1、課題242拋物線的簡單幾何性質一授課時間任課教師閔海鷹授課年級高二教知識目標掌握拋物線的范圍、對稱性、頂點、離心率等幾何性質學 目能力目標能根據拋物線的幾何性質對拋物線方程進行討論，在此根底上列表、描 點、畫拋物線圖形；標德育目標在對拋物線幾何性質的討論中，注意數與形的結合與轉化教學重點拋物線的幾何性質及其運用教學難點拋物線幾何性質的運用教法探究法,講練結合法，講授 法使用教具電腦直尺器、投影儀、計算一、復習引入：1.拋物線定義：平面內與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線*定點F叫做教圖、L/7k形J0xl/ 1學方 程2 y2 px(p 0)y22px(p0)x2 2py

2、(p 0)x22py(p 0)隹占八、即(f,0)吋叱過準線x 2x衛2y衛2y 1程拋物線的焦點，定直線l叫做拋物線的 準線.2拋物線的標準方程：.相冋點：1拋物線都過原點；2對稱軸為坐標軸；3準線都與對稱軸垂直，垂足1與焦點在對稱軸上關于原點對稱它們到原點的距離都等于一次項系數絕對值的-，即42p _p«42不冋點：1圖形關于X軸對稱時，X為一次項，Y為二次項，方程右端為2px、左端為y2 ；圖形關于Y軸對稱時，X為二次項，Y為一次項，方程右端為2py，左端2為X . 2開口方向在 X軸或Y軸正向時，焦點在 X軸或Y軸的正半軸上， 方程右端取正號；開口在 X軸或Y軸負向時，焦點在

3、X軸或Y軸負半軸時，方 程右端取負號一二、講解新課：拋物線的幾何性質1. 范圍2因為p> 0，由方程y 2px p 0可知，這條拋物線上的點 M的坐標(x , y)滿足 不等式x>0,所以這條拋物線在 y軸的右側；當x的值增大時，|y|也增大，這說明拋物 線向右上方和右下方無限延伸.2. 對稱性2以y代y,方程y 2px p 0不變，所以這條拋物線關于x軸對稱，我們把拋物線的對稱軸叫做拋物線的 軸.3. 頂點拋物線和它的軸的交點叫做拋物線的頂點.在方程y2 2px p 0中，當y=0時，x=0,因此拋物線 寸 2px p 0的頂點就是坐標原點.4. 離心率拋物線上的點M與焦點的距離

4、和它到準線的距離的比，叫做拋物線的離心率，用e表示由拋物線的定義可知，e=1.對于其它幾種形式的方程，列表如下:標準方程圖形頂點對稱軸焦占八'、八、準線離心率y2 2px p 00,0x軸衛,02x衛2e 1y22pxp 0r0,0x軸和x衛2e 1x2 2py p 00,0y軸0豐y 1e 1通過圖形的分析找出雙曲線與拋物線上的點的性質差異，當拋物線上的點趨向于無窮遠時，拋物線在這一點的切線斜率接近于對稱軸所在直線的斜率，也就是說接近于和 對稱軸所在直線平行，而雙曲線上的點趨向于無窮遠時，它的切線斜率接近于其漸近線 的斜率-附：拋物線不存在漸近線的證明.反證法假設拋物線y2= 2px

5、存在漸近線y = m灶n,Ax, 拋物線上一點，Ao Cx, yJ為漸近線上與 A橫坐標相同的點如圖，1 AA-O*xy為那么有y ：2px和yi= m灶n.M y mx n v2px當m 0時，假設xt+8，貝U |y1 y|當 m0 時，必 y n X1'，f2p| ,當 xt + s，那么 |y1 y|2這與y = m>+ n是拋物線y = 2px的漸近線矛盾，所以拋物線不存在漸近線三、講解范例：例1拋物線關于 x軸為對稱，它的頂點在坐標原點，并且經過點M(2, 2 2)，求它的標準方程，并用描點法畫出圖形.分析：首先由點坐標代入方程，求參數p.解：由題意，可設拋物線方程為

