1、第3章 線性控制系統的能控性和能觀性本 章 內 容3.1 能控性的定義3.2 線性定常系統的能控性判別3.3 線性連續定常系統的能觀性3.4 離散時間系統的能控性與能觀性3.5 時變系統的能控性與能觀性3.6 能控性與能觀性的對偶關系3.7 狀態空間表達式的能控標準型與能觀標準型3.8 線性系統的結構分解3.9 傳遞函數陣的實現問題3.1 能控性的定義1. 線性連續定常系統的能控性定義對于狀態方程為的線性定常連續系統，如果存在一個分段連續的輸入，能在有限時間區間內，使系統由某一狀態轉移到任意終端狀態，則稱此狀態是能控的。若系統的所有狀態都是能控的，則稱此系統是狀態完全能控的，簡稱系統是能（可）

2、控的；或使系統由任意初始狀態轉移到任意終端狀態，則稱此系統是能（可）控的。2 線性連續時變系統的能控性定義線性連續時變系統：3 離散時間系統只考慮單輸入的n階線性定常離散系統：3.2 線性定常系統的能控性判別 線性定常系統能控性判別準則有兩種形式，一種是先將系統進行狀態變換，把狀態方程化為約旦標準型，再根據 陣，確定系統的能控性；另一種方法是直接根據狀態方程的 A陣和 B 陣，確定其能控性。3.2.1 具有約旦標準型系統的能控性判別1 單輸入系統具有約旦標準型系統矩陣的單輸入系統，狀態方程為：或式中，n個互異根，下面分別對以下三個系統的能控性進行分析：，； 即 ， ，； 即 ， ，； 即 ，

3、結論：系統矩陣為約旦陣時具有串聯結構，因狀態變量之間存在耦合，要保證系統能控，從模擬結構圖來看，必須且只需輸入出發的信號線 “流向”最前端的狀態變量；其它狀態變量將間接受到的控制；對狀態方程而言，只需每個約旦塊的最后一個方程包含輸入項即可，即每個約旦塊最后一行對應的的相應行的元素中至少有一個不為零。2.具有一般系統矩陣的多輸入系統系統的狀態方程為：3.2 線性定常系統的能控性判別1 能控性矩陣判別準則：定理 線性定常系統，其狀態完全可控的充要條件是由陣所構成的能控性判別矩陣滿秩，即 式中，是矩陣的維數。證明 該系統的解為再由能控性的定義，若系統能控，則對于任意初始狀態向量應能找到輸入，使之在有

4、限時間區間內轉移到零狀態。令，且，即 因為 由凱萊哈密頓定理，得 代入： 所以， 為維矩陣，為維矢量，定積分也為維矢量，其中代入得： 令為維列矢量則分析：上式是具有個變量，個方程的線性非齊次方程組，是維矩陣，其元素已知；是給定的初始狀態， 個元素已知；是個元素的矢量，其元素待求已知，與控制向量有關；能控性問題轉化成任意給定一個初始狀態，求在時間內將狀態由的控制向量 ，即給定和系數矩陣，從該式中求出；由線性方程組解的定理知：有解的充要條件是系數矩陣 和增廣矩陣的秩相等，即，由于是任意給定的，則必有滿秩，即，稱 為能控性判別矩陣；特例：當時，需滿足。例 判別下列系統的能控性解 構造并計算能控性判別

5、矩陣可見矩陣第一行和第三行完全相同，故，而，所以該系統不能控。2 約旦（包括對角線）標準化后的能控性判別準則 非奇異變換不改變系統的能控性 證明：經非奇異變換后為式中，變換陣為則變換后能控性判別矩陣由于 ，則 由線性代數理論可知：任意矩陣用一個非奇異矩陣左乘、右乘后秩不變。從上式說明，非奇異變換不改變系統的能控性。3.3 線性連續定常系統的能觀性1 能觀性的定義通過有限時間內的輸出值，能否觀測系統的所有狀態變量。定義： 設系統齊次狀態空間表達式為 如果對任意給定的輸入，在有限觀測時間，使的根據期間的輸出能唯一地確定系統在初始時刻時的狀態，則稱狀態是能（可）觀測的。若系統的每一個狀態都是能觀測的

6、，則稱系統是狀態完全能（可）觀測的，或簡稱是能（可）觀的。說明：定義中把能觀性定義對初始狀態的確定，因為一旦確定初始狀態，便可求出各個瞬時狀態； ，一般 。2 能觀性判別準則1） 能觀性矩陣判別準則：定理 線性定常連續系統狀態完全能觀測的充要條件是其能觀測判別矩陣 滿秩，即。證明 將狀態轉移方程則輸出為：由凱萊哈密頓定理，得所以 可以寫為：分析： 上式子可看成一個含有個未知量的個方程的線性方程組。當時方程無唯一解，為了要唯一地解出個初始狀態變量，必須由個不同時刻的輸出值組成具有個方程式的線性方程組（注意為維矢量），即 即 式中 為行，列的矩陣；為維矢量；為維矢量。由線性方程組解的定理知，要使的

