1、第3章 隨機變量的數字特征1，在下列句子中隨機地取一單詞，以X表示取到的單詞所包含的字母個數，試寫出X的分布律并求.“They found Peking greatly changed”解：根據題意，有1/5的可能性取到5個單詞中的任意一個。它們的字母數分別為4，5，6，7，7。所以分布律為4 5 6 7 1/5 1/5 1/5 2/5 .2，在上述句子的29個字母中隨機地取一個字母，以Y表示取到的字母所在的單詞所包含的字母數，寫出Y的分布律并求。解：個單詞字母數還是，。這時，字母數更多的單詞更有可能被取到。分布律為4 5 6 7 4/29 5/29 6/29 14/29 .3，在一批12臺電

2、視機中有2臺是次品，若在其中隨即地取3臺，求取到的電視機中包含的次品數的數學期望。解：根據古典概率公式，取到的電視機中包含的次品數分別為0，1，2臺的概率分別為， ， 。所以取到的電視機中包含的次品數的數學期望為。4，拋一顆骰子，若得6點則可拋第二次，此時得分為6+（第二次所拋的點數），否則得分就是第一次所拋的點數，不能再拋。求所得分數的分布律，并求得分的數學期望。解：根據題意，有1/6的概率得分超過6，而且得分為7的概率為兩個1/6的乘積（第一次6點，第2次1點），其余類似；有5/6的概率得分小于6。分布律為1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12 得分的數學期望為 。5，（1）已知

3、，求。（2）設隨機變量的分布律為，問的數學期望是否存在？解：（1）根據，可得，因此計算得到，即。所以=6。（2）根據題意，按照數學期望的公式可得，因此期望存在。（利用了）（不符書上答案）6，（1）某城市一天水的消費量X（百萬升計）是一個隨機變量，其概率密度為，求一天的平均耗水量。（2）設某動物的壽命X（以年計）是一個隨機變量，其分布函數為求這種動物的平均壽命。解：（1）一天的平均耗水量為 （百萬升）。（2）這種動物的平均壽命為（年）。7，在美國，致命的汽車事故所占的比例X的概率密度為，求X的數學期望。解：=1/4。8，設隨機變量X具有概率密度如下，求。解：。9，設隨機變量X具有概率密度如下，求

4、。解：。（對第一個積分進行變量代換）10，設，求數學期望.解： 。（不符書上答案）11，設球的直徑R服從區間上的均勻分布，求球體積的數學期望。解：R的概率密度函數為，所以。12，設隨機變量X的概率密度為，另有X的函數，求數學期望。解：（不符書上答案）13，設隨機變量相互獨立，且都服從區間上的均勻分布，記，求。解：因為的分布函數為，所以可以求出的分布函數為， 。的密度函數為，。所以的數學期望為，。14，設隨機變量(X,Y)具有分布律YX01203/289/283/2813/143/14021/2800求，。解：求出邊緣分布律如下YX01203/289/283/2815/2813/143/1401

5、2/2821/28001/2810/2815/283/281， ，。15，在上題中，求。解：，。16，設隨機變量具有概率密度求。解：，。17，某工程隊完成某種工程的天數X是隨機變量，具有分布律10 11 12 13 14 0.2 0.3 0.3 0.1 0.1所得利潤（以元計）為，求。解：根據題意，可得利潤的分布律為2000 1000 0 -1000 -2000 0.2 0.3 0.3 0.1 0.1因此，（元）。18，設隨機變量X服從瑞利分布，其概率密度為其中為常數，求。解：， ，。（本題積分利用了，這個結果可以從標準正態分布密度函數中得到）19，設隨機變量X服從幾何分布，其分布律為，其中是

6、常數。求。解：， ，所以，。本題利用了冪級數求和中先積分再求導的方法。設，則，所以。類似的，設，則經過兩次積分以后可得到，在經過兩次求導得到。20，設隨機變量X具有概率密度為其中為常數。（1） 若，求。（2） 問當時，是否存在？（3） 若，求。（4） 問當時，是否存在？解：（1）當時，。（2）當時，即不存在。（3），當時，所以，。（4）當時，所以不存在。21，（1）在14題中，求。（2）在16題中，求，。（3）在第二章習題第14題中，求。解：（1）根據14題中結果，得到；因為， ，所以， 。（2）根據16題結果可得：；因為 ，所以，。（3）在第2章14題中，由以下結果YX01200.100.080.060.2410.040.200.140.3820.020.060.300.380.160.340.501得到，所以，；，,.22，設隨機變量(X,Y)具有，求，。解：根據題意有 。 。23，（1）設隨機變量相互獨立，且有，求。（2）設相互獨立，且都服從區間（0，1）上的均勻分布，求。解：（1）因為相互獨立，所以 。（2）根據題意，可得，。 。24，設隨機變量(X,Y)具有概率密度驗證X,Y不相關，但X,Y不是相互獨立的。解：因為 ，所以，即，驗證了X,Y不相關。又因為，；，顯然，所以驗證了X,