1、第6章 樣條有限元條法§6.1 緒論20世紀60年代在R.W.Clough命名后迅速發展起來的有限單元法，被公認為結構分析最強有力的工具，理論上可適用于所有的結構。但對于規則區域的結構，有限元法的解題效率不如差分法；在計算機技術取得突破性進展之前，解決大型空間結構工程設計問題，往往需要大型計算機和昂貴的費用，使有限元法受到種種限制；有些結構問題用有限元法也難以解決，需要創造一些新的數值方法，于是又產生了有限條法、邊界元法、樣條元法以及新的加權殘數（余量）法等等。適用于幾何形狀規則和邊界條件簡單的土建結構的一種行之有效的特殊有限元法半解析有限條法，是由Y.K.Cheung（張佑啟）和E

2、.L.Wilson在1968年提出的17。與有限元法相比，主要不同點在于所取得位移函數，一般是以多項式和正交級數乘積的形式給出，使得彈性力學問題降維，從而使總剛度矩陣大大降階，既省機時，精度也高。但對于非簡支端邊界條件，級數耦合，計算繁雜，尤其是對于集中荷載作用和內部支承情況，所取項數多，收斂慢。對于處理沿跨向材料突變或是變截面問題，結果也不能令人滿意。1979年石鐘慈提出樣條有限元法18，用三次B樣條變分方法解規則區域上板梁組合彈性結構的平衡問題，導出適用于各種邊界條件的統一計算格式，比通常的有限元法計算量少，精度高，便于在小型計算機上實現。稍后，秦榮提出以樣條函數、梁振動函數及能量變分為基

3、礎的樣條有限點法和后來的樣條子域法19。1982年Y.K.Cheung等人又提出結構分析的樣條有限條法，以克服經典有限條法的缺點。作者在分析空間懸掛結構吊橋時，采用元條相結合的方法20，將主索剛度疊加于橋面板條單元的結線上，分析索結構的動力特性取得成果。§6.2 B樣條與樣條函數樣條函數是現代函數逼近的一個十分活躍的分支，是計算方法的一個重要基礎，已得到廣泛應用。樣條函數來源于實際生產中的樣條曲線，由于樣條函數是一個分段多項式，利用它去逼近任意函數，具有更大的靈活性和適應性。樣條函數可以利用基本樣條（如B樣條）函數的線性組合來構造，在計算力學中，常用B樣條函數來構造位移函數及應力函數

4、。 B樣條及其性質B樣條函數是基本樣條函數（簡稱B樣條），它與廣義函數函數有密切的內在聯系，并可以逼近函數，所以也稱樣條函數。B樣條函數系可作成樣條函數空間的一組基。n次B樣條函數可寫成統一的表達式 (）式中，是二項式系數的組合表示，樣條結點 。吊橋動力分析主要應用一次和三次B樣條，其分段表達式和曲線形狀如下： (） () (a) 一次B樣條 (b) 三次B樣條圖 B樣條曲線n次B樣條函數具有緊致性（即n(x)及其導數以區間為緊致支撐集，此外，處處為零）和分段光滑性（為n次分段多項式，在（-，）區間，具有n-1 階連續導數）以及對稱（即n(-x)=n(x)）和面積不變（亦即）等特性。尤其是奇次

5、樣條函數具有極小模性質（可用來量度變形能極小性質）以及最佳逼近性質，顯示了很大的數學與力學的使用價值。 樣條函數樣條函數曲線來源于生產實踐中的數學放樣。定義一次樣條函數為二階廣義微分方程 的解，即 (）式中，xj為結點，下標“+”為截斷符號，即定義： (）可見，一次樣條函數是連續，且分段線性的折線函數，其力學意義是集中力作用下的彈性弦，它表征了纜索受吊桿作用力時的實際情況。我們也可以定義三次樣條函數為四階廣義微分方程 的解，其一般表達式為 ()顯然，這是一個分段三次多項式（當j=0時，便退化為普通的三次多項式），有二階連續導數，三階階躍導數。如果與梁的撓曲線方程y(4)(x)=q(x)對照，可

