1、第五章 定積分及其應用習題 A一、選擇題1、，則下列不等式成立的是（ ）；（A） （B） （C） （D）2、定積分 =（ ）；（A）0 （B） （C） （D）3、設，則（）；（A） （B） （C） （D）4、下列各式中正確的是（）；（A） （B）（C） D.5、定積分，作適當變換后應等于（）；（A） （B） （C） （D）6、如，則（）（A） （B） （C） （D）7、曲線圍成圖形面積為（）；（A）；（B）；（C）；（D）8、橢圓的面積為（）；（A）；（B）；（C）；（D）9、曲線（）與x軸圍成的平面圖形繞x軸旋轉一周而成的旋轉體體積等于（ ）；（A） （B） （C） （D）10、由曲線與x軸

2、圍成的平面圖形的面積=（ ）。（A）（B）（C）（D）二、定積分的計算1、 利用定積分的定義計算：。2、 。3、。 4、。 5、 。6、 。 7、。8、。 9、。10、。 11、。12、。13、。14、。 15、。16、。 17、。18、。 19、。20、。 21、。22、。 23、，求。24、已知，求值，使。25、 。 26、 。27、。28、求由確定的隱函數對自變量的導數。29、設求的值。30、已知是連續函數，求。三、解答題1、求常數和，使得。2、（1）設，求；（2）求。3、（1）求的單調區間； （2）設，求。4、（1）設在上連續，證明； （2）設，求； （3）設連續，且，證明在上有且僅有

3、一根。5、（1）設為的一個原函數，求； （2），連續，求。6、設，求。7、設函數，其中連續，存在且；（1）求的值，使得在處連續；（2）再研究在處的連續性。8、設連續，且滿足，求。9、求函數在區間上的最大值。10、求，其中連續，且已知。四、證明題1、設在上連續，證明。2、設連續，且，證明在上有且僅有一根。3、求證：。4、設連續，證明。5、設是以為周期的函數，證明。6、證明。五、求面積體積1、求由曲線與直線所圍平面圖形的面積。2、求由曲線與直線所圍平面圖形的面積。3、求由曲線與直線所圍平面圖形的面積及該圖形繞軸旋轉一周的體積。4、求曲線及直線所圍平面圖形的面積。5、直線平分由曲線與直線及所圍平面圖

4、形的面積，求。6、求曲線及所圍平面圖形繞軸，繞軸旋轉一周生成的立體體積。7、求拋物線及在點處切線、軸所圍平面圖形的面積。8、求由曲線直線及所圍平面圖形的面積及繞軸旋轉一周所生成的立體體積。9、（1）求由曲線及直線軸圍成圖形的面積（）； （2）當為何值時，面積最大。習題B一、選擇題1、把時的無窮小排列起來，使得排列在后面的是前一個的高階無窮小，則排列次序是（ ）；（A） （B）, （C） （D）2、設連續，則=（ ）；（A） （B） （C）2 （D）-23、設連續，則=（ ）；（A） （B）（C） （D）4、當時，與比較是（ ）；（A）高階無窮小 （B）低階無窮小C.同階但非等價無窮小D.等價無

5、窮小5、設則下列結論中正確的是（）；（A）是極大值，是極小值（B）是極小值，是極大值（C）和是極小值，是極大值（D）和是極大值，是極小值6、設有連續導數且，令當時，與相比是同階無窮小，則（）；（A）1 （B） 2 （C） 3 （D） 47、設在的某鄰域內連續，當時，是的高階無窮小，則當時，是的（）；（A）等價無窮小（B）同階但非等價無窮小 （C）高階無窮小 （D）低階無窮小8、設在，連續且，記，則下列不等式成立的是（）；（A） （B） （C） （D）9、曲線與其過原點的切線及軸所圍成的圖形面積為（）；（A）B.（C） （D）10、設在連續，令，則（ ）；（A） （B） （C） （D）11、設，

6、則=（ ）；（A）（B）（C） （D）012、設廣義積分收斂，則的取值范圍是（ ）；A. （B） （C） （D）13、已知則（ ）；（A） （B） （C） （D）14、曲線（）與x軸圍成的平面圖形繞x軸旋轉一周而成的旋轉體體積等于（ ）；A. （B） （C） （D）15、由曲線與x軸圍成的平面圖形的面積=（ ）；（A）（B）（C）（D）16、雙紐線圍成的平面圖形的面積為（ ）；（A） （B）（C） （D）17、設其中則下列結論正確的是（ ）；（A）只依賴 （B）只依賴 （C）只依賴 （D）只依賴18、設連續，則下列函數中必為偶函數的是（ ）。（A） （B） （C） （D）二、定積分的計算1、

7、設 求 。2、 。 3、。4、。 5、 。6、 7、 。8、。 9、。10、 。 11、。12、。 13、 。 14、。15、已知曲線與在（0，0）處切線相同，寫出此切線方程，并求極限。16、設為連續函數，求。三、解答題1、設函數連續，且，已知，求。2、設函數在內滿足，且，計算。3、設函數在上連續，（1）證明：；（2）當，利用（1）的結論求。4、已知求在0，1上的表達式；5、設求。四、證明題1、設連續，證明：。2、設在上連續，在內可導且，證明在內有。3、設在上連續且，證明（1）；（2）方程在內有且僅有一個根。4、證明（1）5、設是0，1上單調減少的正值連續函數，則。6、證明等式，其中連續，。并

