1、高等數(shù)學A(下)期末復習題一、 選擇題1. 設函數(shù)，則下列各式中正確的是 （ ） A. B. C. D.2設，其中，則 （ ）。 A. B. C. D. 3. 若 （ ）。A. B. C. D. 4設 ，則（）A. B. C. D. 5. （ ）.A. 0 B. 1 C. D. 不存在 6極限（ ）。 A. -2 B. 2 C. 不存在 D.0 7.二重極限的值（ ）.A.0 B.1C.D.不存在8.的定義域是（ ）.A. B. C. D. 9函數(shù)的定義域是（ ） A. B. C. D. 10. 設 ，則（ ）A. B. C. D.4211設，則（ ）A. B. C. D. 12.設，則（ ）

2、A. B. C. D. 13. ，則梯度的值為（ ）A. ； B. ；C. ； D. 14的極值點是（ ） A.（1，1） B. （1，1）C.（0，0） D. （0，2）15函數(shù)在點處具有偏導數(shù)是它在該點存在全微分的 ( )。A. 必要而非充分條件 B. 充分而非必要條件 C. 充分必要條件 D. 既非充分又非必要條件16、函數(shù)在點處連續(xù)是它在該點偏導數(shù)存在的：A.必要而非充分條件； B.充分而非必要條件；C.充分必要條件； D.既非充分又非必要條件。17設函數(shù)在點處可微，且，則函數(shù)在處（ ）. A. 必有極值，可能是極大，也可能是極小 B. 可能有極值，也可能無極值C. 必有極大值 D.

3、必有極小值 18設,則f(x,y)在(0,0)點處( ).A. 連續(xù)但偏導數(shù)不存在 B. 不連續(xù)也不存在偏導數(shù) C. 連續(xù)且偏導數(shù)存在 D. 不連續(xù)但偏導數(shù)存在19. 二元函數(shù)在點（0,0）處 （ ） A. 連續(xù)，偏導數(shù)存在 B. 連續(xù)，偏導數(shù)不存在C. 不連續(xù)，偏導數(shù)存在 D. 不連續(xù)，偏導數(shù)不存在20. 設，則（ ） A. B. C. D. 21設，則 ( )。 A. B. C. D. 22 設二元函數(shù)，則（ ） A. B. C. D. 23.設，則（）A. B. C.D.24下列說法正確的是 ( )A.偏導數(shù)存在是該點連續(xù)的充分條件B.偏導數(shù)存在是該點可微的充要條件C.偏導數(shù)存在是該點可

4、微的必要條件D.偏導數(shù)連續(xù)是該點可微的充要條件25函數(shù)在原點沿向量2，3，1方向的方向導數(shù)為（ ）。A. B. C. D. 26函數(shù)在點處沿方向的方向導數(shù)為（ ） A. B. C. D.27函數(shù)在原點沿向量方向的方向導數(shù)為（ ）A. B. C. D.28函數(shù)在點處的梯度方向的方向導數(shù)等于（ ）A. B. C. D. 29.設，則（ ）。A. B. C. ； D. 。30設，則 ( ) A. B. C. D. 31 設可微，則A. B. C. D. 32. 設，則（ ）。 A. B. C. D. 33設具有二階連續(xù)導函數(shù)，而，則=（ ）。A. B. C. D. 34. 設 ，則（ ）A. B.

5、C. D.35. 設則（ ）.A. B.1 C.0 D. 36設域D：x2+y21,f是域D上的連續(xù)函數(shù)，則( )A. B. C. D. 37設積分區(qū)域，則( )。 A. B. C. D. 38設是矩形域 ，則的值為( ).A. B. C. D. 39、設積分區(qū)域D是圓環(huán) ，則二重積分（ ）A. B. C. D.40設，其中，則（）A.B. C. D. 無法比較41 設（ ）.A. B. C. 0 D. 42設由圍成，則（ ）A. B. C.D.43 交換二次積分順序后，=（ ）。 A. B. C. D. 44. 設是平面與旋轉拋物面所圍區(qū)域，則化為三次積分等于（）A.B.C.D.45設連續(xù)，