6、知三次樣條函數相當于彈性梁在結點xj處受集中荷載j作用下的撓曲線。因此，可用以反映吊橋加勁梁受吊桿力作用的實際情況。同樣，我們可以定義更高次的樣條函數，例如，在研究連續應力場和應變場時，定義了五次樣條函數21。二次樣條函數也同樣有其力學背景。這里不贅述。根據展開定理，n次樣條函數Sn(x)可表為n次B樣條函數n(x)及其平移n(x-k)的線性組合，即 (）當n為奇數時，若在0,的區間上取N等分劃，則h=/N，在第k結點，有xk=kh，于是上式可表為 ()對于一次和三次B樣條，有 (）和 (）而 上以為結點的一次B樣條的一組基函數，張成N+1維空間。類似的，為三次B樣條的一組基函數，張成N+3維

7、空間。在線性空間等價的前提下，可改換基函數的形式，構造出適合結構位移邊界條件的基函數，使統一處理各種邊界條件得到方便。例如，將（）式改寫后表示位移函數 (）由于基函數的局部緊湊，若要計算某樣條結點xi的位移值，上式中最多只有三項不為零，即 (）在求出廣義參數后，經上式計算，才得到待求的位移值（與有限元不同）。由于k(x)在結點上的值是一些簡單的現成的數，故需要的計算量很小。這些“現成數”已分幾種邊界情況編入子程序中。是一個與三次B樣條有關的基函數，考慮常見的邊界條件，寫成： 以上的基函數對應于自由邊界。若為簡支邊界，則刪去第一行（列）或末一行（列）；若為固定邊界，則刪去首兩行（列）或末兩行（列

8、）。若結構對稱，可簡化取半計算，將半結構分成N等分劃，根據滑動固支邊界（W=0），僅刪去對稱軸一端的三行三列，代以新的二行二列，即 反對稱時，取半結構的對稱軸一端仍按鉸支處理。 利用參數法19，還可構造出與三次B樣條函數有關的新的基函數，得到具有物理意義的位移參數和廣義參數混合的位移函數，使處理位移邊界條件和連續條件都很方便。經過對B樣條函數的求導和積分，計算出系數矩陣提供編程使用。 B樣條函數的求導和積分B樣條函數的求導和積分公式為 ()式中，當j為正整數時，表示求j次導數；當j為負整數時，表示積分(-j)次；當j=0時，即為（）式。以B樣條基函數（或其導數）為元素的矩陣乘積的積分是一組很有

9、實用意義的系數矩陣，其具體形式可事先算出，列表待查。吊橋的動力分析將用到以下的系數矩陣，記為： ()以I4y為例（暫不考慮修改邊界），說明矩陣乘積的積分過程。 令 則 ，反復進行分部積分。由于 于是 ()同理，可進行其余矩陣的積分。特殊的系數矩陣（如修改邊界時，可能是3的某種線性組合）根據問題的需要區別處理，隨時算出。由于三次B樣條的緊湊性，所生成的系數矩陣一般是半帶寬為4的帶狀矩陣。§6.3 樣條有限元條的位移模式 吊橋簡化假定以吊橋為例，在利用樣條有限元條法進行吊橋動力特性分析時，作如下假定： 小振幅振動，所有材料遵循虎克定律。 纜索忽略彎曲剛度。 初始靜載全部由主索承受，索呈二