8、計算7、設為連續函數，證明。8、設在0，1上連續，在（0，1）內可導，且滿足證明至少存在一點，使得。五、求面積體積1、求心臟線與圖所圍各部分的面積。2、求由曲線和該曲線的經過原點的切線以及軸所圍圖形的面積。3、求由，所圍成的平面圖形繞軸旋轉而得旋轉體體積。4、求由曲線所圍成的平面圖形的面積。5、已知曲線與曲線在點處有公共切線，求：求：（1）常數及切點； （2）兩曲線與軸圍成的平面圖形的面積； （3）兩曲線與軸圍成的平面圖形繞軸旋轉而得旋轉體體積。6、設曲線軸和軸所圍區域被曲線分為面積相等的兩部分，試確定的值。7、由拋物線繞軸旋轉一周構成的容器，現于其中盛水，水高，問要將水全部抽出，外力需要作多

9、少功？（水的比重為）8、求曲線在（2，6）內的一條切線，使得該切線與和曲線所圍成的圖形面積最小。9、設直線與拋物線所圍成的圖形面積為，它們與直線所圍成的圖形面積為，并且，（1）確定的值，使達到最小，并求出最小值；（2）求該最小值所對應的平面繞軸旋轉一周而得旋轉體體積。10、設有邊長為，的矩形板及密度為的液體，將矩形板與液面成角斜沉于液體中，且矩形的長度為的一組平行邊平行于液面，上部一邊在液面下處，求它每面所承受的壓力。習題 A答案一、選擇題（1）D （2）C（3）C （4）C （5）B （6）A （7）C （8）A （9）C （10）C 二、計算題1、 提示：化極限的形式，此極限是定積分的值2

10、、 3、4、（周期為的函數在上的積分與上的積分相等）5、 6、 7、 8、2 9、10、11、12、13、14、本題另一解法：先作變量代換再用奇偶性來解15、16、17、18、19、20、21、22、，23、24、。25、 26、 27、2 28、29、由題設即所以。30、解法1：注意到=0，使用羅比達法則，有= = =解法2；利用積分中值定理，有=在與之間） =解法3：利用微分中值定理，令，則，于是=（在與之間） =。三、解答題1、2、（1）（2）3、（1）。 （2）兩邊對求導：4、（1）（2）（3）；（存在性） 又因為：，所以最多有1個實根；（唯一行）在上有且僅有一根。5、（1）（2）注：

11、本題也可以用積分中值定理來解。7、解：由于，可知當時，在處連續。8、等式兩邊同時對求導：故所以9、可證在上單調增加，故在取得最大值，可算得四、證明題1、2、；（存在性） 又因為：， 所以最多有1個實根；（唯一行）在上有且僅有一根。3、4、左邊令有：5、如果：如果： 所以：。6、左邊令，五、求面積體積1、求由曲線與直線所圍平面圖形的面積。解： 如圖2、求由曲線與直線所圍平面圖形的面積。解： 如圖3、求由曲線與直線所圍平面圖形的面積及該圖形繞軸旋轉一周的體積。解： 如圖4、求曲線及直線所圍平面圖形的面積。解： 如圖5、直線平分由曲線與直線及所圍平面圖形的面積，求。解： 如圖6、求曲線及所圍平面圖形

12、繞軸，繞軸旋轉一周生成的立體體積。解： 7、求拋物線及在點處切線、軸所圍平面圖形的面積。解： 如圖 切線：8、求由曲線直線及所圍平面圖形的面積及繞軸旋轉一周所生成的立體體積。解： 如圖9、（1）求由曲線及直線軸圍成圖形的面積。（） （2）當為何值時，面積最大。解：（1）如圖， （2） 習題B答案一、選擇題（1）B （2）A （3）A （4）C （5）C （6）D （7）C （8）B （9）A （10）B (11）C(12）B（13）A (14）C (15）C (16）A (17）C (18）.D二、計算題1、2、 3、 4、令，5、分部積分得： 6、設，=故7、8令故9、 10、令，注意到被積

13、函數的奇偶性定積分的幾何意義，易得原式=11、 12、 13、發散 14、15、由題目條件得所以切線方程為=2三、解答題1、令得兩邊對求導：2令即得2、= 令=再 得原式=3、證明（1）：分析：比較等式兩邊的積分限，可獲啟發，知應如何變形；進一步比較，知應作何變換。設：即解（2）：在兩邊同乘以并從積分得：=+注：觀察左邊兩個積分，第一個積分的被積函數是偶函數；=2（利用（1）的結論）=第二個積分：由于是一個常數所以=。4、令，再兩邊對求導5、解得：所以四、證明題1、對左邊令，第一式分部積分即等于右式2、利用積分中值定理和拉格朗日中值定理立得3、由介值定理可知：在內至少有一個根，由單調遞增方程在內有且僅有一個根。4、（1）利用定積分的估值性：在上最大、小值為1，所