6、且 ，其中是由所圍區(qū)域，則 ( )A. B. C. D. 46設在連續(xù)，則（）A.B. C. D. 47.若區(qū)域D為,則（ ）。A. e B. e1 C. 0 D. 48. 設由圍成，則( ). A. B. C. D. 49設f(x,y)為連續(xù)函數(shù)，則積分可交換積分次序為( )A B. C. D. 50. 交換二次積分順序后，=（ ）A. B.C. D.51在公式中是指（）A.最大小區(qū)間長度B.小區(qū)域最大面積 C.小區(qū)域直徑 D.小區(qū)域最大直徑52. 設（ ）.A. B. C. D. 53設表示橢圓，方向逆時針，則（）A.B.C.D.054. 設L是y2=4x從(0,0)到(1,2)的一段，則

7、（ ）A. B. C. D. 55. 設L是從點A（1，0）到點B（-1，2）的弧段，則曲線積分 =（ ）A. B. C. D.56 設為球面（），則的值為（ ）。A. B. C. D. 57. 設S是球面，則曲面積分 （ ）A. B. C. D. 58. 設L是從點到點的直線段，則 ( )。A. B. C. D. 59用格林公式求由曲線C所圍成區(qū)域D的面積A，則A=( )A. B. C. D. 60.已知曲線積分與積分路徑無關，則必滿足條件（ ） A. B. C. D. 61. 設L為連接（1，0）及（0，1）兩點的直線段，則( ). A. B. 1 C. 2 D. 62. 設L為從點A（1

8、，1）到點B（1，0）的直線，則下列等式正確的是（ ）A. B. C. D.63.若曲線積分與路徑無關，則常數(shù)（ ）。A. B. C. D. 64設表示橢圓，方向逆時針，則（ ）A.B. C. D. 065設是從點到點的有向弧段，則曲線積分( )。A. B. C. D. 066曲線弧上的曲線積分和上的曲線積分有關系 ( )A. B. C. D. 67設，其中，經(jīng)球坐標變換后， ( ) A. B. C. D. 68. 設L是y2=4x從(0,0)到(1,2)的一段，則（ ）A. B. C. D. 69設，因為，所以（）A. 對任意閉曲線C，; B. 在曲線C不圍住原點時，；C. 因與在原點不存在

9、，故對任意的閉曲線C，；D. 在閉曲線C圍住原點時I=0，不圍住原點時 。70. 級數(shù)的斂散情況是（ ）。 A. 時絕對收斂，時條件收斂 B. 時絕對收斂，時條件收斂 C. 時發(fā)散，時收斂 D. 對任何，級數(shù)絕對收斂71當時，冪級數(shù)的和函數(shù)為（ ）。A. B. C. D.72級數(shù)（）A.絕對收斂B.條件收斂C.發(fā)散D.斂散性不確定73. 若級數(shù) 收斂，則級數(shù)（ ）A.收斂但不絕對收斂 B. 絕對收斂 C. 發(fā)散 D. 斂散性不確定74下列冪級數(shù)中收斂區(qū)間為的是（ ）A. B. C. D. 75. 下列級數(shù)中條件收斂的是（ ）A. ； B. ； C. ； D. 76已知級數(shù)收斂，則對于級數(shù) ，下

10、列說法正確的是（） A. 必定收斂B. 必定發(fā)散C. 條件收斂D. 可能收斂，也可能發(fā)散77. 若無窮級數(shù)收斂，則滿足 （ ）。A. B. C. D. 78下列級數(shù)中發(fā)散的是（ ）A. B. C. D.79. 設級數(shù),則該級數(shù)( ).A. 發(fā)散 B. 條件收斂 C. 絕對收斂 D. 不確定80下列說法正確的是（）A. 若發(fā)散，則必有 B. 若，則必收斂C. 若收斂，則必有 D. 的斂散性與無關81. 下列級數(shù)中收斂級數(shù)是（ ）A. B. C. D.82. 下列級數(shù)條件收斂的是 （ ）A. B. C. D. 83設級數(shù)（1）與級數(shù)（2），則（）A. 級數(shù)（1）（2）都收斂 B. 級數(shù)（1）（2）

