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文檔簡介

1、 第二十二章曲面積分習題課一 疑難問題與注意事項 1.第一型曲面積分的計算方法：答 1）先把的方程代入，再利用為的表面積；例如其中為柱面被平面所截取的部分；解 .2)利用公式（1）設有光滑曲面，為上的連續函數，則注 一投-將曲面向面投影得；二代-將代入到中；三變換-變成.（2）類似地，如果光滑曲面由方程，則 ，其中表示曲面在面上的投影（3）如果光滑曲面由方程，則其中表示曲面在面上的投影3)利用對稱性（1）若曲面關于坐標面對稱，為上的連續函數，為位于上部的曲面，則（2）若曲面關于坐標面對稱，為上的連續函數，為中的那部分曲面，則（3）若曲面關于坐標面對稱，為上的連續函數，為中的那部分曲面，則（4）

2、若積分曲面關于具有輪換對稱性,則有2.第二型曲面積分的方法：答 1）公式：（1）設是定義在光滑曲面 上的連續函數， 以的上側為正側，則有 注一投-曲面向面投影得；二代-將代入到中；三定向看的法線方向與軸的夾角，若夾角為銳角，則為正，否則為負（2）類似地，當在光滑曲面上連續時，有 這里是以的法線方向與軸的正向成銳角的那一側為正側，（3）當在光滑曲面上連續時，有 這里是以的法線方向與軸的正向成銳角的那一側為正側 2）若，則 3）高斯公式注 高斯公式的適用條件是：1）函數，在上具有一階連續的偏導數2）封閉，若不封閉需要補面，讓它封閉，假如補面后封閉，則有3）取外側；如果取內側，則取外側，則有 3.各

3、種積分間的聯系第一型曲線積分二重積分第二型曲線積分 格林公式 斯托克斯公式 三重積分第一型曲面積分積分第二型曲面積分面積分 高斯公式 二 典型例題1.計算第一型曲面積分，其中是上半球面，解 把向面投影得 注 ，因為關于軸對稱，且奇 2.計算曲面積分，其中是球面解： 球面關于,具有對稱性， = 3計算曲面積分，其中是旋轉拋物面介于平面及之間部分的下側解 補平面的上側，則為封閉曲面，在其上應用高斯公式： 4計算第二型曲面積分，其中曲面為橢球面的上半部分，其方向為下側解：為求 (取下側)，只須求(取上側)，那么為求，將與底面(其中是在坐標面上的投影)組成的封閉曲面記為，即，其中方向取上側，方向取下側設圍成的區域為，由高斯公式：又由于，那么，從而 5計算，其中是上半球面的外側解：曲面不封閉，補上曲面，取下側6.，其中是單位球面的外側解 7.求，其中是立方體的表面與平面的交線，取向從軸正向看去是逆時針方向解：可見交線若分為六段積分的計算量很大，且也不便于表示為一個統一的參數式，因為閉曲線，且，連續可微，故考慮用斯托克斯公式，令為被所圍的一塊，取上側，則的取向與的取側相容，應用斯托克斯公式得8.計算，

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