1、-1-1.3可線性化的回歸分析目標導航1.進一步了解回歸分析的基本思想,明確建立回歸模型的基本步驟.2.了解回歸模型與函數模型的區別,體會有些非線性模型通過變換可以轉化為線性回歸模型,了解在解決問題中尋找更好的模型的方法,提升學生數學建模能力.知識梳理1.在具體問題中,我們首先應該作出原始數據(x,y)的散點圖,從 散點圖中看出數據的大致規律,再根據這個規律選擇適當的函數進行擬合.2.對于非線性回歸模型一般可轉化為線性回歸模型,從而得到相應的回歸方程.知識梳理3.幾種常見模型:(1)冪函數曲線y=axb.其散點圖在如圖所示的曲線附近.作變換u=ln y,v=ln x,c=ln a,得線性函數u

2、=c+bv.知識梳理(2)指數曲線y=aebx.其散點圖在如圖所示的曲線附近.作變換u=ln y,c=ln a,得線性函數u=c+bx. 知識梳理(3)倒指數曲線其散點圖在如圖所示的曲線附近.知識梳理(4)對數曲線y=a+bln x.其散點圖在如圖所示的曲線附近.作變換v=ln x,得線性函數y=a+bv. 知識梳理【做一做1】 下圖中曲線所表示的函數最有可能是()答案:D【做一做2】 若一個函數模型為y=2+3log2x,則作變換u=,才能轉化為y是u的線性回歸方程.答案:log2x知識梳理4.解決非線性回歸問題的方法及步驟(1)確定變量:確定解釋變量為x,預報變量為y;(2)畫散點圖:通過

3、觀察散點圖并與學過的函數(冪函數、指數函數、對數函數、二次函數)作比較,選取擬合效果好的函數模型;(3)變量置換:通過變量置換把非線性問題轉化為線性回歸問題;(4)分析擬合效果:通過計算相關系數等來判斷擬合效果;(5)寫出非線性回歸方程.典例透析題型一題型二題型三已知模擬函數類型確定解析式【例1】 為了研究某種細菌隨時間x(單位:天)變化時繁殖的個數y,收集數據如下:解:設u=ln y,c=ln a,則u=c+bx.若x,y之間近似滿足y=aebx,求y對x的回歸方程. 典例透析題型一題型二題型三典例透析題型一題型二題型三反思本題中已知函數模型,可通過恰當的變換將函數轉化為線性函數關系u=c+

4、bx,然后通過變換公式計算出相應的u與x之間的數據關系表,根據求線性回歸方程的公式計算出u與x之間的函數關系,并將u與x之間的關系再轉回到y與x之間的函數關系.典例透析題型一題型二題型三【變式訓練1】 某工廠每日生產某種產品x(x1)噸,每日生產的產品當日銷售完畢,日銷售額為y萬元,產品價格隨著產量變化而有所變化,經過一段時間的產銷,得到了x,y的一組統計數據如下表:(1)請判斷y=bx+a與y=dln x+c中,哪個模型更適合刻畫x,y之間的關系?可從函數增長趨勢方面給出簡單的理由;(2)根據你的判斷及下面的數據和公式,求出y關于x的回歸方程,并估計當日產量x=6時,日銷售額是多少?(結果保

5、留整數)典例透析題型一題型二題型三解:(1)y=dln x+c更適合刻畫x,y之間的關系.理由如下:x值每增加1,函數值的增加量分別為7,4,3,2,增加得越來越緩慢,貼合對數型函數的增長規律,與直線型函數的均勻增長存在較大差異,故y=dlnx+c更適合刻畫x,y之間的關系.所以所求線性回歸方程為y=10ln x+5.當x=6時,日銷售額為y=10ln 6+523(萬元).典例透析題型一題型二題型三通過數據探尋函數關系模型【例2】 某種書每冊的成本費y(單位:元)與印刷冊數x(單位:千冊)有關,經統計得到數據如下表所示:典例透析題型一題型二題型三典例透析題型一題型二題型三典例透析題型一題型二題

6、型三【變式訓練2】 煉鋼廠出鋼時盛鋼水的鋼包在使用過程中受鋼水和爐渣侵蝕,其容積不斷增大.下表是鋼包使用不同次數時鋼包容積(由于容積不便測量,故以鋼包盛滿鋼水質量表示)的一組實測數據:鋼包使用次數與容積實測數據 典例透析題型一題型二題型三解:先建立平面直角坐標系,畫出散點圖,如圖所示. 從圖中我們可以發現,這一系列的點并不是均勻分布在一條直線附近,這些點開始時y值增加很快,隨后逐漸減慢趨于平緩.典例透析題型一題型二題型三典例透析題型一題型二題型三典例透析題型一題型二題型三易錯辨析易錯點未判斷兩個變量之間的關系致誤【例3】 在一次抽樣調查中測得樣本的5個樣本點,數值如下表:試建立y與x之間的回歸方程. 典例透析題型一題型二題型三錯解:由已知條件制成下表: 故所求的y對x的回歸方程是y=-3.53x+12.67. 典例透析題型一題型二題型三典例透析題型一題型二題型三典例透析題型一題型二題型三由散點圖可以看出y與t呈近似的線性相關關系.列表如下: 12341.兩個變量的散點圖如圖所示,用如下函數進行擬合比較合理的是 ()A.y=axbB.y=a+bln xC.y=aebx 解析:由題中散點圖知,此曲線類似對數函數型曲線,可用B項函數進行擬合.答案:B1234A.y=a+bvB.u=a+bvC.