10、次拋物線的理想索形。 忽略細長加勁橋面結構的剪切變形和轉動慣量影響。 主索的重量沿跨長均布，各跨加勁結構等截面。 吊桿不可伸長，在豎直扭轉振動時保持垂直。 振動引起的索的附加水平張力和塔頂的附加壓力可忽略不計。 忽略加勁結構的初應力和初始曲率。 結構離散與位移模式根據上述的線性化假定，僅考慮橋面結構的彎扭振型時，懸掛的空間結構被離散為索單元，塔單元和橋面殼條元體系。1. 索作為一維樣條弦桿單元考慮，采用一次B樣條（由于實際吊桿密布，有時索也采用三次B樣條，以便統一處理）。僅在豎直平面內有一個自由度（WC）。由剛性吊桿的假定，其有Wci=Wi，這里Wi為加勁橋面的豎向位移。索與橋面系在順橋向都取

11、相同的N個等分劃，即有N+1個結點。位移模式為 ，而，矩陣中各元素i(y)是與B樣條函數有關的基函數。Wci=W-1 W0 W1WiWN+1 T ,其中Wci是待定的與時間有關的豎向結點位移參數。2. 橋面系視為一般的正交異性折板結構（橋寬不大時，也可視為一維梁），包括了板梁、箱梁和閉合桁架等典型橋面結構，并進一步離散為樣條有限條的矩形殼條單元（如圖所示），坐標軸x,y為其主方向。順橋向采用N個等分劃的三次B樣條，橫橋向采用二結點低階條的常規形函數17。假定不計殼條彎曲和薄膜效應之間的相互作用，每條結線（內設結點）上有四個自由度，用位移參數u,v,w,表示。特殊情況作為板條單元，只計彎曲效應，

12、每條結線只有兩個自由度，位移參數為w,(為埃米特插值所需)。位移模式表為： ()式中，A是形函數矩陣，而是位移參數列矩陣。其中 (）矩陣元素Ni(x)為低階條的常規形函數，其中： 子矩陣 式中，加“”記號的基函數一般是根據邊界條件局部修改過的。 子矩陣 圖 樣條矩形殼條單元 3. 橋塔被離散為四個或更多的在豎直面內撓曲的懸臂梁（柱）單元，采用三次B樣條，取N個等分劃，每個內結點僅由一個自由度（Vt）,位移模式為：，這里，和Vtj的定義類似于索單元。§6.4 動力特性矩陣樣條有限元條法基本上是變分問題的直接法（Ritz-Galerkin法）和以位移逼近的有限元法的綜合。 結構振動的泛函

13、 根據哈密頓原理，可知結構振動的泛函為 ()式中：t為時間，t1tt2；U為結構的應變能；V為結構的外力功；T為結構的動能。設結構振動時的位移函數為ft =u，v，wT,為板殼單位面積質量，t為應變，t為曲率（扭率），qt為分布外動荷載，則 () () ()研究無阻尼自由振動時，動荷載qt=0。由于微幅諧振動，振動的位移函數是一個周期函數，在某一周期T=2/內對時間t積分，可得結構自由振動的泛函為 ()代入吊橋結構的位移模式 ()令 ()把（）式寫成，由變分原理轉化為函數的極值問題，即 ，得到吊橋不計阻尼自由振動的動力矩陣方程： ()求解該廣義特征問題，得出結構的固有頻率及其相應的振型。 動力

14、特性矩陣 在給出殼條或單元在平衡位置的勢能和動能的表達式后，由影響系數的定義，容易得到條和元的剛度矩陣s和一致質量矩陣m。索的剛度、質量與條的剛度、質量在結線上疊加；塔的剛度、質量可作為獨立的矩陣塊。通過坐標變換和根據邊界條件局部修改樣條函數后，集成結構總剛度矩陣K和總一致質量矩陣M。對于矩形扁殼條，廣義應變為其中，應變矩陣： 廣義應力為 對于正交異性材料，彈性矩陣： 其中: 以上各式中，Ex、Ey、x、y和G是彈性常數，t是條的厚度。當各向同性時，Ex=Ey=E，。殼條應變能： （1）殼條剛度矩陣 ()上式各分塊矩陣中，s12=s21= 0 其中：以上各式中的系數矩陣，僅I5y為反對稱矩陣，