6、y2 2px，因為它過點 M(2, 2 2),所以(2.2)2 2p 2，即 p 2因此，所求的拋物線方程為y2 4x .將方程變形為 y 2 x，根據y 2 x計算拋物線在x 0的范圍內幾個點的坐% x26，那么 | AB | =BA10B8C6D42.M為拋物線 y24x上一動點，F為拋物線的焦點，定點P 3, 1 ,那么| MP | MF |的最小值為:BA3B4C5D6標，得x01234y024描點畫出拋物線的一局部，再利用對稱性，就可以畫出拋物線的另一局部.點評：在此題的畫圖過程中，如果描出拋物線上更多的點，可以發現這條拋物線雖 然也向右上方和右下方無限延伸，但并不能像雙曲線那樣無限

7、地接近于某一直線，也就 是說，拋物線沒有漸近線.例2探照燈反射鏡的軸截面是拋物線的一局部，光源位于拋物線的焦點處，燈的圓 的直徑60cm燈深為40cm求拋物線的標準方程和焦點位置.分析：這是拋物線的實際應用題，設拋物線的標準方程后，根據題設條件，可確定拋 物線上一點坐標，從而求出p值.解：如圖，在探照燈的軸截面所在平面內建立直角坐標系，使反光鏡的頂點即拋物線的頂點與原點重合，x軸垂直于燈口直徑.設拋物線的標準方程是 y22 px p > 0.由條件可得點 A的坐標是40, 30，代入方程，得302 2p 40,即p 454所求的拋物線標準方程為y2 45 x2例3過拋物線y2 2px的焦

8、點F任作一條直線 m交這拋物線于A B兩點， 求證分析：運用拋物線的定義和平面幾何知識來證比擬簡捷. 證明：如圖設 AB的中點為E,過A E、H C,那么以AB為直徑的圓和這拋物線的準線相切./ /IEyB分別向準線丨弓I垂線AD EH, BC垂足為D1 AF| = |AD|,|BF| = |BC|AB| = |AF| + |BF| = |AD| + | BC|= 2 | EH|丨所以EH是以AB為直徑的圓E的半徑，且 四、課堂練習：EHL l，因而圓E和準線丨相切.1 .過拋物線y24x的焦點作直線交拋物線于Ax % , BX2, y2兩點，如果3過拋物線y ax2 a 0的焦點F作直線交拋

9、物線于P、Q兩點，假設線段PF、QF1 1的長分別是p、q，貝U _ = cp q14A2a B_C4aD2aa4.過拋物線y2 4x焦點F的直線l它交于A、B兩點，那么弦AB的中點的軌跡方程是答案：y22x13的線段AB的端點A、B在拋物線y2 x上移動，求AB中點M到y軸距離的最小值，并求出此時AB中點M的坐標*5： 25答案：m , M到y軸距離的最小值為一424五、 小結：拋物線的離心率、焦點、頂點、對稱軸、準線、中心等*六、課后作業：1. 根據以下條件，求拋物線的方程，并畫出草圖.1頂點在原點，對稱軸是 x軸，頂點到焦點的距離等于 8.2頂點在原點，焦點在 y軸上，且過P4, 2點.3頂點在原點，焦點在 y軸上，其上點P m 3到焦點距離為5.2. 過拋物線焦點F的直線與拋物線交于 A、B兩點，假設A、B在準線上的射影是 A Ba, 那么/ AFB等于3. 拋物線頂點在原點，以坐標軸為對稱軸，過焦點且與y軸垂直的弦長為16,求拋物線 方程.24. 以橢圓 y2 1的右焦點，F為焦點，以坐標原點為頂點作拋物線，求拋物線截橢5圓在準線所得的弦長.5. 有一拋物線型拱橋，當水面距拱頂4米時，水面寬40米，當水面下降1米時，水面寬是多少米？習