1、.課時(shí)跟蹤檢測(cè)四十九空間向量與空間角1.如下圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABBCAA1，ABC90°，點(diǎn)E、F分別是棱AB、BB1的中點(diǎn)，那么直線EF和BC1所成的角為_2如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90°，2ACAA1BC2.假設(shè)二面角B1DCC1的大小為60°，那么AD的長(zhǎng)為_3.如圖，在正四棱錐SABCD中，O為頂點(diǎn)在底面上的射影，P為側(cè)棱SD的中點(diǎn)，且SOOD，那么直線BC與平面PAC所成角為_42019·廣州模擬如圖，在底面為直角梯形的四棱錐PABCD中，ADBC，ABC90°，PA平面ABCD

2、，PA3，AD2，AB2，BC6.1求證：BD平面PAC；2求二面角PBDA的大小52019·遼寧高考如圖，直三棱柱ABCABC，BAC90°，ABACAA，點(diǎn)M，N分別為AB和BC的中點(diǎn)1證明：MN平面AACC；2假設(shè)二面角AMNC為直二面角，求的值6如圖1，在RtABC中，C90°，BC3，AC6，D，E分別是AC，AB上的點(diǎn)，且DEBC，DE2.將ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1CCD，如圖2.1求證：A1C平面BCDE；2假設(shè)M是A1D的中點(diǎn)，求CM與平面A1BE所成角的大?。?線段BC上是否存在點(diǎn)P，使平面A1DP與平面A1BE垂直？說(shuō)明理由12

3、019·汕頭模擬如下圖，四棱錐PABCD中，底面ABCD為正方形，PD平面ABCD，PDAB2，E、F、G分別為PC、PD、BC的中點(diǎn)1求證：PAEF；2求二面角DFGE的余弦值22019·北京西城模擬如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBC2AA1，ABC90°，D是BC的中點(diǎn)1求證：A1B平面ADC1；2求二面角C1ADC的余弦值；3試問線段A1B1上是否存在點(diǎn)E，使AE與DC1成60°角？假設(shè)存在，確定E點(diǎn)位置；假設(shè)不存在，說(shuō)明理由答 案課時(shí)跟蹤檢測(cè)四十九A級(jí)1解析：建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系設(shè)ABBCAA12，那么C12,0,2，E0,1,

4、0，F(xiàn)0,0,1，那么0，1,1，2,0,2，·2，cos，EF和BC1所成角為60°.答案：60°2解析：如圖，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA，CB，CC1所在的直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，那么C0,0,0，A1,0,0，B10,2,2，C10,0,2設(shè)ADa，那么D點(diǎn)坐標(biāo)為1,0，a，1,0，a，0,2,2，設(shè)平面B1CD的一個(gè)法向量為mx，y，z那么，令z1，得ma,1，1，又平面C1DC的一個(gè)法向量為n0,1,0，那么由cos 60°，得，即a，故AD.答案：3解析：如下圖，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.設(shè)ODSOOAOBOCa，

5、那么Aa,0,0，B0，a,0，Ca,0,0，P.那么2a,0,0，a，a,0設(shè)平面PAC的法向量為n，可求得n0,1,1，那么cos，n.，n60°，直線BC與平面PAC的夾角為90°60°30°.答案：30°4解：1證明：由題可知，AP、AD、AB兩兩垂直，那么分別以AB、AD、AP所在直線為x、y、z軸建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系，那么A0,0,0，B2，0,0，C2，6,0，D0,2,0，P0,0,3，0,0,3，2，6,0，2，2,0，·0，·0.BDAP，BDAC.又PAACA，BD平面PAC. 2顯然平面ABD的

