1、2017年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（理）（北京卷）本試卷共5頁(yè)，150分.考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.第一部分（選擇題 共40分）一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).（1）若集合A=x|2<x<1，B=x|x<1或x>3，則AB=（ ）A.x|2<x<1 B.x|2<x<3C.x|1<x<1 D.x|1<x<3（2）若復(fù)數(shù)（1i）(a+i)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則實(shí)數(shù)a的取值范

2、圍是（ ）A.(，1)B.(，1)C.(1，+)D.(1，+)（3）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的s值為（ ）A.2B.C.D.（4）若x，y滿足 則x + 2y的最大值為（ ）A.1 B.3 C.5 D.9（5）已知函數(shù)，則f(x)（ ）A.是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù)B.是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù)C.是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù)D.是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù)（6）設(shè)m,n為非零向量，則“存在負(fù)數(shù)，使得m=n”是“m·n<0”的（ ）A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件（7）某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度為（ ）A.

3、3B.2C.2D.2（8）根據(jù)有關(guān)資料，圍棋狀態(tài)空間復(fù)雜度的上限M約為3361，而可觀測(cè)宇宙中普通物質(zhì)的原子總數(shù)N約為1080.則下列各數(shù)中與最接近的是（ ）（參考數(shù)據(jù)：lg30.48）A.1033 B.1053C.1073 D.1093第二部分（非選擇題 共110分）二、填空題共6小題，每小題5分，共30分.（9）若雙曲線的離心率為，則實(shí)數(shù)m=_.（10）若等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足a1=b1=1，a4=b4=8，則=_.（11）在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在圓，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,0)，則|AP|的最小值為 .（12）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角與角均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱.若，= .（13

4、）能夠說(shuō)明“設(shè)a，b，c是任意實(shí)數(shù).若abc，則a+bc”是假命題的一組整數(shù)a，b，c的值依次為_(kāi).（14）三名工人加工同一種零件，他們?cè)谝惶熘械墓ぷ髑闆r如圖所示，其中點(diǎn)Ai的橫、縱坐標(biāo)分別為第i名工人上午的工作時(shí)間和加工的零件數(shù)，點(diǎn)Bi的橫、縱坐標(biāo)分別為第i名工人下午的工作時(shí)間和加工的零件數(shù)，i=1，2，3.記Q1為第i名工人在這一天中加工的零件總數(shù)，則Q1，Q2，Q3中最大的是_.記pi為第i名工人在這一天中平均每小時(shí)加工的零件數(shù)，則p1，p2，p3中最大的是_.三、解答題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.（15）（本小題13分）在ABC中，=60°，c

5、=a.（）求sin C的值；（）若a=7,求ABC的面積.（16）（本小題14分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，平面PAD平面ABCD，點(diǎn)M在線段PB上，PD/平面MAC,PA=PD=,AB=4.(I)求證：M為PB的中點(diǎn)；(II)求二面角B-PD-A的大小；(III)求直線MC與平面BDP所成角的正弦值.（17）（本小題13分）為了研究一種新藥的療效，選100名患者隨機(jī)分成兩組，每組個(gè)50名，一組服藥，另一組不服藥.一段時(shí)間后，記錄了兩組患者的生理指標(biāo)x和y的數(shù)據(jù)，并制成下圖，其中“·”表示服藥者，“+”表示為服藥者.（）從服藥的50名患者中隨機(jī)選出一人，求此

6、人指標(biāo)y的值小于60的概率；（）從圖中A,B,C,D,四人中隨機(jī)選出兩人，記為選出的兩人中指標(biāo)x的值大于1.7的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望E（）；（）試判斷這100名患者中服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差與未服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差的大小.（只需寫出結(jié)論）（18）（本小題14分）已知拋物線C：y2=2px過(guò)點(diǎn)P(1,1).過(guò)點(diǎn)(0,)作直線l與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)M,N，過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線分別與直線OP、ON交于點(diǎn)A,B，其中O為原點(diǎn).（）求拋物線C的方程，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；（）求證：A為線段BM的中點(diǎn).（19）（本小題13分）已知函數(shù)f(x)=excos xx.（）求曲線y= f(x)在點(diǎn)(0