11、都發(fā)散C. 級數(shù)（1）發(fā)散，級數(shù)（2）收斂D. 級數(shù)（1）收斂，級數(shù)（2）發(fā)散84. 冪級數(shù)的收斂區(qū)間為（ ） A. B. C. D. 85設是非零常數(shù)，則（）A.發(fā)散B.條件收斂C.絕對收斂D.斂散性與有關86. 微分方程滿足初始條件的特解為 （）A.B.C.D.87. 微分方程滿足初始條件的特解為 （ ）A. B. C. D. 88.在微分方程中用待定系數(shù)法可設其特解（ ）A. B. C. D. 89. 微分方程的通解為 （ ）.A. B. C. D. 90. 微分方程的通解為（ ）A. B. C. D.91. 微分方程 的通解（ ）A. B. C. D. 92. 微分方程的特解形式為(

12、). A. B. C. D. 93. 函數(shù)（C為任意常數(shù)）是微分方程的（ ） A.通解 B.特解 C.不是解 D.既不是通解也不是特解94下列方程中，哪個不是二階微分方程( )。A. B. C. D. 95微分方程滿足的特解是（）A. B. C. D. 96下列微分方程中，（ ）是線性微分方程。A. B. ；C. D. 97設二階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解為，則對應的微分方程為( )A. B. C. D. 98已知一個二階線性齊次微分方程的特征根，則這個微分方程是（）；A. B. C. D. 99下列方程中，不是微分方程的是（ ）.A. B. C. D. 100下列函數(shù)組在其定義區(qū)間內線性相

13、關的是( ).A. B. C. D. 101設是的三個特解，則（ ）是相應齊次方程的解.A. B. C. D.二、填空題1函數(shù)在點（0,1）處沿向量方向的方向導數(shù)為 。2. 函數(shù)在點（0,1）處沿向量方向的方向導數(shù)為 .3函數(shù)在點（1,1）處方向導數(shù)的最大值為 .4函數(shù)在點處沿的方向導數(shù)。5函數(shù)在點（1,2）處沿從點A（1,2）到點B（2,2）的方向的方向導數(shù)等于。6曲線在對應于點處的切線方程為 。7曲面在點處的切平面平行于平面2x+2y+z=0.8. 曲面在點處的切平面方程為 。9函數(shù)在點處沿方向角為的方向導數(shù)為 。10. 設 .11設，則 。12. ,則全微分dz=.13設 ， 則全微分

14、。14設，則 。15設，而，則 .16已知方程確定隱函數(shù)，則 ；17設，則。18設，則= 。19設，則 。20設方程 確定，則 。21.設 ， 則= .22. .23極限= 24若函數(shù)在點處取得極值，則常數(shù)。25. 若函數(shù)在點(-2,3)處取得極小值3，則常數(shù)a,b,c之積abc=.26. 梯度.27設，則=.28設，則 。29.設可微，則 .30設，則 。31設函數(shù),則 。32.可微，則。34設，則 。35、已知方程確定隱函數(shù)，則。36函數(shù)的駐點是。37交換二次積分的次序得 .38交換積分順序后，。39改變二次積分的積分次序為 。40變換的積分次序后為 .41交換二次積分的次序 ；42. 交

15、換二次積分的次序得.43. 設D為矩形， .44設D為,則=。45為三個坐標面及平面所圍成閉區(qū)域，則 46設D：,則=.47設為球體的第一卦限部分，則化成三次積分為 .48設為立體，則三重積分 .49設平面薄片占有平面區(qū)域D，其上點處的面密度為，如果在D上連續(xù)，則薄片的質量M =。50設為連續(xù)函數(shù)，則交換積分次序后二次積分 。51.，要使處處連續(xù)，則A= 。52. 設L為從點A（0，0）到點B（2，1）的直線，則= .53設L是 平面上點到點的直線，方向是從A到B,則= 。54設為從點到點的直線，則= 。55設為上從點到（0，0）的曲線弧，則 。56. 設L為從點A（1，1）到點B（1，0）的

16、直線，則_。57. 設L為圓周 ，方向為順時針，則 。58設L為三頂點分別為（0，0），（3，0），（3，2）的三角形邊界正向，則_.59.設為球面（），則的值為.60設曲面方程，其在平面上的投影為，則求該曲面的面積公式為 ；61設為立體，則 .62.設、在平面上具有一階連續(xù)偏導數(shù)，則曲線積分與路徑無關 和 及 是相互等價的。63.由旋轉拋物面與所圍封閉立體的體積為.64設曲線段的參數(shù)方程為x=(t), y=(t),其中t。如果曲線段上的點(x,y)處線密度函數(shù)為(x,y)，則曲線段的質量的計算公式為.65設是點到點的直線段，則_。66設是從沿到的弧段，則 ；67.設為立體，則三重積分 68.

