1、仿射幾何在研究圓錐曲線中的一些應用仁化縣仁化中學謝祖福摘要：本文主要結合實例， 運用仿射幾何的性質在解決圓錐曲線的問題作了一些嘗試，以期達到對圓錐曲線問題的解法的化繁為簡，化難為易，并且開闊數學視野，培養唯物辨證觀點的目的。關鍵詞：仿射幾何仿射性質 仿射變換 圓錐曲線高等幾何是從古典幾何過渡到近世幾何的橋梁，它對中學初等幾何和解析幾何的教學有重大的指導意義，其中仿射幾何是高等幾何的重要組成部分，是聯結 高等幾何與初等幾何的紐帶，是應用高等幾何解決初等幾何的一條重要通道。在 這里，筆者試圖利用仿射幾何的一些基本性質，在仿射變換下，通過特殊的圖形 去研究復雜的圖形，從而解決一些高中解析幾何中圓錐曲

2、線一類的問題。我們知道，橢圓、雙曲線、拋物線經過仿射變換，它們對應的圖形分別是圓、 特殊的雙曲線即等軸雙曲線x2-y2= ±1和特殊的拋物線y2=2x。所以我們只要研 究圓、雙曲線x2-y2=±1和拋物線y2=2x的相應性質，利用其平行性、結合性、 簡比、面積比等仿射性質，其對應的橢圓、雙曲線、拋物線的性質就相應知道了， 從而能取得事半功倍的效果。一、利用仿射性質解決一些圓錐曲線的最值問題。22例：求橢圓1 yr 1的內接三角形面積的最大值。a b解：如圖，設此橢圓可以由一圓經過仿射變換 T后得至心勺。且圓 一.一 .，、.33_ 內接三角形面積最大的為圓內接正三角形，面積

3、為-r2o根據仿射變換的性質S橢圓S ABC2rab33 27 r3 3-4,則S abc = 313 ab為所求的最大值。S ABC4同理，此結論可以推廣到求橢圓的內接矩形的最大值。例：求證橢圓的最大內接矩形的面積為 2ab。（此題留給讀者自己證明）、利用仿射幾何的基本性質證明一些定值問題。2例：C為雙曲線二a2二 1的實軸AB所在直線上的一定點,直線CT /OY軸, bP是雙曲線上不同于A、B任一點，直線AP、BP與CT分別交于M、N兩點，求證CM CN為定值。證明：由仿射性質可知，此題只要對等軸雙曲線x2 y2 = 1進行證明即可如圖，等軸雙曲線x2 y2=1中,設 P (secO ,

4、tan 0), A (-1, 0)直線 PA的方程：y= tan(x+1) 1 sec直線CT的方程：x=d由、得：y=a(d+1) 1 sec故CM=-tan-(d+1) 1 sec同理：CN=-tan (d-1)sec 1所以CM CN= -tan(d2-12) = d2- 1 (定值) sec 1由仿射性質，可知對于一般雙曲線有CM CN二定值再如：若C為拋物線y2=2px(p>0)的對稱軸所在直線上的一定點，直線 CT/OY軸，P為拋物線上不同于頂點 O的任意一點，直線OP與CT交于M點，直線PN /Ox軸與CT交于N點。試證CM CN為一定值。(圖如下)三、利用仿射幾何的基本性

5、質證明一些平行問題。 22例：已知A、B分別為橢圓、4 1在橫軸、縱軸上的頂點，C為線段AB a b證明:如圖，設此橢圓可以由一圓經過仿射變換 T后得到，顯然，在圓O'中,OC' AB ,OD' _L1',OE' L'所以AB' L1 L2'因為平行性為仿射不變性，故 AB /Li /L2即過直線OC與橢圓的交點的切線平行于 AB。四、利用仿射的性質求一些軌跡的問題。 22例：橢圓xr yr 1的內接9BC,它的邊BC與長軸重合，A在橢圓上運動，求 a bMBC的重心的軌跡。解：設此橢圓可以由一圓經仿射變換 T后得到Pc 當顯然，在圓中，滿足此條件的點的軌跡是以的圓。因此，在橢圓中是以O為中心，其長、J, HcO'為圓心，W OA'為半徑所畫1短半軸分別為原橢圓長、短半軸的1