7、,f(0)處的切線方程；（）求函數(shù)f(x)在區(qū)間0,上的最大值和最小值.（20）（本小題13分）設(shè)an和bn是兩個(gè)等差數(shù)列，記cn=maxb1a1n,b2a2n,bnann(n=1,2,3,)，其中maxx1,x2,xs表示x1,x2,xs這s個(gè)數(shù)中最大的數(shù)（）若an=n，bn=2n1，求c1,c2,c3的值，并證明cn是等差數(shù)列；（）證明：或者對(duì)任意正數(shù)M，存在正整數(shù)m，當(dāng)nm時(shí)，；或者存在正整數(shù)m，使得cm,cm+1,cm+2,是等差數(shù)列參考答案：一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).（1）【答案】A【解析】，故選A.（2）【答案】B【

8、解析】，因?yàn)閷?duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，所以 ，解得：，故選B.（3）【答案】C【解析】時(shí)，成立，第一次進(jìn)入循環(huán)，成立，第二次進(jìn)入循環(huán)，成立，第三次進(jìn)入循環(huán)， 否，輸出，故選C.（4）【答案】D【解析】如圖，畫(huà)出可行域，表示斜率為的一組平行線，當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，故選D.（5）【答案】A【解析】，所以函數(shù)是奇函數(shù)，并且是增函數(shù)，是減函數(shù)，根據(jù)增函數(shù)-減函數(shù)=增函數(shù)，所以函數(shù)是增函數(shù)，故選A.（6）【答案】A【解析】若，使，即兩向量反向，夾角是，那么，反過(guò)來(lái)，若，那么兩向量的夾角為 ，并不一定反向，即不一定存在負(fù)數(shù)，使得，所以是充分不必要條件，故選A.（7）【答案】B【解析】幾何體是四棱錐，如

9、圖紅色線為三視圖還原后的幾何體，最長(zhǎng)的棱長(zhǎng)為正方體的對(duì)角線，故選B.（8）【答案】D【解析】設(shè) ，兩邊取對(duì)數(shù)，所以，即最接近，故選D.二、填空題共6小題，每小題5分，共30分.（9）【答案】2【解析】.（10）【答案】1【解析】.（11）【答案】1【解析】，所以.（12）【答案】【解析】（13）【答案】-1，-2，-3【解析】.（14）【答案】；三、解答題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.（15）解：（1）根據(jù)正弦定理（2）當(dāng)時(shí)，ABC中（16）解：（1）連接AC，BD.連接OMPD平面MAC且平面PBD平面MAC=MOPDMOO為BD中點(diǎn)M為PB中點(diǎn)（2）取AD中點(diǎn)

10、E，連接PEPA=PDPEAD又平面PAD平面ABCD且平面PAD平面ABCD=ADPE平面ABCD建立如圖所示坐標(biāo)系，則B(-2，4，0),P(0，0，) ,D(2，0，0),A(-2，0，0).易知平面PDA的法向量設(shè)平面BPD的法向量=，則=二面角B-PD-A的平面角.（17）分布列如下012p ，即所求數(shù)學(xué)期望為1.（）由圖知100名患者中服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差比未服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差大.（18）解：（）把P（1,1）代入y2=2Px得P=C:y2=x，焦點(diǎn)坐標(biāo)（，0），準(zhǔn)線：x=-.（）設(shè)l：y=kx+，A（x1，y1），B(x2，y2)，OP：y=x，ON：y=，由題知A(x1，

11、x1)，B(x1，)k2x2+（k-1）x+=0，x1+x2=，x1·x2=.由x1+x2=，x1x2=，上式A為線段BM中點(diǎn).（19）解：（）f(x)=ex·cos xxf(0)=1，f´(x)=ex（cos xsin x）1，f´(0)=0，y=f(x)在（0，f(0)）處切線過(guò)點(diǎn)（0,1），k=0，切線方程為y=1.（）f´(x)=ex（cos x-sin x）1，設(shè)f´(x)=g(x)，g´(x)=2sin x·ex0 g(x)在0，上單調(diào)遞減，g(x)g(0)=0，f ´（x）0f(x)在0，上單調(diào)遞減，f(x)max=f(0)=1， f(x)min=f()=.（20）解：（）當(dāng)n時(shí)，所以，對(duì)于且n，都有，只需比較與其他項(xiàng)的大小比