7、解存在且唯一，其充分必要條件是系數矩陣和增廣矩陣的秩相同且等于，即 由可以看出，欲使矩陣的秩等于，則要求維矩陣： 滿秩，即或寫為滿秩 2）約旦（包括對角線）標準化后的能觀性判別準則定理 設線性定常連續系統陣具有互異特征值，則其狀態完全能觀測的充分必要條件是系統經非奇異變換后的對角線標準型中的中所有（各）列元素不全為零。對于重特征值，即使陣呈現對角線標準型，也不能用這個判據。定理 包含有重特征值的階系統，經非奇異變換為約旦標準型式中 實例分析：系統1： 解狀態方程和輸出方程得： 模擬結構圖為分析：由圖中可看出，若滿足系統完全能觀，則中每一列元素不能全為零，即圖中 至少有一個不為零，若它們全為0，

8、則輸出中不包含，由于對角線標準型對應的模擬結構圖呈并聯結構，即間不存在相互影響，則中只能考慮是否直接包含 即可。結論：、模擬結構圖中所有狀態變量至少流向的一個分量；、狀態方程中每個狀態變量至少在輸出方程出現一次，即 中各列元素不全為零。系統2：狀態方程的解為 代入輸出方程得 分析：由上式可知，當且僅當 中第一列元素不全為零時，中總包含， 陣其他列可全為零，故為約旦陣且相同特征值分布在一個約旦塊內時，輸出陣中與約旦塊最前一列對應的列不全為零。3.4 離散時間系統的能控性與能觀性3.4.1 能控性矩陣 M離散時間系統的狀態方程如下：當系統為單輸入系統時，式中為標量控制作用控制陣為維列矢量；G為系統

9、矩陣；為狀態矢量。 3.4.2 能觀性矩陣N離散時間系統的能觀性，是從下述兩個方程出發的。式中, 為維列矢量；C 為輸出矩陣 根據能觀性定義，如果知道有限采樣周期內的輸出，就能唯一地確定任意初始狀態矢量 ，則系統是完全能觀的，現根據此定義推導能觀性條件。有： 若系統能觀，并且已知時，應能確定出 ，可得： 有唯一解的充要條件是其系數矩陣的秩等于 。這個系數矩陣稱為能觀性矩陣。仿連續時間系統，記為N。即3.5 時變系統的能控性與能觀性3.5.1 能控性判別1. 有關線性時變系統能控性的幾點說明1) 定義中的允許控制，在數學上要求其元在 區間是絕對平方可積的，這個限制條件是為了保證系統狀態方程的解存

10、在且唯一。2) 定義中的，是系統在允許控制作用下，由初始狀態轉移到目標狀態(原點)的時刻。3) 根據能控性定義，可以導出能控狀態和控制作用之問的關系式。4) 非奇異變換不改變系統的能控性。5) 如果是能控狀態，則 也是能控狀態，是任意非零實數。6) 如果和是能控狀態，則 也必定是能控狀態。7) 由線性代數關于線性空間的定義可知，系統中所有的能控狀態構成狀態空間中的一個子空間。此子空間稱為系統的能控子空間。2 線性連續時變系統的能控性判別3.5.2 能觀性判別1有關線性時變系統能觀性的幾點討論 1) 時間區間是識別初始狀態所需要的觀測時間，對時變系統來說，這個區問的大小和初始時刻的選擇有關。2)

11、對系統作線性非奇異變換，不改變其能觀測性。3)如果是不能觀測的，為任意非零實數，則也是不能觀測的。4)如果和 都是不能觀的，則也是不能觀的。5)根據前面分析可以看出，系統的不能觀測狀態構成狀態空間的一個子空間，稱為不能觀子空間，記為 。只有當系統的不能觀子空間。在狀態空間中是零空間，則該系統才是完全能觀的。2線性連續時變系統能觀性判別3.6 能控性與能觀性的對偶關系能控性與能觀性有其內在關系，這種關系是由卡爾曼提出的對偶原理確定的，利用對偶關系可以把對系統能控性分析轉化為對其對偶系統能觀性的分析。從而也溝通了最優控制問題和最優估計問題之間的關系。3.6.1 線性系統的對偶關系1、 定義對于定常