6、一個(gè)法向量為m0,0,1，設(shè)平面PBD的法向量為nx，y，z，那么n·0，n·0.由1知，2，0,3，整理得令x，那么n，3,2，cosm，n.結(jié)合圖形可知二面角PBDA的大小為60°.5解：1法一：證明：如圖，連接AB，AC，由BAC90°，ABAC，三棱柱ABCABC為直三棱柱，所以M為AB中點(diǎn)又因?yàn)镹為BC的中點(diǎn)，所以MNAC.又MN平面AACC，AC平面AACC，所以MN平面AACC.法二：證明：取AB 中點(diǎn)P，連接MP，NP，而M，N分別為AB與BC的中點(diǎn)，所以MPAA，PNAC，所以MP平面AACC，PN平面AACC.又MPNPP，因此平面M

7、PN平面AACC.而MN平面MPN，因此MN平面AACC.2以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以直線AB，AC，AA為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，如下圖設(shè)AA1，那么ABAC，于是A0,0,0，B，0,0，C0，0，A0,0,1，B，0,1，C0，1，所以M，N.設(shè)mx1，y1，z1是平面AMN的法向量，由得可取m1，1，設(shè)nx2，y2，z2是平面MNC的法向量，由得可取n3，1，因?yàn)锳MNC為直二面角，所以m·n0，即31×120，解得負(fù)值舍去6解：1證明：因?yàn)锳CBC，DEBC，所以DEAC.所以EDA1D，DECD，所以DE平面A1DC.所以DEA1C.又因?yàn)锳1C

8、CD.所以A1C平面BCDE.2如圖，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系Cxyz，那么A10,0,2，D0,2,0，M0,1, ，B3,0,0，E2,2,0設(shè)平面A1BE的法向量為nx，y，z，那么n·0，n·=0. 又3,02 1,2，0，所以令y1，那么x2，z.所以n2,1，設(shè)CM與平面A1BE所成的角為.因?yàn)?,1,所以sin |cosn, |.所以CM與平面A1BE所成角的大小為.3線段BC上不存在點(diǎn)P，使平面A1DP與平面A1BE垂直，理由如下：假設(shè)這樣的點(diǎn)P存在，設(shè)其坐標(biāo)為p,0,0，其中p0,3設(shè)平面A1DP的法向量為mx，y，z，那么m·0，m&

9、#183;0.又(0，2，2,p，2,0，所以令x2，那么yp，z.所以m2，p，平面A1DP平面A1BE，當(dāng)且僅當(dāng)m·n0，即4pp0.解得p2，與p0,3矛盾所以線段BC上不存在點(diǎn)P，使平面A1DP與平面A1BE垂直B級(jí)1解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系Dxyz，那么D0,0,0，A0,2,0，C2,0,0，P0,0,2，E1,0,1，F(xiàn)0,0,1，G2,1,01證明：由于0,2，2，1,0,0，那么·1×00×22×00，PAEF.2易知0,0,1，1,0,0，2,1，1，設(shè)平面DFG的法向量mx1，y1，z1，那么解得令x

10、11，得m1,2,0是平面DFG的一個(gè)法向量設(shè)平面EFG的法向量nx2，y2，z2，同理可得n0,1,1是平面EFG的一個(gè)法向量cosm，n，設(shè)二面角DFGE的平面角為，由圖可知m，n，cos ，二面角DFGE的余弦值為.2解：1證明：連接A1C，交AC1于點(diǎn)O，連接OD.由ABCA1B1C1是直三棱柱，得四邊形ACC1A1為矩形，O為A1C的中點(diǎn)又D為BC的中點(diǎn)，所以O(shè)D為A1BC的中位線，所以A1BOD，因?yàn)镺D平面ADC1，A1B平面ADC1，所以A1B平面ADC1.2由ABCA1B1C1是直三棱柱，且ABC90°，得BA，BC，BB1兩兩垂直以BC，BA，BB1所在直線分別為x，y，z軸，建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系Bxyz.設(shè)BA2，那么B0,0,0，C2,0,0，A0,2,0，C12,0,1，D1,0,0，所以1，2,0，2，2,1設(shè)平面ADC1的法向量為nx，y，z，那么有所以取y1，得n2,1，2易知平面ADC的一個(gè)法向量為v0,0,1所以cosn，v.因?yàn)槎娼荂