15、其余均為對稱矩陣。（2）殼條的一致質量矩陣殼條動能：式中，是單位體積的重量，t為板厚，A=N。故殼條的一致質量矩陣為 ()各分塊矩陣為： m12=m21= 0， ， 橋面系沿橫向可以有不同方位布置的條元，如圖所示，條元的局部坐標系y軸和結構整體坐標系y軸平行（相鄰條交線重合），為x和x軸之間的夾角（順時針為正）。殼條坐標轉換矩陣為 (6.4.11)其中 圖 坐標轉換 （3）索的彈性剛度矩陣將索的位移模式代入索張力變化所儲存應變能表達式，導出索的彈性剛度矩陣為 ()式中，為索的等效長度，為傾角，為一系數矩陣，為單位長度的索重加橋面結構重，為索的靜水平張力。 （4）索的重力剛度矩陣索的動伸長對索撓

16、度的影響與索豎向振幅相比是高階微量，可忽略不計。代入索的位移模式和相容方程，索的重力勢能可表達為 則索的重力剛度矩陣為 () （5）索的一致質量矩陣索的動能表達式： 則索的一致質量矩陣為 () （6）塔柱的剛度矩陣塔柱取等效系統分析，假設其彎曲和扭轉由各柱在豎直面內的撓曲形成。考慮塔柱的應變能和外力勢能，得到塔柱彈性剛度矩陣為 ()式中，I1Z（及下式I3Z、I4Z）為一系數矩陣，參照I1Y等。塔柱變剛度時，若慣性矩It為z的連續函數，則可參與積分，給出新的系數矩陣；若剛度呈階梯形變化，則應分段，各等分劃處理。塔柱的幾何剛度矩陣考慮塔頂的靜、動壓力PW和P(t)以及塔頂等效彈簧剛度k,寫成 (

17、) （7）塔柱的一致質量矩陣考慮單塔柱的動能，得到單塔柱的一致質量矩陣表達式： ()對于三跨簡支吊橋，如果橋面結構的材料、構造都相同，可按跨分段,各取等分劃。根據簡支邊界條件局部修改B樣條后，三跨的基函數集成對角分塊矩陣，其階數可隨各跨分劃數的不同而不同，樣條矩形殼條的剛度矩陣形式同單跨，系數矩陣按跨分塊，集成對角帶狀矩陣；索的彈性剛度矩陣也由三跨分塊集成，對稱局部滿陣。位移參數列陣也由各跨集成。對于三跨連續的吊橋橋面結構，可在中間支承處分段。為方便起見，系數矩陣需經修改，構造出具有混合參數的位移函數，在此不贅述。 §6.5 算例 例1 用樣條有限元（按一維工程梁）計算如圖所示單跨吊

18、橋的豎向彎曲振動。特性數據如下：加勁梁：L=853.44m, W=4246.016/m, ES=203932.16MN/m2, IS=7.695953m4 索：f=70.714m, AC=0.123548m2, EC=179129.6MN/m2, LE=1219.2m, HW=53578kN.圖 單跨吊橋對于一維梁單元，設W=w剛度矩陣: 一致質量矩陣：幾種方法計算結果示于表。比較表明，樣條有限元法具有較高的計算精度。表 單跨吊橋豎向振動頻率頻率序自 振 頻 率 （rad/sec）對 稱 振 型反 對 稱 振 型解析解有限元S-12S-16解析解有限元S-12S-1611.4001.39751

19、.39741.39741.33181.33301.33041.330422.6962.70472.70222.70224.49014.48704.48854.484936.84726.85656.84369.71399.71639.76289.7073413.118713.270413.136217.020517.046217.456017.0376521.515322.456321.683826.412826.563628.360126.5569注：表中S-12和S-16分別表示樣條有限元條法取12分劃和16分劃。例2 三跨簡支吊橋舊Tacoma橋（該橋于1940年在不到20m/s的風速下發生顫振破壞）主要設計數據如下：ES=2.038318