐標

6、平面內點的坐標.于是，二元一次不等式（組）的解集就可以看成直角坐標系內的點構成的集合.師我們知道，在平面直角坐標系中，以二元一次方程x+y-1=0的解為坐標的點的集合(x,y)|x+y-1=0是經過點（0，1）和（1，0）的一條直線l，那么，以二元一次不等式（即含有兩個未知數，且未知數的最高次數都是1的不等式）x+y-10的解為坐標的點的集合A=(x,y)|x+y-10是什么圖形呢？推進新課合作探究師二元一次方程xy10有無數組解，每一組解是一對實數，它們在坐標平面上表示一個點，這些點的集合組成點集(x，y)|xy10，它在坐標平面上表示一條直線.以二元一次不等式xy10的解為坐標的點，也拼成

7、一個點集.如x3，y2時，xy10，點(3，2)的坐標滿足不等式xy10.(3，2)是二元一次不等式xy10的解集中的一個元素.我們把二元一次不等式xy10的解為坐標的點拼成的點集記為(x，y)|xy10.請同學們猜想一下，這個點集在坐標平面上表示什么呢？生xy10表示直線l：xy10右上方的所有點拼成的平面區域.師事實上，在平面直角坐標系中，所有的點被直線xy10分為三類：在直線xy10上；在直線xy10右上方的平面區域內；在直線xy10左下方的平面區域內.如(2，2)點的坐標代入xy1中，xy10，(2，2)點在直線xy10的右上方.(1，2)點的坐標代入xy1中，xy10，(1，2)點在

8、直線xy10上.(1，1)點的坐標代入xy1中，xy10，(1，-1)點在直線xy10的左下方.因此，我們猜想，對直線xy10右上方的點(x，y)，xy10成立；對直線xy10左下方的點(x，y)，xy10成立.師下面對這一猜想進行一下推證.在直線l：xy10上任取一點P(x 0，y 0)，過點P作平行于x軸的直線yy0，這時這條平行線上在P點右側的任意一點都有xx 0，yy0兩式相加.xyx 0y 0，則xy1x0y01,P點在直線xy10上，x0y 010.所以xy10.因為點P(x0，y0)是直線xy10上的任意一點，所以對于直線xy10的右上方的任意點(x，y),xy10都成立.同理，

9、對于直線xy10左下方的任意點(x，y)，xy10都成立.所以點集(x，y)|xy10是直線xy10右上方的平面區域，點集(x，y)|xy10是直線xy10左下方的平面區域.師一般來講，二元一次不等式AxByC0在平面直角坐標系中表示直線AxByC0的某一側所有點組成的平面區域.由于對在直線AxByC0同一側的所有點(x，y)，實數AxByC的符號相同，所以只需在此直線的某一側取一個特殊點(x 0，y0)，由Ax0By0C的正、負就可判斷AxByC0表示直線哪一側的平面區域.當C0時，我們常把原點作為這個特殊點去進行判斷.如把(0，0)代入xy1中，xy10.說明：xy10表示直線xy10左下

10、方原點所在的區域，就是說不等式所表示的區域與原點在直線xy10的同一側.如果C0，直線過原點，原點坐標代入無法進行判斷，則可另選一個易計算的點去進行判斷.師提醒同學們注意，不等式AxByC0所表示的區域，應當理解為(x，y)|AxByC0(x，y)|AxByC0.這個區域包括邊界直線，應把邊界直線畫為實線.師另外同學們還應當明確有關區域的一些稱呼.（1）A為直線l右上方的平面區域(2)B為直線l左下方的平面區域(3)C為直線l左上方的平面區域(4)D為直線l右下方的平面區域教師精講師二元一次不等式ax+by+c0和ax+by+c0表示的平面區域.（1）結論：二元一次不等式ax+by+c0在平面

11、直角坐標系中表示直線ax+by+c=0某一側所有點組成的平面區域.把直線畫成虛線以表示區域不包括邊界直線，若畫不等式ax+by+c0表示的平面區域時，此區域包括邊界直線，則把邊界直線畫成實線.（2）判斷方法：由于對在直線ax+by+c=0同一側的所有點(x,y)，把它的坐標(x,y)代入ax+by+c，所得的實數的符號都相同，故只需在這條直線的某一側取一個特殊點(x0,y0)，以ax0+by0+c的正負情況便可判斷ax+by+c0表示這一直線哪一側的平面區域，特殊地，當c0時，常把原點作為此特殊點.知識拓展【例1】畫出不等式2xy60表示的平面區域.解:先畫直線2xy60(虛線)，把原點(0，

12、0)代入2xy6，得060.因2xy60，說明原點不在要求的區域內，不等式2xy60表示的平面區域與原點在直線2xy60的異側，即直線2xy60的右上部分的平面區域.生學生課堂練習.(1)xy10.(2)2x3y60.(3)2x5y100.(4)4x3y12.【例2】畫出不等式組表示的平面區域.x3y60表示直線上及其右上方的點的集合.xy20表示直線左上方一側不包括邊界的點的集合.在確定這兩個點集的交集時，要特別注意其邊界線是實線還是虛線，還有兩直線的交點處是實點還是空點.【例3】畫出不等式組表示的平面區域.師不等式組表示的平面區域是各個不等式所表示的平面點集的交集，因而是各個不等式所表示的