12、系統和的狀態空間表達式分別為 若滿足下列條件：則稱與互為對偶。式中 維狀態矢量； 分別為與維控制矢量； 分別為與維輸出矢量； 系統矩陣； 分別為與控制矩陣；分別為與輸出矩陣2、 特性1）對偶系統傳遞函數陣之間的關系為矩陣：為矩陣 結論：對偶系統的傳遞函數矩陣互為轉置。2）對偶系統特征方程之間的關系結論：對偶系統的特征方程相同，特征值不變。3.6.2 對偶原理定理 若系統與是互為對偶的兩個系統，則的能控性等價于的能觀性，的能觀性等價于的能控性。證明 3.7 狀態空間表達式的能控標準型與能觀標準型（1）同一系統狀態空間表達式不唯一，通過非奇異變換，不改變系統的能控/能觀性，通過非奇異變換：化為約旦

13、標準型-方便狀態轉移矩陣計算 化為能控標準型-便于實現狀態反饋 化為能觀標準型-便于設計狀態觀測器（2） 前提：只有系統完全能控/能觀，才能化成相應的標準型。3.7.1 單輸入系統的能控標準型1） 能控標準型型定理 若線性定常單輸入系統 能控，則存在線性非奇異變換 式中 變換為如下能控標準I型 式中 為特征多項式的各項系數；是相乘的結果，即 2） 由能控標準型得求系統的傳遞函數陣3）能控標準II型定理 若線性定常單輸入系統 能控，則存在線性非奇異變換 ,式中，將狀態空間表達式變換為如下能控標準II型 式中 式中的是矩陣特征多項式的各項系數；式中是相乘的結果，即 3.7.2 單輸出系統的能觀標準

14、型1)能觀標準I型定理 若線性定常系統 能觀，則存在非奇異變換，（為能觀性判別矩陣），將狀態空間表達式變換為如下能觀標準I型 式中 式中，是矩陣特征多項式的各項系數；為相乘的結果，具體計算式和能控標準II型的相應計算式相同。2)能觀標準II型定理 若線性定常單輸出系統 能觀，則存在非奇異變換 式中 將狀態空間表達式（9.167）變換為如下能觀標準II型 式中 式中，是矩陣特征多項式的各項系數；為相乘的結果，具體計算式和能控標準I型的相應計算式相同。3.8 線性系統的結構分解3.8.1 按能控性分解設線性定常系統是狀態不完全能控，其能控性判別矩陣：的秩則存在非奇異變換：將狀態空間表達式變換為：

15、其中 可以看出，系統狀態空間表達式變換后，系統的狀態空間就被分解成能控的和不能控的兩部分，其中n維子空間：是能控的，而維子系統：是不能控的。至于非奇異變換陣： 其中n個列矢量可以按如下方法構成，前個列矢量 是能控性矩陣M中的n個線性無關的列，另外的 個列 在確保為非奇異的條件下，完全是任意的。3.8.2 按能觀性分解設線性定常系統：其狀態不完全能觀的，其能觀性判別矩陣的秩則存在非奇異變換將狀態空間表達式變換為：其中可見，經上述變換后系統分解為能觀的n1維子系統：和不能觀的n-n1維子系統：3.8.3 按能控性和能觀性進行分解 1)如果線性系統是不完全能控和不完全能觀的，若對該系統同時按能控性和

16、能觀性進行分解，則可以把系統分解成能控且能觀、能控不能觀、不能控能觀、不能控不能觀四部分。當然，并非所有系統都能分解成有這四個部分的。2)變換矩陣R確定之后只需經討一次變換便可對系統同時按能控性和能觀性進行結構分解但是R陣的構造需要涉及較多的線性空間概念。3)結構分解的另一種方法：先把待分解的系統化約旦標準型，然后按能空判別法則和能管判別個狀態變量的能控型和能觀性，最后按能控能觀、能控不能觀、不能控能觀、不能控不能觀四種類型分類排列，即可組成相應的子系統。3.9 傳遞函數陣的實現問題3.9.1 實現問題的基本概念對于給定傳遞函數陣 W(s)，若有一狀態空間表達式：使之成立則稱該狀態空間表達式為傳遞函數陣W(s)的一個實現。3.9.2 能控標準型實現和能觀標準型實現對于一個單輸入單輸出系統，一旦給出系統的傳遞函數，便可以直接寫出其能控標準型實現和能觀標準型實現。本節介紹如何將這些標準型實現推廣到多輸入多輸出系統。為此，必須把維的傳遞函數陣寫成和單輸入單輸出系統的傳遞函數相類似的形式，即式中 為維常數陣；分母多項式為該傳遞函數陣的特征多項式。3.9.3最小實現1.最小實現的定義傳遞函數W(s)的一個實現：如果W(s)不