17、 變換的積分次序后為 . .69.設是平面與旋轉拋物面所圍區(qū)域，化成三次積分為 .70設積分區(qū)域，則在柱面坐標系下的三次積分為 ；71設是連續(xù)函數(shù)，則二次積分交換積分次序后為 。72已知有界閉區(qū)域的邊界是光滑曲線，的方向為的正向，則用第二型曲線積分寫出區(qū)域的面積公式 。73格林公式 成立的條件是 。74冪級數(shù)的收斂半徑為 。75. 設冪級數(shù)的收斂半徑是4，則冪級數(shù)的收斂半徑是 .76級數(shù)的和函數(shù) 。77冪級數(shù)的收斂區(qū)間為 。78如果冪級數(shù)的收斂半徑是1，則級數(shù)在最大的一個開區(qū)間 內一定收斂。79. 展開成的冪級數(shù)為。 80.級數(shù)是收斂的，其和為.81級數(shù)的和為 。82冪級數(shù)的和函數(shù) .83將函

18、數(shù) 展開成關于的冪級數(shù)為_。84. 冪級數(shù)的收斂半徑為.85冪級數(shù)的收斂區(qū)間為 。86.級數(shù)的和為 。87. 冪級數(shù) 的收斂域為 。88級數(shù)是 （發(fā)散，條件收斂，絕對收斂）的。89. 微分方程滿足初始條件的特解 90. 微分方程的通解是.91. 微分方程的通解為 .92. 微分方程的通解為 .93.微分方程的通解為 。94方程的通解為 。95. 微分方程的通解為 。96微分方程的通解為 .97微分方程的通解為_。98非齊次微分方程，它的一個特解應設為 。99設二階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解為，則對應的微分方程為 。100微分方程滿足的特解是_。101方程的通解為 102. 方程滿足初始條件的

19、特解_。三、解答題1求曲線在對應于點處的切線方程及法平面 方程。2.求橢球面上平行于平面的切平面方程。3.求曲面上點處的切平面方程與法線方程。4求曲線x=2t2+7t,y=4t-2,z=5t2+4t在點(-5,-6,1)處的切線及法平面方程。 5.求曲線在點處的切線及法平面方程。6.在橢圓拋物面上求一點，使該點的切平面與平面平行，并求該點的切平面及法線方程。7.求函數(shù)在點處沿其梯度方向的方向導數(shù)。8.求在點處沿向量的方向導數(shù).9.設可微，求。10設是由方程所確定的隱函數(shù)，其中可微，求。11.設，求，。12設，求。13. 設 ，求14設方程 確定，求15設方程確定，試求。16.設方程 確定，求。

20、17.設，其中具有二階導數(shù)，求。18.設，求。19. 設 ，求。20設，其中具有連續(xù)的二階偏導數(shù)，求。21. 設方程 確定，求22. 設。 23. 已知方程確定二元隱函數(shù)，試求。24、設，其中可導，試求。25.設而，為可導函數(shù)，試求。26.求由方程所確定的函數(shù)的偏導數(shù)。27. 設具有二階連續(xù)偏導，求 28. 設，其中具有二階連續(xù)偏導數(shù)，求。29、設由方程確定，求。30. 設方程確定的隱函數(shù)z=z(x,y)，求dz。 31. 設,計算梯度. 32.求函數(shù)的極值。33.求三元函數(shù)的全微分。34.設 ，求全微分。35.設由方程 確定，可微，a 和b是已知常數(shù)， 求 。36.求函數(shù)的極值。37. 求函

21、數(shù)的極值。38在xoy平面上求一點，使得它到x=0，y=0和x+2y-160三直線的距離平方之和為最小。39. 求函數(shù)的極值。40. 求函數(shù)的極值。41. 現(xiàn)用鐵板做成一個表面積為36的無蓋長方體水箱，問長、寬、高各為多少時，體積最大？42.在橢圓上求一點，使其到直線的距離為最短。43求44計算二重積分，是由和圍成的面積小的那部分區(qū)域。45計算二重積分 ，其中D由圍成。46.計算二重積分，其中。47.利用二重積分計算由平面 (其中) 及坐標面所圍立體的體積48.設D是以O（0，0）、A（1，0）、B（1，1）為頂點的三角形區(qū)域，求。49.求，由與圍成的第一象限中的區(qū)域。50.計算三重積分，其中