13、平面區域的公共部分.生解：不等式x-y+50表示直線x-y+5=0右上方的平面區域，x+y0表示直線x+y=0右上方的平面區域，x3左上方的平面區域，所以原不等式表示的平面區域如右圖中的陰影部分.課堂練習作出下列二元一次不等式或不等式組表示的平面區域.（1）x-y+10;（2）2x+3y-60;（3）2x+5y-100;（4）4x-3y-120;（5）如下圖：合作探究師由上述討論及例題，可歸納出如何由二元一次不等式（組）表示平面區域的嗎？生歸納如下：1.在平面直角坐標系中，平面內的所有點被直線l:x+y-1=0分成三類：（1）直線l上：(x,y)|x+y-1=0；（2）直線l的上方：(x,y)

14、|x+y-10；（3）直線l的下方：(x,y)|x+y-10.對于平面內的任意一點P(x,y)的坐標,代入x+y-1中，得到一個實數，此實數或等于0，或大于0，或小于0.觀察到所有大于0的點都在直線l的右上方，所有小于0的點都在直線l的左下方，所有等于0的點在直線l上.2.一般地，二元一次不等式Ax+By+C0在平面直角坐標系中表示直線Ax+By+C=0的某一側的所有的點組成的平面區域.直線畫成虛線表示不包括邊界.二元一次不等式Ax+By+C0表示的平面區域是直線Ax+By+C=0的某一側的所有的點組成的平面區域.直線應畫成實線.此時常常用“直線定界，特殊點定位”的方法.（當直線不過原點時，常

15、常取原點；過原點時取坐標軸上的點）方法引導上述過程分為五步（思考、嘗試、猜想、證明、歸納）來進行，目的是分散難點，層層遞進，突出重點，只要學生對舊知識掌握較好，完全可以由學生主動去探求新知，得出結論.課堂小結1.在平面直角坐標系中，平面內的所有點被直線l分成三類：（1）直線l上；（2）直線l的上方；（3）直線l的下方.2.二元一次不等式ax+by+c0和ax+by+c0表示的平面區域.布置作業1.不等式x-2y+60表示的區域在x-2y+6=0的（）A.右上方B.右下方C.左上方D.左下方2.不等式3x+2y-60表示的平面區域是（）3.不等式組表示的平面區域是（）4.直線x+2y-1=0右上

16、方的平面區域可用不等式_表示.5.不等式組表示的平面區域內的整點坐標是_.6.畫出(x+2y-1)(x-y+3)0表示的區域.答案：1.B2.D3.B4.x+2y-105.（1，1）6.第2課時導入新課師前一節課我們共同學習了二元一次不等式（組）的一些基本概念，并且從一個具體的一元二次不等式入手，分析得出一般的一元二次不等式表示的區域及確定的方法，總結一元二次不等式表示的區域的概念和二元一次不等式（組）與平面區域，得出二元一次不等式（組）與平面區域兩者之間的聯系，下面請同學回憶上述內容.生一般來講，二元一次不等式AxByC0在平面直角坐標系中表示直線AxByC0的某一側所有點組成的平面區域.由

17、于對在直線AxByC0同一側的所有點(x，y)，實數AxByC的符號相同，所以只需在此直線的某一側取一個特殊點(x0，y 0)，由Ax 0By0C的正、負就可判斷AxByC0表示直線哪一側的平面區域.當C0時，我們常把原點作為這個特殊點去進行判斷.如果C0，直線過原點，原點坐標代入無法進行判斷，則可另選一個易計算的點去進行判斷.推進新課例題剖析師【例1】畫出不等式x+4y4表示的平面區域.師解：先畫直線x+4y-40(虛線)，把原點(0，0)代入x+4y-4040，因為x+4y-40，說明原點在要求的區域內，不等式x+4y-40表示的平面區域與原點在直線x+4y-4=0的一側，即直線x+4y-

18、4=0的左下部分的平面區域.師在確定這兩個點集的交集時，要特別注意其邊界線是實線還是虛線，還有兩直線的交點處是實點還是空點.師【例2】用平面區域表示不等式組的解集.師分析：由于所求平面區域的點的坐標要同時滿足兩個不等式，因此二元一次不等式組表示的平面區域是各個不等式表示的平面區域的交集，即各個不等式表示的平面區域的公共部分.生解：不等式y-3x+12表示直線y=-3x+12下方的區域；不等式x2y表示直線上方的區域.取兩個區域重疊的部分，下圖中的陰影部分就表示原不等式組的解集.師【例3】某人準備投資1 200萬元興辦一所完全中學.對教育市場進行調查后,他得到了下面的數據表格：(以班級為單位)學段班級學生數配備教師數硬件建設/萬元教師年薪/萬元初中45226/班2/人高中40354/班2/人分別用數學關系式和圖形表示上述限制條件.師若設開設初中班x個,高中班y個,根據題意,總共招生班數應限制在2030之間,所以應該有什么樣的限制?生20x+y30.師考慮到所投資金的限制,又應該得到什么?生26x+54y+2×2x+2×3y