22、是由曲面與平面所圍成的閉區(qū)域。51. 求，為上半個球面和圓錐面所圍區(qū)域。52. 求，積分區(qū)域為上半個球體：53求二重積分，其中D是由直線y2,y=x及y=2x所圍成的閉區(qū)域。 54. 計算其中L是y=x2和y2=x所圍區(qū)域的邊界曲線的正向。55. 求二重積分，D由 圍成。56.利用極坐標計算二次積分。57. 求曲面與曲面所圍立體的體積。58.求，為由與軸圍成的區(qū)域。59求，其中為以點為頂點的三角形區(qū)域.60求，。61. 設為立方體：，（），求三重積分65. 求使 ，其中D：（）。63.設有圓形簿片D：，其面密度為，求簿片的質量。64.利用柱坐標計算三重積分，其中是由曲面與平面所圍成的區(qū)域。65

23、設是由及所圍的有界閉區(qū)域，計算。66. 用格林公式計算，其中L為圓周上從點0（0，0）順時針到點A（2，0）這段曲線。67用格林公式計算，其中L為圓周上從點0（0，0）順時針到點A（2，0）這段曲線。68計算，其中L是從A(1.0)沿半圓周逆時針到B(1，0)69. 計算曲線積分 ，L是正向圓周 70. 驗證是某個函數(shù)的全微分，并求出它的一個原函數(shù)。71.求曲線積分 ，其中L是在圓周上由點(0，0)順時針到點(1，1)的弧段。72計算，其中L是沿曲線逆時針方向一周。73求曲線積分，其中與x軸所圍曲線,取正向。74.試計算，其中為曲線上相應于從0變到的這段弧。75.求由曲面z=x2+y2與z=4

24、所圍立體的體積。76.計算其中L是在圓周由點順時針到點的一段弧.77.求曲面積分，其中為球面在第一卦限部分的外側.78計算，其中L是從A(1，0)沿半圓周 到B(1，0)。79求 ，其中L的方程為。80試用高斯公式計算，其中光滑曲面圍成的的體積為V。81計算曲線積分，是由和所圍區(qū)域的正向邊界線。82.計算，其中光滑曲面圍成的的體積為V。83.將函數(shù)展開成的冪級數(shù)。84試把展開成的冪級數(shù)。85、把展開成的冪級數(shù)。86判斷級數(shù)的斂散性87判斷級數(shù)的斂散性88求冪級數(shù) 的收斂區(qū)間及和函數(shù)。89.判別級數(shù)是否收斂，如果收斂，是絕對收斂，還是條件收斂？90. 求微分方程滿足初始條件的特解。91.求微分方

25、程滿足初始條件的特解。92.求微分方程的通解。93.求微分方程滿足初始條件的特解。94.求微分方程滿足初始條件的特解。95求微分方程的通解。四、綜合題1證明極限不存在。2.設 ，其中具有二階連續(xù)偏導數(shù)，求，。3.設，其中具有二階連續(xù)的偏導數(shù)，求。4.設 可微，求5. 設，求函數(shù)。6. 設函數(shù)由方程確定，證明：7設試求二元函數(shù) 8、 證明：9平面薄片由圍成，其上各點的面密度等于該點到x軸的距離，試求薄片的質量。10現(xiàn)用鐵板做成一個表面積為36的無蓋長方體水箱，問長、寬、高各為多少時，體積最大？并求最大體積。11. 要造一個容積為k的長方體無蓋水池，應如何選擇水池的尺寸，方可使它的表面積最小。12.求在點處沿下列方向的方向導數(shù)：（1）沿向量；（2）沿梯度方向的方向導數(shù).13計算，其中L為有向折線OAB，這里O，A，B依次是點（0,0），（1，0），（1,1）。14.證明： 。15.設在上連續(xù)，求證： 16. 設在上連續(xù)，試證明：。17函數(shù)由方程=0 確定，且具有連續(xù)的偏導數(shù)，證明： 。18試求指數(shù)，使曲線積分在的區(qū)域內與路徑無關。19. 設xoy平面上正向曲線L圍成的區(qū)域為D，證明：。20用格林公式等兩種不同的方法計算，其中是以為頂點的三角形閉區(qū)域。21用先對和先對兩種方